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1、概率统计概率统计下页结束返回一、假设检验的基本思想一、假设检验的基本思想二、单个二、单个/ /两个正态总体参数的假设检验两个正态总体参数的假设检验下页第八章第八章 假设检验假设检验 假设检验假设检验: : 是一类重要的统计推断问题，它根据是一类重要的统计推断问题，它根据样本所提供的信息，检验关于总体的某个假设是否正样本所提供的信息，检验关于总体的某个假设是否正确，从而作出拒绝或接收原假设的决定确，从而作出拒绝或接收原假设的决定. .它分为两类它分为两类: :参数的假设检验参数的假设检验与非参数的假设检验与非参数的假设检验. .概率统计概率统计下页结束返回 例例1. . 设某厂生产一种灯管设某厂
2、生产一种灯管, 其寿命其寿命 XN (m m , 200 2), 原来灯管原来灯管的平均寿命为的平均寿命为m m = 1500小时小时. 现在采用新工艺后现在采用新工艺后, 在所生产的灯管在所生产的灯管中抽取中抽取25只只, 测得平均寿命为测得平均寿命为1675小时小时. 问采用新工艺后问采用新工艺后, 灯管寿灯管寿命是否有显著提高命是否有显著提高 ? 问题表现为：问题表现为：判断判断 m m 1500 ？ 例例2. . 某种农作物的农药残留量某种农作物的农药残留量 X 是否服从正态分布是否服从正态分布 ? 问题表现为：问题表现为：农药残留量农药残留量 X 服从正态分布服从正态分布 ？一、假设
3、检验的基本思想一、假设检验的基本思想 以上例子共同点是以上例子共同点是, 根据样本值去判断一个根据样本值去判断一个“看法看法”是否成是否成立立. 例例1的的 “m m 1500”，例，例2的的“残留量残留量 X 服从正态分布服从正态分布”. “看法看法” 即对即对总体分布状态的一种陈述，称为统计假设总体分布状态的一种陈述，称为统计假设.8.1 假设检验的基本思想和概念假设检验的基本思想和概念下页概率统计概率统计下页结束返回 如何提出原假设如何提出原假设H0: m m =m m0H1: m m m m0双侧双侧检验检验H0: m m =m m0 (m m m m0)右单侧检验右单侧检验左单侧检验
4、左单侧检验要点要点：含等号含等号“=”的作为原假设的作为原假设(这样做就是为了数学处理的方便这样做就是为了数学处理的方便).下页统计假设包括统计假设包括原假设原假设与与备择假设备择假设. 如何提出原假设？如何提出原假设？- 问题问题 原假设原假设 备择假设备择假设 名称名称(类型类型)- m m比比m m0有显著有显著 变化变化(差异差异)？ m m比比m m0有显著有显著 提高提高(增大增大)？ m m比比m m0有显著有显著 降低降低(减少减少)？H1: m m m m0H1: m m m m0H0: m m =m m0 (m m m m0)-概率统计概率统计下页结束返回 例例3.3. 设
5、某考试成绩设某考试成绩XN(m m , 202), 从中任抽从中任抽36人的成绩人的成绩, 算算得得平均分为平均分为75, 问在显著性水平问在显著性水平a a = 0.05下下, 是否可以认为全体考生是否可以认为全体考生的平均成绩为的平均成绩为70分？分？ 要点要点: 某考试某考试 (所有所有) 成绩是总体成绩是总体, 任意抽取的任意抽取的36人的成绩人的成绩为为样本样本. 欲通过样本信息推断总体分布中的欲通过样本信息推断总体分布中的 m m 是否为是否为70分？分？ 检验逻辑检验逻辑(形而上形而上): : 假设总体分布中的假设总体分布中的m m是是7070，即，即 H0: m m =70；
6、推导出样本均值所服从的分布；推导出样本均值所服从的分布； 确定样本均值分布的小概率确定样本均值分布的小概率( (或大概率或大概率) )事件取值范围；事件取值范围； 观察观察所给样本均值所给样本均值是否落在小概率是否落在小概率( (或大概率或大概率) )事件取值范围内；事件取值范围内； 做出统计推断：若属小概率事件发生，则拒绝做出统计推断：若属小概率事件发生，则拒绝H0, ,否则接受否则接受H0. . 检验的逻辑过程检验的逻辑过程下页 检验依据检验依据: 小概率事件在一次试验中一般不发生，若发生了，则认为小概率事件在一次试验中一般不发生，若发生了，则认为不合理；反之，大概率事件在一次试验中发生了
7、，则认为合理不合理；反之，大概率事件在一次试验中发生了，则认为合理. . 最朴素最自然来自内心深处的最初思考：最朴素最自然来自内心深处的最初思考： 样本均值为样本均值为7575分分, ,是大概率事件吗？是大概率事件吗？ 怎么能知道怎么能知道: :样本均值为样本均值为7575分是否为大概率事件，分是否为大概率事件，即样本均值的分布是什么？即样本均值的分布是什么？ 样本均值的分布取决于总体的分布，那么，总体的分样本均值的分布取决于总体的分布，那么，总体的分布是什么？布是什么？ ( ( 显然显然: : ！) )概率统计概率统计下页结束返回即总体即总体XN(70 , 202), 下页 例例3.3. 设
