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1、变化率及导数的概念变化率及导数的概念问题问题1.1.气球平均膨胀率气球平均膨胀率. .吹气球时吹气球时, ,会发现会发现: :随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加, ,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢, ,能从数能从数学的角度解释这一现象吗学的角度解释这一现象吗? ?解解: :可知可知:V(r)= r:V(r)= r3 3 即：即：r(V)= r(V)= 当空气容量从增加时，半径增加了当空气容量从增加时，半径增加了 r(1)r(1)r(0) 0.62 r(0) 0.62 气球平均膨胀率：气球平均膨胀率： y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如图：
2、如图：PQ叫做曲线的割线叫做曲线的割线 平均变化率的几何意义: 割线的斜率割线的斜率平均变化率为问题问题4 4：瞬时速度：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是: : S(t)= gt S(t)= gt2 2, , 12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？ 能否用求平均速度的方法求某一时刻能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？的瞬时速度？ （我们可以取（我们可以取t=3t=3临近时间间隔内的临近时间间隔内的平均速度当作平均速度当作t=3t=3时刻的瞬时速度，时刻的瞬时速度，不过时间隔要很小很小）不过时间隔要很小很小） 问题问题4 4：瞬时速度
3、：瞬时速度物体自由落体的运动方程是物体自由落体的运动方程是: : S(t)= gt S(t)= gt2 2, , 12如何求如何求t=3t=3这时刻的瞬时速度呢？这时刻的瞬时速度呢？ 解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t = = g(3+t)g(3+t)2 2g gV = V = t(6+t)问题问题4 4：瞬时速度：瞬时速度解：取一小段时间：解：取一小段时间：3,3+t 3,3+t = = g(3+t)g(3+t)2 2g gV = V = t(6+t)当当t 0t 0时，时，v 3g =29.4v 3g =29.4（平均速度的趋向为瞬时速度）（平均速度的趋向为瞬时速度
4、） 瞬时速度：瞬时速度：（平均速度的趋向为瞬时速度）（平均速度的趋向为瞬时速度） 即：即：limlimt 0t 0S(3S(3+ +t)t)S(3)S(3)t t= 29.4= 29.4 思考：在思考：在t t0 0时刻的瞬时速度呢？时刻的瞬时速度呢？limlimt 0t 0S(tS(t0 0+ +t)t)S(tS(t0 0) )t t例1 一辆汽车按规律： 作直线运动，求：（1）这辆汽车在t=3秒时的瞬时速度；（2）t=0到t=2时的平均速度.例2 若一物体运动方程如下：求此物体在t=1和t=3时的瞬时速度瞬时变化率：瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的趋向求得思考：我们利用平均速度的趋向求
5、得瞬时速度，那么如何求函数瞬时速度，那么如何求函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0点的瞬时变化率呢？点的瞬时变化率呢？可知可知: :函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x xlimlimx 0x 0f fx x=导数导数函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率为：处的瞬时变化率为：limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x xlimlimx 0x 0f fx x=我们称它为函数我们称它为函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数记作：记作：f(xf(x0 0)=)=limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x x小结：由定义知，求小结：由定义知，求f(x)f(x)在在x x0 0处的导数步骤为：处的导数步骤为：例例3.3.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：小结：小结：平均速度瞬时速度；平均速度瞬时速度；平均变化率瞬时变化率；平均变化率瞬时变化率；导数导数f(xf(x0 0)=)=limlimx 0x 0f(xf(x0 0+ +x)x)f(xf(x0 0) )x x
