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1、一、一、初等因子的定义初等因子的定义二二、初等因子与不变因子的关系初等因子与不变因子的关系8.5 初等因子初等因子三、三、初等因子的求法初等因子的求法四、练习四、练习一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）把矩阵把矩阵 的每个次数大于零的不变因子的每个次数大于零的不变因子称为称为A的初等因子的初等因子. 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一、一、初等因子的定义初等因子的定义9个个 则则A的初等因子有的初等因子有7个，它们是个，它们是例例1、若若12级复矩阵级复矩阵A的不变因子是的不变因子是:
2、设设n级矩阵级矩阵A的不变因子为已知：的不变因子为已知：将将 分解成互不相同的一次因式分解成互不相同的一次因式二、二、初等因子与不变因子的关系初等因子与不变因子的关系的方幂的乘积的方幂的乘积:1 1、分析、分析则其中对应于则其中对应于 的那些方幂的那些方幂 :就是就是A的全部初等因子的全部初等因子. 注意到不变因子注意到不变因子 满足满足从而有从而有因此有因此有,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必出现在方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必的分解式中，次高的必出现在出现在 的分解式中的分解式中. 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的
3、方幂如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的唯一确定的. 设级矩阵的全部初等因子为已知设级矩阵的全部初等因子为已知.在全部初等因子中，将同一个一次因式在全部初等因子中，将同一个一次因式 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初等因子的个数不足等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数个时，则在后面补上适当个数的的1，使其凑成，使其凑成n个，设所得排列为个，设所得排列为于是令于是令则则就是就是A的不变因子的不变因子. 2、例、例1、 已知已知3级矩
4、阵级矩阵A的初等因子为：的初等因子为： 求求A的不变因子的不变因子. 解：作排列解：作排列得得A的不变因子为：的不变因子为：结论结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，则它们就有相同的初等因子；则它们就有相同的初等因子；反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有结论结论2、两个同级数字矩阵相似、两个同级数字矩阵相似可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.相同的不变因子相同的不变因子.它们有相同的初等因子它们有相同的初等因子.3 3、性质、性质1、(引理引理1)若多项
5、式若多项式 都与都与 互素，则互素，则三、三、初等因子的求法初等因子的求法证：令证：令显然，显然，由于由于故故 因而因而 另一方面，由于另一方面，由于可令可令其中其中又又由由又得又得同理可得同理可得即即 故故如果多项式如果多项式 都与都与 互素，互素，2、(引理引理2) 设设则则 与与 等价等价.证：首先，证：首先，从而从而 二阶行列式因子相同二阶行列式因子相同.其次，由引理其次，由引理1，有，有从而从而 的一阶行列式因子相同的一阶行列式因子相同.所以，所以， 与与 等价等价.3、(定理定理9) 设设 将特征矩阵将特征矩阵 进行进行初等变换化成对角形初等变换化成对角形然后将主对角线上的元素分解
6、成互不相同的一次因然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子的全部初等因子. 证：设证：设 经过初等变换化成对角形经过初等变换化成对角形其中其中 皆为首皆为首1多项式，多项式，将将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:下证，对于每个相同的一次因式的方幂下证，对于每个相同的一次因式的方幂在在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角矩阵矩阵 与与 等价等价. 此时此时
7、 就是就是 的的且所有不为且所有不为1的的 就是就是A的全部的全部初等因子初等因子.标准形，标准形，为了方便起见，先对为了方便起见，先对 的方幂进行讨论的方幂进行讨论.于是于是 且每一个且每一个 都与都与 互素互素.如果相邻的一对指数如果相邻的一对指数 则在则在 中将中将 与与 对调位置，对调位置，而其余因式保持不动，而其余因式保持不动，令令由引理由引理2与与 等价等价. 等价等价. 然后对然后对 重复上述讨论重复上述讨论.从而从而 与对角矩阵与对角矩阵如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含的方幂是按逆升幂次排列为止的方幂是按逆升幂次排列为止.再依次对作同样处理再依次对作同样处理.最后便得到与最后便得到与 等价的对角阵等价的对角阵 都是按升幂排列的，都是按升幂排列的，的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂即为即为 的标准形的标准形. 4、例、例2、求矩阵、求矩阵A的初等因子的初等因子解：对解：对 作初等变换作初等变换 A的初等因子为的初等因子为:四、练习四、练习1 1、 已知已知7 7阶阶复矩复矩阵阵A A的不的不变变因子是：因子是：则则A A的全部初等因子的全部初等因子为为 . .2、求以下方、求以下方阵阵的不的不变变因子和初等因子因子和初等因子 （1 1）（2 2）