8、某考试成绩设某考试成绩XN(m m , 202), 从中任抽从中任抽36人的成绩人的成绩, 算算得得平均分为平均分为75, 问在显著性水平问在显著性水平a a = 0.05下下, 是否可以认为全体考生是否可以认为全体考生的平均成绩为的平均成绩为70分？分？检验过程检验过程(形而下形而下): : H0: m m =m m0=70,从而知从而知 样本均值的小样本均值的小(大大)概率事件的取值范围概率事件的取值范围 给定的样本均值给定的样本均值75在在大概率事件的取值范围内大概率事件的取值范围内 ！ 推断推断: 接受接受H0.概率统计概率统计下页结束返回 检验过程的标准化检验过程的标准化查表得查表得
9、U的的接受域接受域(大概率事件域大概率事件域)为为 |U|1.96，所给样本值转化为所给样本值转化为显然显然, 样本值样本值U在接受域内在接受域内, 接受接受H0 . .可认为总平均为可认为总平均为70分分. 在实际问题中在实际问题中, 为了便于查表计算为了便于查表计算, 一般不直接讨论样本均一般不直接讨论样本均值的分布规律值的分布规律, 而是而是选择一个含有样本均值与被检验参数的统计选择一个含有样本均值与被检验参数的统计量量来讨论来讨论, 这样做就相当于进行了一个这样做就相当于进行了一个一一对应的映射一一对应的映射, 所以问所以问题的本质不变！但题的本质不变！但问题的矛盾却转移到常见的统计量
10、上了问题的矛盾却转移到常见的统计量上了.下页 在本例中的具体做法是，因为原假设为在本例中的具体做法是，因为原假设为H0: m m =m m0=70, 所所以以选择统计量选择统计量概率统计概率统计下页结束返回 当当H0为真时为真时, 统计量的大概率事件取值范围统计量的大概率事件取值范围, 称为称为H0的的接受接受域域; 统计量的小概率事件取值范围统计量的小概率事件取值范围, 称为称为H0的的拒绝域拒绝域. 比如比如右单侧检验的拒绝域右单侧检验的拒绝域为为右单侧分位点右边区域右单侧分位点右边区域； 同理同理左单侧检验的拒绝域左单侧检验的拒绝域为为左单侧分位点左边区域左单侧分位点左边区域； 双侧检验
11、的拒绝域双侧检验的拒绝域为为双侧分位点的外侧区域双侧分位点的外侧区域. a a 称为显著性水平称为显著性水平. 接受域与拒绝域接受域与拒绝域下页二、假设检验的基本方法二、假设检验的基本方法 根据问题的要求提出原假设根据问题的要求提出原假设H0和备择和备择H1； 根据根据 H0选取统计量选取统计量 U=U( (X1,X2,Xn;q q) )并确定其分布并确定其分布; 对给定的显著性水平对给定的显著性水平a a , 确定拒绝域和接收域确定拒绝域和接收域; 计算统计量的值计算统计量的值U=U(x1,x2,xn)； 推断推断: 当当U落入拒绝域落入拒绝域, 就拒绝就拒绝H0；否则就接受否则就接受H0.
12、含要检验含要检验的参数的参数q q概率统计概率统计下页结束返回下页 例例3.3. 设某考试成绩设某考试成绩XN(m m , 202), 从中任抽从中任抽36人的成绩人的成绩, 算算得得平均分为平均分为75, 问在显著性水平问在显著性水平a a = 0.05下下, 是否可以认为全体考生是否可以认为全体考生的平均成绩为的平均成绩为70分？分？解解: : 属单正态总体属单正态总体s s 2已知时已知时, m m 的的双侧检验问题双侧检验问题. .依依题题意有意有 H0: m m =70, H1: m m 70. 选择统计量选择统计量 提出原假设提出原假设 确定拒绝域确定拒绝域 计算统计量的值计算统计
13、量的值 推断推断U1.96 .因为因为U=1.5, 不在拒绝域内不在拒绝域内, 所以接受所以接受H0 ,即可以认为全体考生的平均成绩为即可以认为全体考生的平均成绩为70分分.完整解答完整解答概率统计概率统计下页结束返回第第类错误：类错误：“弃真弃真”, H0为真时为真时, H0被拒绝了被拒绝了. 且且第第类错误：类错误：“纳伪纳伪”, H0不真时不真时, H0被接受了被接受了. 且且P H0被拒绝被拒绝 / H0为真为真=a .a .P H0被接受被接受 / H0不真不真 =.下页三、两类错误三、两类错误 在样本容量在样本容量 n 确定后确定后, a a 和和b b不可能同时减小不可能同时减小
14、, 除非增大样本除非增大样本容量容量 n, 但但 n无限增大是不可能的无限增大是不可能的. 奈曼与皮尔逊奈曼与皮尔逊(Neyman-pearson) 提出在控制犯第一类错误提出在控制犯第一类错误的概率的概率a a 的条件下的条件下, 尽量使犯第二类错误的概率尽量使犯第二类错误的概率b b小小, 基于这一原基于这一原则寻求最优检验则寻求最优检验, 也很难实现也很难实现. 于是只好再降低要求于是只好再降低要求, 实际中通实际中通常常只控制犯第一类错误的概率只控制犯第一类错误的概率a a .概率统计概率统计下页结束返回F 检验检验 用用 F分布分布一般说来一般说来, 按照检验所用的统计量的分布按照检验所用的统计量的分布, 分为分为U 检验检验 用正态分布用正态分布t 检验检验 用用 t 分布分布检验检验用用分布分布结束四、检验名称四、检验名称
