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1、第八章第八章数字滤波器数字滤波器的有限字长效应的有限字长效应第一节第一节引言引言一、有限字长效应一、有限字长效应前置预滤波器A/D变换器数字信号处置器D/A变换器模拟滤波器模拟Xa(t)PrFADCDSPDACPoF模拟Ya(t) 完成DF设计后，接下来要实现DSP数字信号处置。详细实现时，字长总是有限的，由于存储器是有限字长的，所以有限字长效应有DF的有限字长效应、DFTFFT有限字长效应、A/D变换器的量化误差。1.有限字长效应有限字长效应有限字长意味着：有限运算精度有限动态范围2.有限字长引起误差表如今以下几个方面：a)A/D变换器的量化误差即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电平常
2、产生的量化误差。b)系数的量化误差即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。c)算术运算的运算误差数字运算运程中，为限制位数而进展尾数处置，以及为防止溢出而紧缩信号电平的有效字长效应。3.有限字长效应在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生误差。这些误差给数字信号处置的实现精度和滤波器稳定性带来不良影响称之。二、研讨有限字长效应目的1.假设字长通用计算机固定，进展误差分析，可知结果的可信度，否那么假设置信度差，要采取改良措施。普通情况下，由于计算机字长较长，所以可以不思索字长的影响。2.用公用DSP芯片实现数字信号处置时，定点与硬件采用字长有关：(1)普通采用定点实现，涉及硬件采用的字长
3、。(2)精度确定字长。因此，必需知道为到达设计要求所需精度下必需选用的最小字长。(3)由最小字长选用公用DSP芯片类型由于选用不同DSP芯片，价钱差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等价钱差别很大第二节数的定点制表示及A/D变换器的量化误差一、数字信号中数的定点表示 用公用DSP芯片实现数字信号处置时，普通采用定点二进制数补码表示方法和舍入量化方式。因此定点、补码、舍入重点分析。1.定点数表示三种方式1原码2补码3反码二进制符号位：0-表示正号，1-表示负号；例子：1原码从x10=0.75和x10=-0.75看看原码、补码、反码的表示方法。解:1原码为x
4、10=0.75=(x2)原=0.110原码x10=-0.75=(x2)原=1.110原码通用公式：其中B0:符号位，B0=1代表负数；Bi：i=1,b,其中b代表字长位数，B1Bb代表b位字长的尾数0. 1 1 0 01. 1 1 0 00. 2-1.2-b1. 2-1.2-b正数：负数：2补码和反码补码通用公式：x10=0.75=(x2)补=0.110=原码x10=-0.75=(x2)补=1.010=反码+1x10=0.75=(x2)反=0.110=原码x10=-0.75=(x2)反=1.001=除符号位外原码各位取反2、定点表示产生误差1加法：任何加法运算不会添加字长，但能够产生溢出 xB
5、1: 0.110-0. 110 - xB2: 1.010-1. 010 xB1-xB2=1.5 1.100 2乘法：不会溢出，但字长加倍 溢出，使其变为负数例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111 成为六位数，截尾变成0.001。产生误差。二、数的量化误差范围量化对尾数处置产生的误差，其量化方式可分为：1.截尾量化：即把尾数全部截断不要。2.舍入量化：即把小于q/2的尾数舍去，把大于尾数“入上来。其中q=2-b,称为量化步阶，b为字长的位数。1.截尾量化截尾量化可分为：1对于正数的截尾量化误差2对于负数的截尾量化误差1对于正数的截尾量化误差一个信号x(n)：由于有限
6、字长：看出:b1b所以，原码和补码的截尾误差为：发生在被截去的位数上的数都为1情况。发生在被截去的位数上的数都为0情况。0. 2-1 .2-b 0 0 .0b1-bb最小误差0. 2-1 .2-b 1 1 1最大误差2对于负数的截尾量化误差截尾量化误差与负数表示方式有关。负数原码表示，其截尾量化误差：发生在被截去的位数上的数都为1情况。发生在被截去的位数上的数都为0情况。0. 2-1 .2-b 0 0 .0b1-bb最小误差0. 2-1 .2-b 1 1 1最大误差负数补码表示，其截尾量化误差：同样，负数截尾量化误差，最大误差=q,最小误差=0.2、舍入量化0. 1 0 1 0 1 0 1 0
7、 0bb1舍去：0.1010-信号比原来小;舍入：0.1011-信号比原来大;所以，最大误差为q/2,最小误差为-q/2舍入量化误差范围为|en|舍入误差。e(n)量化误差是随机变量，所以要用统计方法，统计公式去分析。运用比舍入少些三、量化误差的统计方法 上面我们分析了量化误差的范围，但要准确地知道误差终究是多大，几乎是不能够的。视信号详细情况而定。 所以我们只需知道量化误差的平均效应即可。它可以作为设计的根据。例如：A/D变换器量化误差-决议A/D所需字长。1、量化误差信号e(n)四个假设 为了进展统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设：(1)e(n)是平稳随机序列即它的统计特性不随时间变
8、化。即 , 均与n无关。2e(n)与取样序列x(n)是不相关的。即Ee(n)*x(n)=0(相互关函数=0e(n)与输入信号是统计独立的。(3)e(n)序列本身的恣意两个值之间不相关。即e(n)本身是白噪声序列 Ee(n)*e(n)=0(自相关函数=0(4)e(n)在误差范围内均匀分布等概率分布的随机变量即P(e)概率密度下的面积=12、截尾误差与舍入误差的概率密度截尾误差：正数与负数补码截尾误差：截尾误差：负数原码与负数反码截尾误差：舍入误差：Pe)e-2-b2bPe)e2-b2b00Pe)e-2-b/22b2-b/203、量化误差的定义根据以上假设可知：量化误差是：一个与信号序列完全不相关
