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1、第二章极第二章极 限限数列的极限数列的极限无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 结束结束函数的极限函数的极限极限的运算极限的运算极限存在定理极限存在定理两个重要极限两个重要极限无穷小量的比较无穷小量的比较1教书育人第二节第二节 函数的极限函数的极限4教书育人定义定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？5教书育人6教书育人 将图形对称过去后将图形对称过去后, , 你有什么想法你有什么想法? ? 将图形对称将图形对称7教书育人定义定义8教书育人 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?9教书育人你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 现在
2、从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?10教书育人定义定义11教书育人由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,12教书育人定理定理定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:13教书育人证证证证成立. 由极限的定义可知:例例1 114教书育人由图容易看出：分析 需要证明之处 请同学们 自己证一下.例例218教书育人 x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.19教书育人 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义
3、. 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.例例320教书育人21教书育人定义定义22教书育人(23教书育人证证证证 这是证明吗？这是证明吗？这是证明吗？这是证明吗？非非常常非非常常严严格格！例例424教书育人证证例例525教书育人证证？如何处理它如何处理它如何处理它如何处理它例例626教书育人 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0x211 11+ 1分析分析结论27教书育人证证证毕例例628教书育人在极限定义中：在极限定义中：1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0
4、). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.29教书育人y = a y = a y = axOyx0x0 x0 + 曲线只能从该矩形的左右两边穿过30教书育人在以后的叙述中, 如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立 , 则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号三、函数极限的性质极限. 函数极限的性质与数列极限的性质类似, 我们只列举出来, 其证明过程请同学们自己看书.31教书育人2
5、.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.1.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系32教书育人 极限值的正负与函数值正负的关系 该定理也称为第一保号性定理33教书育人极限值正负与函数值正负关系的推论34教书育人 函数值的正负与极限值正负的关系 该定理也称为第二保号性定理35教书育人注意注意: :当 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,按照第二保号性定理也只能得到a 0 ( a 0 ) 结论.37教书育人考虑两个问题.38
6、教书育人(39教书育人y = a y = a y = axOyx0x0 + 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下, 函数有极限吗 ? 如何描述这种情形？40教书育人想想这种情形下, 函数有极限吗 ?y = a y = a y = axOyx0x0 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？41教书育人定义定义定义定义42教书育人定义定义定义定义43教书育人(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：44教书育人y = f (x)xOy11在 x
7、= 1 处的左、右极限.解例例745教书育人y = a y = a y = axOyx0x0 + y = a y = a y = aOyx0x0 对此有什么想法没有？ “左右结合”46教书育人定理定理定理定理 利用 0| x x0| x x00 或0 x x0 和极限的定义, 即可证得.47教书育人解例例848教书育人解例例949教书育人例例10证证50教书育人思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则是否一定有？51教书育人三、极限定义及定理小结三、极限定义及定理小结52教书育人 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式53教书育人 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式54教书育人重要定理55教书育人内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则是否一定有？56教书育人练习练习练习练习 证明证明: : 当当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有57教书育人
