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1、理理 论论 力力 学学Wednesday, August 28, 2024第一部分第一部分 静静 力力 学学第二章第二章平面汇交平面汇交力系与平面力偶系力系与平面力偶系1力系分类：力系分类：平面力系平面力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面任意力系平面任意力系空间力系空间力系空间汇交力系空间汇交力系空间平行力系空间平行力系(空间力偶系空间力偶系)空间任意力系空间任意力系第第 2 2 章章第第 2 2 章章 第第 3 3 章章第第 4 4 章章第第 5 5 章章专门问题专门问题考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题2第二章第二章平面汇交平面汇交力系与平面力偶系力系与平面力偶系本章
2、本章主要内容主要内容2-12-1平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡 几何法几何法2-22-2平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡 解析法解析法2-32-3平面平面力对点之矩的概念与计算力对点之矩的概念与计算2-42-4平面力偶理论平面力偶理论本章讨论平面汇交力系两个问题本章讨论平面汇交力系两个问题: :1 1 、合成合成（简化）（简化）2 2 、平衡平衡研究方法：研究方法：1 1 、 几何法几何法（矢量法）（矢量法）2 2 、解析法解析法（投影法（投影法) )静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系32-1 2-1 平面汇交力系合
3、成与平衡的平面汇交力系合成与平衡的几何法几何法一、合成一、合成1 1、两个力的合成、两个力的合成用平行四边形法则即可用平行四边形法则即可2 2、多个力的合成、多个力的合成以四个力的情况为例以四个力的情况为例 FRF1F2F3F4力多边形；力多边形；合力合力 为为力多边形的力多边形的封封闭边闭边。FR作用线通过汇交点作用线通过汇交点A。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系4 设平面汇交力系由设平面汇交力系由n个力个力 （i = 1,2,n）组成组成, ,记记为为 。 根据平行四边形法则，将各力依次两两合成（或根据平行四边形法则，将各力依次两两合成（或由力
4、多边形法则合成），可将汇交力系合成为一个合由力多边形法则合成），可将汇交力系合成为一个合力（记为力（记为 ）。汇交力系合力的矢量表达式为。汇交力系合力的矢量表达式为 结论：结论：汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点。 3 3、n个力的合成个力的合成静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系5F1FRFR2FR1F4F3F2 合力矢合力矢 与各分力矢的作图顺序无关与各分力矢的作图顺序无关O静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第
5、二章：平面汇交力系与平面力偶系OF2F1F4F3FR利用力多边形法则注意问题：利用力多边形法则注意问题： 各分力矢必须首尾相接各分力矢必须首尾相接合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端按力的比例尺准确地画各力的大小和方向按力的比例尺准确地画各力的大小和方向6力多边形合成的结论力多边形合成的结论 平面汇交力系合成的结果是平面汇交力系合成的结果是一个合力一个合力，合力的，合力的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的封闭封闭边边表示表示二、平衡二、平衡平衡的结论平衡的结论:受平面汇交力系作用的刚体，平衡受平面
6、汇交力系作用的刚体，平衡静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系7平衡的几何条件：平衡的几何条件：力多边形力多边形自行封闭自行封闭几何法的几何法的优点优点：直观；：直观； 缺点缺点：求解需作图，精度不高。：求解需作图，精度不高。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系82-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在正交坐标轴上的投影一、力在正交坐标轴上的投影l 力在坐标轴上的投影是力在坐标轴上的投影是标量标量l 注意投影的注意投影的正负号正负号l 已知投影求力的大小和方向已知投影求
7、力的大小和方向静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系9二、力的解析表达式二、力的解析表达式设沿坐标轴方向的单位矢量设沿坐标轴方向的单位矢量为为l 注意注意分力分力与与投影投影的的区别区别与与联系联系。则力沿坐标轴方向的分力：则力沿坐标轴方向的分力：则有：则有：ij* *分力是矢量，分力是矢量，投影是标量。投影是标量。 * *当坐标轴非正交时，大小也不相等。当坐标轴非正交时，大小也不相等。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系10* *当坐标轴非正交时，大小也不相等当坐标轴非正交时，大小也不相等l注意注意分力分力与与
8、投影投影的的区别区别与与联系联系XY即：即：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系11三、合力投影定理三、合力投影定理定理定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。一轴上投影的代数和。即即： 若若则则四、合成四、合成由合力投影定理，合力的投影为：由合力投影定理，合力的投影为：合力的大小和方向为：合力的大小和方向为：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系12五、平衡五、平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡而而所以所以即：即：受平面汇交力
