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1、第第3章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 3.1 微分中值定理微分中值定理v3.1.1 罗尔定理罗尔定理v3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理 v3.1.4 泰勒公式泰勒公式3.1.1 罗尔定理罗尔定理v罗尔定理的三个条件是结论成立的充分罗尔定理的三个条件是结论成立的充分而非必要条件而非必要条件. 当条件不全具备时，当条件不全具备时， 结结论不一定成立论不一定成立. 3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理v定理定理2(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理) v拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式v有限增量定理有限增量定理3.1.3
2、 柯西中值定理柯西中值定理 3.1.4 泰勒公式泰勒公式v定理定理4(泰勒中值定理泰勒中值定理) v麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式 3.2 洛必达法则洛必达法则v3.2.1 “ ”型和型和“ ”型未定式型未定式洛必达洛必达(LHospital)法则法则. v3.2.2 其他类型的未定式其他类型的未定式3.3 函数的单调性和曲线的凹凸性函数的单调性和曲线的凹凸性v3.3.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法v3.3.2 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点3.3.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法3.3.2 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点3.4 函数的极值与最大值
3、、最小值问函数的极值与最大值、最小值问题题v3.4.1 函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理1(极值的必要条件) 定理2(判别极值的第一充分条件) 定理3(判别极值的第二充分条件) v3.4.2 函数的最大值与最小值问题函数的最大值与最小值问题极值概念是局部性的，用以描述函数在一点邻域内的性态. 而最大值(或最小值)是函数在所讨论区间上全部函数值中的最大者(或最小者)，是全局性的概念. 例如在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在一定的条件下，如何使生产的“产量最高”、“成本最低”、“用料最省”、“能耗最小”、“效率最高”等问题. 在数学上，这类问题就归结为求某一函数
4、(通常称为目标函数)的最大值或最小值. 3.5 函数图形的描绘函数图形的描绘v3.5.1 曲线的渐近线曲线的渐近线v3.5.2 函数函数y=f(x)图形的描绘图形的描绘3.5.1 曲线的渐近线曲线的渐近线v定义定义 如果曲线如果曲线C上的动点上的动点P沿着曲线无沿着曲线无限地远离坐标原点时，动点限地远离坐标原点时，动点P与某条固与某条固定直线定直线L的距离趋于零，则称此直线为的距离趋于零，则称此直线为该曲线的渐近线该曲线的渐近线. v1. 水平渐近线水平渐近线v2. 铅直渐近线铅直渐近线v3. 斜渐近线斜渐近线3.5.2 函数函数y=f(x)图形的描绘图形的描绘v描绘的一般步骤如下：描绘的一般
5、步骤如下：v(1)确定函数的定义域、周期性、奇偶性与坐确定函数的定义域、周期性、奇偶性与坐标轴的交点；标轴的交点； v(2)求出使得求出使得 、 的及的及 、 不存在的点；不存在的点；v(3)列表确定函数的单调区间与极值、曲线的列表确定函数的单调区间与极值、曲线的凹凸区间与拐点；凹凸区间与拐点；v(4)求曲线的渐近线；求曲线的渐近线；v(5)描绘几个特殊点，特别是极值点、拐点以描绘几个特殊点，特别是极值点、拐点以及曲线与坐标轴的交点；及曲线与坐标轴的交点；v(6)综合以上信息，描绘函数图形综合以上信息，描绘函数图形. 3.6 弧微分与曲率弧微分与曲率v3.6.1 弧微分弧微分光滑曲线光滑曲线;有向弧段有向弧段;弧微分弧微分. v3.6.2 曲率及其计算曲率及其计算由日常生活可知，走相同长度的道路时，行进方向(即切线方向)转变越大，则道路弯曲程度越大. 因此，人们自然想到，用单位弧长上曲线的转角来表示曲线的弯曲程度，称为曲线的曲率曲线的曲率. v3.6.3 曲率圆曲率圆曲率圆或密切圆曲率圆或密切圆 ;曲率中心曲率中心.
