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1、 如何将函数表示为幂级数?怎么做怎么做？一、函数展开为幂级数高等数学无穷级数(10)1、泰勒级数、泰勒级数高等数学无穷级数(10) 将函数展开为幂级数的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?高等数学无穷级数(10)一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数, 即它的和函数:任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有问题高等数学无穷级数(10)定理高等数学无穷级数(10)证证由定理的条件可知, 且其和函数于是有高等数学无穷级数(10)由数学归纳法, 得该定理说明, 幂级数的和函数, 则该幂级数一定是下列形式:高等数学无穷级数(10) 定理和定义给我们提供了什么信息 ?定义
2、定义定义定义高等数学无穷级数(10)定理和定义告诉我们：处有任意阶导数, 则它就有一个相应的泰勒级数存在. 但此泰勒级数不一定收敛, 即算收敛, 其和函数也不一定等于就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的.内可表示为幂级数的形式, 则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数.高等数学无穷级数(10)问问问问 题题题题高等数学无穷级数(10)回忆泰勒中值定理的构建过程由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有 ?高等数学无穷级数(10)定理定理高等数学无穷级数(10)证 余下的工作由学生自己完成.高等数学无穷级数(10)高等数学无穷级数(10)推推 论论高等数学无穷级数(10)证（提示
3、）自己做!高等数学无穷级数(10)马克劳林级数高等数学无穷级数(10)就可写出它的泰勒级数. 但它的泰勒级数不一定收敛,只有当拉格朗日余项时, 泰勒级数才收敛于一个函数如果能够展开为幂级数形式, 则该幂级数一定是它的泰勒级数, 且这种展开是唯一的.即使收敛,其和函数高等数学无穷级数(10)2、函数展开为、函数展开为幂级数幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法高等数学无穷级数(10)该方法是先求出函数写出它的泰勒级数,然后, 判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足确定级数的收敛区间.直接展开法直接展开法高等数学无穷级数(10)例1解解高等数学无穷级数(10)高等数学无穷级数(10)例2解解高等
4、数学无穷级数(10)高等数学无穷级数(10)从一些已知函数的泰勒展开式出发, 利用幂级数的四则运算和解析运算性质, 以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法, 称为间接展开法.间接展开法间接展开法高等数学无穷级数(10)例3解解高等数学无穷级数(10)高等数学无穷级数(10)利用变量代换例4解解高等数学无穷级数(10)等比级数的和例5解解高等数学无穷级数(10)可利用它对某些数值或定积分值等进行近似计算 二、函数幂级数展开式的应用举例函数幂级数展开式的应用举例 高等数学无穷级数(10)计算的近似值, 精确到例1解解高等数学无穷级数(10) 计算 的近似值 ,使准确到故令得于是有例2解解高等数学无穷级数(10)在上述展开式中取前四项, 高等数学无穷级数(10) 利用求误差. 先把角度化为弧度(弧度)误差不超过 的近似值 , 并估计例3解解高等数学无穷级数(10)计算积分的近似值, 精确到 由于故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间上连续, 且有幂级数展开式 :例5解解高等数学无穷级数(10)