9、的白噪声序列，即称量化噪声。它与信号的关系是相加性的。4、量化噪声的统计模型理想A/D采样器xa(t)x(n)=xa(nT)e(n)5、量化误差信号e(n)的均值me和方差 下面，分别对舍入误差及截尾误差的均值和方差进展分析。(1)对于舍入误差Pe)e2b0-2-b/22-b/2(2)对于正数及负数补码截尾误差Pe)e2b0-2-b(3)对于负数原码及反码的截尾误差Pe)e2b0-2-b(4)结论从上看出：量化噪声方差与字长直接有关。字长越长，q越小，量化噪声越小。字长越短，q越大，量化噪声越大。5信噪比对于舍入处置：看出：1信号功率 越大，信噪比越高但受A/D变换器动态范围的限制。2随着字长
10、b添加，信噪比增大，字长每添加1位，那么信噪比添加约6dB.(3)最小信噪比：S/N=10.79+6.02b例子 在Modem中，语音和音乐可视为一随机过程，因此可用概率分布来表示这些信号。它们幅值在零附近，概率分布有一峰值，且随幅度加大分布曲线急剧下降。当抽样信号幅度信号均方根值的34倍时，P(e)-0,那么如对信号进展紧缩为Ax(n),并令 , 那么普通不会出现限幅失真。假设需求信噪比70dB,至少需求多少位modem.P(e)e6.量化噪声经过线性系统h(n)或H(z)求：量化噪声经过线性系统后：1.系统输出 2输出噪声3输出噪声均值 4输出噪声方差1对于舍入噪声分析前题：1系统完全理想
11、，无限精度的线性系统。2e(n)舍入噪声，均值=03线性相加加性噪声-到输出端输出噪声方差求解2对于截尾噪声分析前题：1系统完全理想，无限精度的线性系统。2e(n)截尾噪声，3线性相加加性噪声-到输出端第三节数字滤波器的系数量化误差一、系数量化误差一、系数量化误差DF的系统函数：理想设计ak,bk 是无限精度实践实现时，ak,bk放在存贮单元内，必需求对ak,bk进展量化截尾或舍入，呵斥DF零点、极点位置偏移，影响DF性能，使实践设计出DF与原设计有所不同。严重时，极点跑到单位园外，导致系统不稳定，滤波器不能从运用，这就是系数量化效应。二、研讨滤波器系数量化误差目的选择适宜的字长，以满足频率呼
12、应目的的要求，坚持DF的稳定性及系统的灵敏度。例子设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需求最小字长.(设滤波器作舍入处置解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点1.假设量化设此时极点都在单位园上，那么z=1代入：那么量化误差：三、IIR DF系数量化的统计分析系数无限精度：系数量化后：系数量化误差:系数量化后，偏向DF的输出：看出系数量化后，实践：H(z)HE(z)2.系数量化呵斥频响偏向舍入四、FIR DF 系数量化统计分析由于线性相位FIR DF，有四种滤波器h(n)=奇、偶；N=奇、偶为系数量化后单位冲激呼应第四节DF定点运算中的有限字长
13、效应一、分析前题设DF：在定点运算，舍入运算情况下分析相关误差。即：IIR DF中：(1)存在反响环，由舍入处置在一定条件下引起非线性振荡。2分析舍入噪声用统计方法FIR DF中1不存在非线性振荡除频率采样型构造。由于无反响2直接用统计方法分析二、IIR DF中的零输入极限环振荡什么是零输入极限环振荡？由于IIR DF有一反响，在一定条件下就能够发生振荡。当将输入信号去掉后，由于舍入引入的非线性作用，输出端会停留在某一数值上，或在一数值间振荡，这种景象称为“零输入极限环振荡。例子输入x(n)=0.87(n),系统差分方程：y(n)=0.5y(n-1)+x(n)起始条件：n,limy(n)=0.
14、当做系数舍入量化：起始条件n0,2.极限环景象的利弊在许多实践问题中，要尽量抑制极限环景象。例：在通讯中，极限环景象会在空截线路中产生不需求的信号。但有趣的是：可以利用极限环景象，设计周期性信号发生器，产生各种序列振荡器。二、IIR DF定点运算中有限字长效应的统计分析1分析前题对e(n)进展四个假设：1一切噪声量化误差都是平衡随机序列。2量化噪声与信号不相关，且各噪声之间也不相关。(3)噪声是白色的，Ee(n)*e(n)=0(4)每个噪声都均匀等概率分布。2.例子一个二阶IIR DF 低通，采用定点算法尾数舍入处置，分别计算：直接型，级联型，并联型三种构造的舍入误差。其系统函数：(1)直接型
15、1.7-0.72x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n) 其中，e0(n),e1(n),e2(n)分别为系数0.04，1.7，-0.72相乘后的舍入噪声。输出噪声ef(n)是由这三个噪声经过H(z)=1/B(z)网络构成的。ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n)0.04(2)级联型0.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)0.8(3)并联型0.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)0.8e4(n)0.36-0.32三、FIR DF的运算中有限字长效应我们讨论横截型FIR DF：FIR DF系统函数：在无限精度下：在量化误差有限字长下：每次相乘以后产生一个舍入噪声，有N个相乘即有N个误差。四、结论从上看出：(1)输出噪声不经过系统，所以与系统的参数无关。(2)输出噪声方差与字长b(q=2-b)有关。(3)输出噪声方差与阶数N单位冲激呼应长度有关。阶数越高，FIR DF运算误差越大；在一样精度下，N添加，那么q下降，那么b字长越长。例子作业