9、系作用的刚体，平衡受平面汇交力系作用的刚体，平衡平面汇交力系有平面汇交力系有两个两个独立的独立的平衡方程平衡方程，可解，可解两两个个未知量。未知量。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系13用平衡方程解题的用平衡方程解题的一般步骤一般步骤：1 1、确定研究对象，画出、确定研究对象，画出 研究对象的受力图研究对象的受力图2 2、建立坐标系、建立坐标系3 3、列出平衡方程、列出平衡方程4 4、解出未知量、解出未知量静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系14例例1 1：图示结构，已知图示结构，已知P=10 kN，AC =
10、 CB，AB与与CD夹夹角如图，各杆自重不计。角如图，各杆自重不计。求求：A处反力和处反力和CD杆受力杆受力。解解：取：取AB为研究对象。为研究对象。 受力如图受力如图ABCFAxFAyPFCABCPFCEFA 45 o建立坐标如图建立坐标如图列平衡方程列平衡方程xy静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系15由几何关系：由几何关系：解出：解出：说明说明：FA的的负号负号表示它的实际方向与图示的假设方向相反。表示它的实际方向与图示的假设方向相反。解题要求解题要求:(1):(1)对象；（对象；（2 2）受力图（注意二力构件，三力平衡汇）受力图（注意二力构件，
11、三力平衡汇交）；交）；(3)(3)坐标；（坐标；（4 4）平衡方程；）平衡方程； （5 5）求解）求解 。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系ABCFAxFAyPFCABCPFCEFA 45 oxy16例例2 2：图示图示A、B两轮的自两轮的自重比为重比为FGA/FGB =3，AB杆自重不计，摩擦不计。杆自重不计，摩擦不计。求求：平衡时的：平衡时的 角。角。解解：1 1、取取A轮为对象，轮为对象， 受力如图。受力如图。取坐标系如图取坐标系如图aA30oFGA xy30oFN1F1( 1 )静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力
12、系与平面力偶系a60o30oAB 17aBFGBF2FN2 60oxy2 2、取取B轮为对象，受力轮为对象，受力如图。如图。 取图示坐标系。取图示坐标系。( 2 )又又AB杆为二力杆杆为二力杆( 3 )由式由式(1),(2),(3)(1),(2),(3)可解出：可解出：所以：所以：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系a60o30oAB ( 1 )182 - 3 2 - 3 平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算一、力对点的矩一、力对点的矩力矩：力矩：是力使物体绕一点转动作用的度量。是力使物体绕一点转动作用的度量。定义：定义： o 力矩中心
13、，简称力矩中心，简称矩心矩心； h 力臂；力臂；l 正负号规定：正负号规定：逆时针为逆时针为正正；顺时针为；顺时针为负负；l 平面内力对点的矩是平面内力对点的矩是标量标量；l 力矩的单位：力矩的单位：N m ，或或 kN m 。力矩的几何表示：力矩的几何表示： Mo ( F ) = 2 OAB面积面积力矩的矢量表示：力矩的矢量表示：大小：大小： ；方向：满足右手法则方向：满足右手法则静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系a19二、力矩的基本性质二、力矩的基本性质1 1、力沿作用线移动时，、力沿作用线移动时， 力矩保持不变。力矩保持不变。2、力的作用线通过
14、矩心力的作用线通过矩心三、合力矩定理三、合力矩定理定理定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和。即即：若：若则：则：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系a20三、合力矩定理三、合力矩定理证明证明：设平面汇交力系如图示设平面汇交力系如图示 在力的作用面内取一点在力的作用面内取一点O，到汇交点，到汇交点A的矢径记为的矢径记为由合力由合力以以矢积矢积有有静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系AO21 xyOA(
15、x, y)F例例3 3、已知、已知 , 与与 x 轴夹角轴夹角为为，作用点，作用点 A( x, y ).求求： 。解解：FyFxxy直接根据定义计算时直接根据定义计算时，力臂的计算较麻烦。，力臂的计算较麻烦。利用合力矩定理求解。利用合力矩定理求解。所以：所以：力矩的解析公式力矩的解析公式力沿坐标轴方向的投影为：力沿坐标轴方向的投影为：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系 22Pxxdxh例例4 4：作用在梁作用在梁AB分布载荷如分布载荷如图示，载荷集度图示，载荷集度q, 梁长梁长l 。求求：分布力的合力的大小：分布力的合力的大小及合力作线位置。及合力作
16、线位置。解解： 分布力的载荷集度分布力的载荷集度 q 单位长度上的力，单位为：单位长度上的力，单位为： N/m , 或或 kN/m 。1) 1) 求合力的大小：求合力的大小：设合力为设合力为P，作用线距，作用线距A点为点为 h 。建立建立x坐标如图。坐标如图。取取x处微段处微段dx , 设设x处的载荷集度为处的载荷集度为q(x)。q(x)静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系231) 1) 求合力的大小求合力的大小取取x处微段处微段dx , 设设x处的载处的载荷集度为荷集度为q (x)。则则所以所以由几何关系，得由几何关系，得Pxxdxhq(x)静力学静
