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1、3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 空间角空间角数量积数量积： 夹角公式夹角公式 线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入1、两条直线的夹角：、两条直线的夹角：lmlm所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： 所以：例：例：2、直线与平面的夹角：、直线与平面的夹角：l例：例：lDCBA3、二面角：、二面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范围：ll法向量法法向量法法向量的方向：法向量的方向：一进一出一进一出，二面角等于法向量夹角；，二面角等于法向量夹角；同进同出同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，二面角等于
2、法向量夹角的补角设平面设平面例：例：1. 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角的所成角的余弦余弦值为值为_ . 2. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为值为_ . 3.正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点, 则则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是_ 利用利用“方向向量方向向量”与与“法向量法向量”来解决来解决距离距离问题问题.第三问题：第三问题：1、点与点的距离、点与点的距离：2、点与
3、直线的距离、点与直线的距离：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求中点，求:点点F到直线到直线AE的距离的距离.例：例：在正方体在正方体中，中，E、F分分别别是是BB1,1,，3、点到平面的距离、点到平面的距离：3、点到平面的距离、点到平面的距离：DABCGFExyzAPDCBMNabCDABCD为为a,b的公垂线的公垂线,A，B分别在直线分别在直线a,b上上已知已知a,b是异面直线是异面直线,4. 异面直线间的距离异面直线间的距离 zxyABCC1即即取x=1,则y=-1,z=1,所以EA1B15. 其它距离问题：其它距离问题：（1）平行线的距离）平行线的距离(转化为点到直线的距离）
4、转化为点到直线的距离）（2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）练习练习1：如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，（I）求证：）求证：AO 平面平面BCD；（II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；（III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离的距离.解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直所以异面直线线AB与与
5、CD所成角的所成角的余弦余弦值为值为 （III）解：）解：设设平面平面ACD的法向量的法向量为为则则令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值; (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.OABCSxyz练习练习2 2： OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：
6、直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值; OABCSxyz如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; 所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为OABCSxyz所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AO
7、C=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2.求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值.练习练习3：如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中点中点.(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为练习练习4： 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小的大小.ABCDP PE EF F
