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1、1 1 建立方程、定解条件建立方程、定解条件1.1.方程的导出方程的导出2.2.定解条件和定解问题定解条件和定解问题3.3.变分原理变分原理4.4.分离变量法分离变量法上页上页 下页下页 返回返回1.方程的导出方程的导出 本章研究本章研究调和方程调和方程（又称（又称拉普拉斯方程拉普拉斯方程）以及以及泊松方程泊松方程 的基本定解问题及解的性质。的基本定解问题及解的性质。(1.1)(1.2)上页上页 下页下页 返回返回(1) 引力位势引力位势上页上页 下页下页 返回返回经计算可得：经计算可得：直接计算可得：直接计算可得：还可进一步验证：还可进一步验证：上页上页 下页下页 返回返回(2) 静电场的电
2、位势静电场的电位势 应用高斯公式，上式可改写为：应用高斯公式，上式可改写为：上页上页 下页下页 返回返回由区域由区域G的任意性得：的任意性得：静电场方程静电场方程由于静电场是无旋场，因而存在电势由于静电场是无旋场，因而存在电势u，从而静电场的电势从而静电场的电势u应当满足应当满足泊松方程泊松方程如果静电场的某一区域里没有电荷，即如果静电场的某一区域里没有电荷，即=0，则则静电场方程在该区域上简化为静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程拉普拉斯方程上页上页 下页下页 返回返回(3) 稳定温度分布稳定温度分布 上页上页 下页下页 返回返回2.定解条件和定解问题定解条件和定解问题(1) 第一边值问题
3、（第一边值问题（Dirichlet问题）问题） (2) 第二边值问题（第二边值问题（Neumann问题）问题） 上页上页 下页下页 返回返回(3) Dirichlet外问题外问题 (4) Neumann外问题外问题 注注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：上页上页 下页下页 返回返回其它边界条件其它边界条件 (5) 第三类边界条件第三类边界条件 (6) 等值面边界条件等值面边界条件 （总流量边界条件）（总流量边界条件） 上页上页 下页下页 返回返回3.
4、变分原理变分原理膜的平衡问题膜的平衡问题： 上页上页 下页下页 返回返回上页上页 下页下页 返回返回外力作功外力作功总位能总位能应变能应变能上页上页 下页下页 返回返回即：即：上页上页 下页下页 返回返回(1)问题问题2的解答：的解答：上页上页 下页下页 返回返回上页上页 下页下页 返回返回上页上页 下页下页 返回返回(3)上页上页 下页下页 返回返回(5)(4)即即上页上页 下页下页 返回返回上页上页 下页下页 返回返回4.分离变量法求解分离变量法求解Laplace方程方程(1) 矩形区域上矩形区域上Laplace方程的第一边值问题方程的第一边值问题代入方程代入方程(1)(1)得：得： 分离
5、变量：分离变量：上页上页 下页下页 返回返回由此得由此得 X，Y 满足得常微分方程满足得常微分方程：由边界条件由边界条件(2)知：知：得固有值问题：得固有值问题：解之得：解之得：上页上页 下页下页 返回返回通解为通解为其中其中Ak，Bk为任意常数。为任意常数。因此因此 是满足方程是满足方程(1)和边界条件和边界条件(2)的解的解。上页上页 下页下页 返回返回叠加所有的叠加所有的Uk ，即即 代入边界条件代入边界条件(3)，得得： 上页上页 下页下页 返回返回由傅里叶正弦展式的系数公式得由傅里叶正弦展式的系数公式得解得：解得：上页上页 下页下页 返回返回(2) 圆形区域上圆形区域上Laplace
6、方程的第一边值问题方程的第一边值问题上页上页 下页下页 返回返回(3)(4)即：即：上页上页 下页下页 返回返回由此得由此得 R， 满足得常微分方程满足得常微分方程：由周期性条件由周期性条件(4)(4)得得: :固有值问题的讨论固有值问题的讨论：得固有值问题：得固有值问题：(5)上页上页 下页下页 返回返回(6)上页上页 下页下页 返回返回因此因此 是满足方程是满足方程(1)和自然边界条件和自然边界条件(3)以及周期性条件以及周期性条件(4)的解的解。由叠加原理，满足由叠加原理，满足(1)(3)(4)的解可表为：的解可表为：上页上页 下页下页 返回返回代入边界条件代入边界条件(2)得：得：故故上页上页 下页下页 返回返回代入级数得：代入级数得：证明证明上页上页 下页下页 返回返回上页上页 下页下页 返回返回(3) 圆形区域上热传导方程的混合问题圆形区域上热传导方程的混合问题上页上页 下页下页 返回返回即：即：于是有：于是有：由由(2)知：知：另有自然边界条件：另有自然边界条件：上页上页 下页下页 返回返回得偏微分方程得偏微分方程固有值问题：固有值问题：即：即：上页上页 下页下页 返回返回于是：于是：上页上页 下页下页 返回返回
