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1、 层层 次次 分分 析析 法法Analytic Hierarchy Process AHP一 问题的提出 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 下馆子，则要依据馆子的饭菜质量、区位条件、档次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时
2、不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。二、层次分析法简介 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是美国匹兹堡大学教授A. L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。他模仿人的决策思维过程，开发一种综合定性的定量相结合的分析方法，主要解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。 1977年第一届国际数学建模会议上，Saaty发表了无结构决策问题的建模层次分析理论，开始引起人们注意。1980年后陆续出版相关的专著和文章，其理论逐步走向成熟，1982年引入我国，天津大学许树柏等发
3、表我国第一篇介绍AHP的论文，此后在我国得到广泛的应用。1988年专门在天津召开国际AHP学术研讨会，使得在我国得到广泛运用。基本的思路v-先分解后综合的系统思想先分解后综合的系统思想v整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。v首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。例：影响煤矿爆炸的因素：v矿井的瓦斯爆炸本质上就是一定浓度的甲烷和空
4、气中的氧气在一定温度作用下产生的激烈氧化反应。瓦斯爆炸必须具备的三个条件是：一定浓度的甲烷、一定温度的引火源和足够的氧气。v矿井的煤尘爆炸时当温度达到300400时，煤的干馏现象急剧增强，放出大量的可燃性气体，主要成分为甲烷、乙烷、丙烷、丁烷、氢和1%左右的其他碳氢化合物；试决定一个高瓦斯矿井发生爆炸的各因素对发生爆炸的权重因素。例：v煤矿爆炸中，瓦斯、煤尘、风速对煤矿爆炸的影响瓦斯瓦斯煤尘煤尘风速风速瓦斯瓦斯煤尘煤尘风速风速尺度 第i个因素与第j个因素的影响相同 第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明强第i个因素比第j个因素的影响绝对
5、地强 含 义Bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数，其含义为：2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。它的特征根为：一致性指标为：一致性比率：列归一化按行求和归一化因此可求得这三个因素间的权重为：A=0.79, 0.134, 0.076 三、层次分析法基本原理三、层次分析法基本原理 假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵：A=（aij）nxn显然aii=1，aij=1/aji，aij=aik/ajk，i、j、k=1，2，n那么就有：AW=nW即n是A的一个
6、特征根，每只西瓜的重量是A对应于特征根n的特征向量的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题 AW= maxW 求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。 四、四、 层次分析法的基本步层次分析法的基本步骤骤1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1 的层次结构模型 准则层 方案层目标层买钢笔质量颜色价格外形实用
7、可供选择的笔选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2 层次结构模型层次结构模型 准则层A 方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为有因素影响，称为完全层次结构完全层次结构，否则称为，否则称为不完全层次结构不完全层次结构。还可以建立子层次。还可以建立子层次。目标层：目标层：准则层：准则层：指标层：指标层：例3 层次结构模型层次结构模型目标层目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值 c1科学意义 c2难易程度 c3研究周期 c4财政支持
8、 c5指标层指标层准则层准则层1例4 层次结构模型层次结构模型准则层准则层2 如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需注意以下问题：1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时候可以咨询相关的专家；2、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。层次分解时注意事项：2构造成对比较矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相当重要性。假定A层中因素Ak与下一层次中因素B1，B2，Bn有联系，则我们构造的判
9、断矩阵如下表。 Ak B1 B 2 BnB1 b11 b12 b1nB2 b21 b22 b2n Bn bn1 bn2 bnn bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。尺度 第i个因素与第j个因素的影响相同 第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明强第i个因素比第j个因素的影响绝对地强 含 义Bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数，其含义为：2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。判断过程中的问题1、合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍AH
10、P方法，提供信息，独立思考）3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，设计好表格）4、及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询5、专家数量根据实际情况确定，一般为2050位 3、层次单排序和一致性检验 层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量，即对判断矩阵B，计算满足:BW =W 的特征根与特征向量。式中，max为B的最大特征根；W为对应于max的正规化特征向量；W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。 对判断矩阵一致性检验的步骤：（1）、计算一致性指标(Consisteney
11、 Index)：CI 显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，max-n越大，CI越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均一致性指标RI(Random Index)进行比较。（3）计算一致性比例：CR当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。（2）、查找相应的平均随机一致性指标：RI对n=1、2、39，Saaty给出了的值，如下表所示： n1 2 3 4 5 6 7 8 9 RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 平均随机一致性指标RI是多次（500次以上）重复进行随机判断
12、矩阵特征值的计算之后，取算术平均数得到的。 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。v第四步：综合计算结果并对方案排序优选。四、应用举例：v张老师需要购买一套住房，他考虑的因素：价格、上下班方便、中小学情况、居住环境，他初步选择了甲、乙、丙三套住房，情况如下表甲乙丙价格352822上下班不太方便较方便方便对应的中小学名校较好一般居住环境较好好销差首先：构造层次分析模型购一套满意住房购一套满意住房价格C1上下班方便C2中小学情况C3居住环境C4甲甲乙乙丙丙目标层目标层准则层准则层方案层方案层本层次要素相对于上一层次的要素的权重v甲、乙、丙对价格权重甲甲乙
13、乙丙丙甲甲乙乙丙丙0.3680.961.671列归一化列归一化按行求和按行求和归一化归一化0.1230.320.557判断矩阵一致性检验：同理：对C2、C3、C4列出甲乙丙三个因素的判断矩阵，求出它的特性向量并作一致性检验对对C21581/5151/81/510.0620.2120.72611/21/8211/68610.5930.3140.066对对C3131/51/311/75710.2830.6430.074对对C4三处住房相对各因素的权重向量：0.1230.3200.5570.0620.2120.7260.5930.3410.0660.2830.6430.074C1C2C3C4甲乙丙准
14、则层相对目标层的判断矩阵：各房子总目标的得分：0.1230.3200.5570.0620.2120.7260.5930.3410.0660.2830.6430.0740.4440.1110.2220.2220.2560.3850.359五、五、 层次分析法的优点和局限性层次分析法的优点和局限性1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。 2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。1、只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出 更好的新方案。2、该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙 的，不适用于精度较高的问题。3、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观 因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让 所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法 是克服这个缺点的一种途径。层次分析法的局限性层次分析法的局限性