17、力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系242) 2) 求合力作用线位置求合力作用线位置 用合力矩定理求合用合力矩定理求合力作用线位置力作用线位置所以：所以：Pxxdxhq(x)静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系合力的大小：合力的大小：位置：位置：252 - 4 2 - 4 平面力偶理论平面力偶理论一、力偶和力偶矩一、力偶和力偶矩1 1、力偶的概念、力偶的概念 力力 偶偶 : : 由大小相等由大小相等, ,方向相反方向相反, ,作用线平行且不作用线平行且不共线的两个力所组成的力系共线的两个力所组成的力系. . ABFFd
18、用用 表示。表示。l 力偶作用面力偶作用面l 力偶臂力偶臂二力作用线之间的垂直距离二力作用线之间的垂直距离 d .二力作用线所二力作用线所决定的平面决定的平面静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系力偶是一种基本力学量力偶是一种基本力学量, ,力偶对刚力偶对刚体的作用，只有转动效应。体的作用，只有转动效应。力偶力偶是一种特殊的力系。力和力偶是是一种特殊的力系。力和力偶是静力学中两个基本要素。静力学中两个基本要素。26力力 偶偶 实实 例例F1F2静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系272 2、力偶矩、力偶矩力偶矩：
19、力偶矩：是力偶对刚体产生转动是力偶对刚体产生转动 效应的度量。效应的度量。 用用 表示，简记为表示，简记为 M 。定义为：定义为： 正负号规定：正负号规定：逆时针逆时针为为正正；顺时针顺时针为为负负； 力偶矩的单位：力偶矩的单位：N m ，或或 kN m 。 力偶矩的几何表示：力偶矩的几何表示：AFFCdB其中，其中，A A点可以是点可以是 作用线上的任一点。作用线上的任一点。平面力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩平面力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩 ， 即：力偶矩的大小与力偶在作用面内的转向。即：力偶矩的大小与力偶在作用面内的转向。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二
20、章：平面汇交力系与平面力偶系28二、力偶的基本性质二、力偶的基本性质性质性质1 1由由反向平行力反向平行力的的合成合成知：力偶的知：力偶的合力合力不存在不存在。因为力偶的合力不存在，所以因为力偶的合力不存在，所以力偶力偶不能不能与与一个一个力力等效。等效。因此，因此，力偶力偶不能不能用用一个力一个力来来平衡。平衡。性质性质2 2由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡；由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡；下面将要介绍的力偶系的平衡可得此结论。下面将要介绍的力偶系的平衡可得此结论。不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。力偶本身不平衡力偶本身不平衡, ,力偶只能
21、用力偶来平衡。力偶只能用力偶来平衡。静力学静力学/ /第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系29性质性质 3 3证明证明：在任一轴在任一轴 x 上的投影：上的投影：力偶对其作用面内任一点的矩都相等，恒力偶对其作用面内任一点的矩都相等，恒等于其力偶矩。力偶在其作用面内任一轴等于其力偶矩。力偶在其作用面内任一轴上的投影恒为零。上的投影恒为零。对任一点对任一点O的力矩为的力矩为静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系ABFFdOax 30三、同平面内力偶的等效定理三、同平面内力偶的等效定理定理定理作用在同一平面内的两个力偶，作用在同一平
22、面内的两个力偶，等效等效两力偶的力偶矩相等。两力偶的力偶矩相等。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系31证明：证明：充分性充分性即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效。即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效。dF0F0FF设：设：l 将力移至将力移至A、B点。点。ABFFF0F0DCCDl 因为力偶矩相等，所因为力偶矩相等，所以以ABCl 因此，因此，CDAB，l 分解分解 力，使得力，使得同理：同理：F1F1， 下面证明两力偶等效。下面证明两力偶等效。CD AB。 与与ABD的面的面积相等。积相等。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平
23、面汇交力系与平面力偶系32l 因为两平行四边形因为两平行四边形全等，所以：全等，所以：l 故，在力偶故，在力偶 上加上一对上加上一对平衡力平衡力 ，就就得到力偶得到力偶 由加减平衡力系公由加减平衡力系公理，两力偶等效。理，两力偶等效。 充分性证毕充分性证毕dF0F0FFABFFF0F0DCCDF1F1必要性必要性 即：若两力偶等效，则它们的力偶矩相等。即：若两力偶等效，则它们的力偶矩相等。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系33由由力偶等效定理力偶等效定理可得两个推论：可得两个推论：推论推论1 1： 只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内只要保持力偶矩不
