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1、 双曲抛物面双曲抛物面2. 双曲抛物面双曲抛物面定义定义 2 在直角坐标系下，由方程在直角坐标系下，由方程（2）所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（2）叫）叫做双曲抛物面的标准方程，其中做双曲抛物面的标准方程，其中 为任意的正为任意的正常数常数. 显然曲面（显然曲面（2）关于）关于 面，面， 面与面与 轴轴 对称，但是它没有对称中心对称，但是它没有对称中心.对称性对称性用坐标平面用坐标平面 曲截割曲面，就得曲截割曲面，就得（5）与坐标面的截线与坐标面的截线是什么曲线？是什么曲线？这是一对相交于原点的直线，这是一对相交于原点的直线，方程可以进一步写为：方程可以进一
2、步写为：与与（5）其次用坐标平面其次用坐标平面 与与 来截割曲面来截割曲面（6）与与（7）分别得方程分别得方程两抛物线两抛物线.这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线.主抛物线的特点主抛物线的特点.有相同的顶点与对称轴有相同的顶点与对称轴.（6）（7）它们所在的平面互相垂直，它们所在的平面互相垂直，但两抛物线的开口方向不同，抛物但两抛物线的开口方向不同，抛物 线（线（6）沿）沿z 轴轴方向开口，而抛物线（方向开口，而抛物线（7）的开口方向却与）的开口方向却与 z 轴轴方向相反方向相反.xyzoxyzo双曲抛物面主截线双曲抛物面主截线z=0x=0y=0（8）与坐标面
3、平行的平面的截口与坐标面平行的平面的截口如果用平行于如果用平行于 xoy面的平面面的平面来截割曲面来截割曲面 截线方程为截线方程为:总是双曲线总是双曲线.当当 时，时，与与x轴平行，轴平行，双曲线（双曲线（8）的实轴）的实轴虚轴与虚轴与 y 轴平行，轴平行，xyzo当当 时，时，（8）h0时顶点时顶点双曲线（双曲线（8）的实轴）的实轴（6）虚轴与虚轴与x轴平行，轴平行，与与y轴平行，轴平行，顶点顶点在主抛物线（在主抛物线（7）上）上（7）在主抛物线（在主抛物线（6）上）上xyzo 因此，曲面被因此，曲面被 xoy平面分割成上下两部分，平面分割成上下两部分，下半部沿下半部沿 y 轴的两个方向下降
4、，轴的两个方向下降，上半部沿上半部沿x轴的两个方向上升，轴的两个方向上升，所以双曲抛物面也叫做所以双曲抛物面也叫做马鞍曲面马鞍曲面.曲面的大体形状象一只曲面的大体形状象一只马鞍子，马鞍子，双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的结构，结构，我们再来观察用平行于我们再来观察用平行于xoz面的一组平行平面面的一组平行平面 来截割曲面来截割曲面xyzo所得的截线方程所得的截线方程（9）用平行于用平行于xoz面的一组平行平面面的一组平行平面 来截割曲面来截割曲面这时截线仍然为抛物线这时截线仍然为抛物线与主抛物线与主抛物线(6)比较比较（6）1.与抛物线（
5、与抛物线（6）是全等的，）是全等的，2.平行于这个主抛物线所在平行于这个主抛物线所在的平面的平面xozyxoz（9）3.顶点顶点在另一主抛物线（在另一主抛物线（7）上）上（7）即即: 抛物线抛物线(9)的顶点在的顶点在(7)上上, 开口、大小与（开口、大小与（6）相）相同且平行同且平行. 它这样移动就生成整个马鞍面它这样移动就生成整个马鞍面(双曲抛物双曲抛物面面看下面的演示看下面的演示yxoz用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0平行截割法平行截割法（马鞍面）（马鞍面）双曲抛物面双曲抛物面 平行截割法平行截割法.双曲抛物面双曲抛物面（马鞍面）（马
6、鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面平行截割法平行截割法.双曲抛物面双曲抛物面（马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面 椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。例例1 作出球面作出球面 与旋转抛物面与旋转抛物面 的交线。的交线。解解两曲面的交线为两曲面的交线为（1）（2）（2）代入（）代入（1）得）得即即由（由（2）知）知 ，所以取，所以取 ，因此交线方程，因此交线方程可改写为可改写为或或这是平面这是平面 上上的一个圆，圆心的一个圆，圆心为为 ，半径，半径为为 2 ，它的图形，它的图形如图如图.yxzO