24、变，力偶可在作用面内任意任意移动移动，其对刚体的作用效应不变。，其对刚体的作用效应不变。FF FF 力偶可以在其力偶可以在其作用面内作用面内任意任意移动移动和和转动，转动，而而不不改变改变力偶对力偶对刚体刚体的的作用效应作用效应。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系34 只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意内任意转动转动，其对刚体的作用效应不变。，其对刚体的作用效应不变。FF FF * *力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。无关。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与
25、平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系35推论推论2 2： 只要保持力偶矩的大小和转向不变，可只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中以同时改变力偶中力力和和力偶臂力偶臂的的大小大小，而而不改变不改变力偶对力偶对刚体刚体的的作用效应。作用效应。注意：注意：此两推论只对此两推论只对同一个刚体同一个刚体成立，成立，对对变形体变形体不成立不成立。FF F / 2F/ 2静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系36由此可知由此可知: :只有只有力偶矩力偶矩( (大小和转向大小和转向) )才是平面力偶作用的才是平面力偶作用的唯唯一度量。一度量。所以，力
26、偶的表示可以简化：所以，力偶的表示可以简化：有时在习题中，用有时在习题中，用M表示力偶矩的表示力偶矩的大小大小（不加正（不加正负号）用负号）用箭头箭头表示力偶的表示力偶的转向转向。力偶中力偶中力的大小力的大小，力偶臂的长短力偶臂的长短，都都不是不是力偶的力偶的特征量特征量。或或静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系371 1、平面力偶系的合成平面力偶系的合成(1). (1). 两力偶的合成两力偶的合成设同一平面内两力偶的力偶矩为设同一平面内两力偶的力偶矩为M1 和和 M2，则，则它们的合成结果为一它们的合成结果为一合力偶合力偶，合力偶的力偶矩，合力偶的力
27、偶矩为：为： M = M1 + M2即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的代数和代数和。四、平面力偶系的合成与平衡条件四、平面力偶系的合成与平衡条件静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系38证明证明：F3F3F4F4FF取取：AB = d合力偶的力偶矩为：合力偶的力偶矩为：所以：所以：由推论：由推论：合成：合成：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系39(2). (2). 同平面内多个力偶的合成同平面内多个力偶的合成同上述方法多个力偶的合成，有：同上述方法多个力偶的合成，有
28、：即：平面力偶系的合成结果为一即：平面力偶系的合成结果为一合力偶合力偶，合力偶，合力偶的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的代数和代数和。2 2、平面力偶系的平面力偶系的平衡条件平衡条件定理：受平面力偶系作用的刚体平衡的定理：受平面力偶系作用的刚体平衡的充分必要充分必要条件条件：各力偶的力偶矩的：各力偶的力偶矩的代数和代数和为零。为零。即：受平面力偶系作用的刚体，平衡即：受平面力偶系作用的刚体，平衡静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系40l 由平衡条件可知：力偶只能用力偶来平衡。由平衡条件可知：力偶只能用力偶来平衡。l 平面力偶系
29、的平衡方程为：平面力偶系的平衡方程为：此方程可解此方程可解一个一个未知量。未知量。静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系注：注：41例例5 5：结构受力如图结构受力如图, , M, r均均为已知为已知, ,且且 l = 2r.求求: : 画出画出AB和和BDC杆的受杆的受力图力图; ;并求并求A, C处的约束力处的约束力.解：解：（2）取）取BDC杆，杆，B 处受力的方位可处受力的方位可（1 1）取）取AB杆为研究对象杆为研究对象; ;AB杆为二力杆，受杆为二力杆，受力如图。力如图。以判定。以判定。问题问题：能否确定：能否确定：能否确定：能否确定C C处
30、受力的方位？处受力的方位？处受力的方位？处受力的方位？静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系42问题问题：能否确定：能否确定C C处受力的方位？处受力的方位？处受力的方位？处受力的方位？根据根据力偶只能用力偶来平衡，力偶只能用力偶来平衡，可可以确定出以确定出C 处受力的方位如图处受力的方位如图。（3 3）求求A、C处约束反力处约束反力力偶臂力偶臂EC为：为：解出：解出：结果为结果为正正，说明力，说明力实际方向与所设方向相同。实际方向与所设方向相同。H4545静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系43图示系统平衡，是否与图示系统平衡，是否与力力偶只能用力偶来平衡偶只能用力偶来平衡矛盾矛盾? ?讨论：讨论：静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系44本章作业本章作业:第第1次次 2-1, 2-3, 2- 5第第2次次 2-10 2- 12 2- 15 静力学静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系第二章：平面汇交力系与平面力偶系45
