三章流体动力学pt课件

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1、第三章第三章 流体动力学流体动力学王连登王连登1350697055313506970553要求重点掌握内容：要求重点掌握内容：连续性方程连续性方程、欧、欧拉拉方程方程、纳维尔纳维尔斯托克斯方程斯托克斯方程、理想、理想流体和实际流体的流体和实际流体的伯努利方程及应用伯努利方程及应用、稳定流的动量方程稳定流的动量方程及应用。及应用。 流体动力学的基础是三个基本的物理定律第一节 牛顿粘性定律 牛顿粘性定律指出：当流体流层之间存在相对位移（即存在速度梯度）时，由于流体的粘性作用，在速度不等的流层或流体与固体表面之间，所产生的摩擦力（粘性力）的大小与速度梯度和接触面积成正比，其比值则与流体的粘性有关。牛

2、顿粘性定律的表达式为：牛顿粘性定律的表达式为：粘性力的作用方向平行于流体的流向，与速度梯度方向相正交。粘性力的指向视不同的速度流层而定，对快速流层表现为制动作用，其指向与流向相反；对慢速流层表现为带动作用时，与流向相同。 第二节第二节 流体质量平衡方程流体质量平衡方程连续性方程连续性方程 质量传输过程：物质的传递与转移过程，它是动量传输的基础，质量传输就是质量平衡。流体流动中的质量平衡：是指流体流过一定空间时，其总质量不变。 根据质量守恒定律根据质量守恒定律根据质量守恒定律根据质量守恒定律, ,稳定流时流入的流体质量必然等于流稳定流时流入的流体质量必然等于流稳定流时流入的流体质量必然等于流稳定

3、流时流入的流体质量必然等于流出的流体质量。出的流体质量。出的流体质量。出的流体质量。而当非稳定流时而当非稳定流时而当非稳定流时而当非稳定流时, ,流入与流出的流体质量之差流入与流出的流体质量之差流入与流出的流体质量之差流入与流出的流体质量之差, ,应等于封闭应等于封闭应等于封闭应等于封闭曲面内流体质量的变化量。其数学关系即为连续性方程。曲面内流体质量的变化量。其数学关系即为连续性方程。曲面内流体质量的变化量。其数学关系即为连续性方程。曲面内流体质量的变化量。其数学关系即为连续性方程。质量平衡或物质平衡质量平衡或物质平衡 ( ( 质量守恒质量守恒 ) ) 的含义：流的含义：流体流过一定空间时，流

4、体的总质量不变，两种体流过一定空间时，流体的总质量不变，两种情况：情况： 稳定流动：稳定流动： 物质的流入量物质的流入量 = = 物质的流出量物质的流出量 （3-23-2） (A)(A) 不稳定流动：不稳定流动： 物质的流入量物质的流入量 - - 物质的流出量物质的流出量 = = 物质的蓄积量物质的蓄积量 （3-2) 3-2) (B)(B)当当当当流流流流入入入入量量量量与与与与流流流流出出出出量量量量相相相相等等等等，即即即即空空空空间间间间无无无无物物物物质质质质蓄蓄蓄蓄积积积积时时时时，为为为为稳稳稳稳定定定定流流流流动动动动，否则为不稳定流动。否则为不稳定流动。否则为不稳定流动。否则为

5、不稳定流动。 在在在在直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中取取取取一一一一空空空空间间间间微微微微元元元元控控控控制制制制体体体体，边边边边长长长长为为为为dxdx、dydy、dzdz单位时间内流过单位时间内流过A A面、面、B B面的流体质量：面的流体质量：A A： B： 或者或者B:B:x x方向：流入量与流出量之差为方向：流入量与流出量之差为 同理同理y y方向：流入量与流出量之差方向：流入量与流出量之差z z方向：流入量与流出量之差为方向：流入量与流出量之差为 单位时间内流过单位时间内流过A A面、面、B B面的流体质量差：面的流体质量差： (1) (2) (3) 总的流入

6、量与流出量之差为总的流入量与流出量之差为(1) + (2) + (3)(1) + (2) + (3) 物质的流入量物质的流入量 - - 物质的流出量物质的流出量 = = 物质的蓄积量物质的蓄积量 由公式由公式: : （3-2) (B)3-2) (B) 物质的蓄积量物质的蓄积量 :流入的流体使流体微团的质量发生变化，分析：流入的流体使流体微团的质量发生变化，分析： 单位时间内元体质量的蓄积：质量在单位时间内的变化，即 物质的蓄积量物质的蓄积量 :左边左边= =右边，得：在直角坐标系中：右边，得：在直角坐标系中： 物质的流入量物质的流入量 - - 物质的流出量物质的流出量 = = 物质的蓄积量物质

7、的蓄积量 可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。讨论：讨论：稳定流动时稳定流动时 对不可压缩流体，对不可压缩流体，=const=const可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。稳定流动时稳定流动时即即 可压缩流体、稳定流动的连续性方程可压缩流体

8、、稳定流动的连续性方程对不可压缩流体，对不可压缩流体，=const=const： 则则 不可压缩流体的连续性方程，流体作为连不可压缩流体的连续性方程，流体作为连续介质是否连续分布的条件。续介质是否连续分布的条件。对一元恒定流动，连续方程式为：(根据质量守恒定律) 可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。可压缩流体、不稳定流动的连续性方程。稳定流动、可压缩流体的一维管流连续性方程。稳定流动、可压缩流体的一维管流连续性方程。则则则则稳定流动、不可压缩流体的一维管流连续性方程。稳定流动、不可压缩流体的一维管流连续性方程。一维管流在稳

9、定流条件下：沿流程体积流量保持不变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个不可压缩流体运动的一个基本规律）不可压缩流体运动的一个基本规

10、律）不可压缩流体运动的一个基本规律）不可压缩流体运动的一个基本规律） 结论：结论：结论：结论：稳定流动的管流流体流过任一截面的体积流量稳定流动的管流流体流过任一截面的体积流量( () )或或或或质质质质量流量不量流量不量流量不量流量不变变变变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变一维管流在稳定流条件下：沿流程体积流量保持不变为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反为一常值；各有效断面平均流速与有效断面面积成反为一常值；各有效断面平均流速与有效断

11、面面积成反比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个比，即，断面大流速小，断面小流速大。（这是一个不可压缩流体运动的一个基本规律）不可压缩流体运动的一个基本规律）不可压缩流体运动的一个基本规律）不可压缩流体运动的一个基本规律） 补充： 在柱坐标系连续性方程可表示为：在柱坐标系连续性方程可表示为： 当当 为常量的不可压缩流体，可简化为：为常量的不可压缩流体，可简化为： 例例3-1 3-1 已知速度场已知速度场已知速度场已知速度场VxVx=6=6（x+yx+y2 2），），），），VyVy=2y+z=2

12、y+z3 3，VzVz=x+y+4z=x+y+4z；试分析此流场是否存在？；试分析此流场是否存在？；试分析此流场是否存在？；试分析此流场是否存在？ 解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程 第三节第三节 理想流体动量传输理想流体动量传输方程方程欧拉方程欧拉方程理想流体：指无粘性的流体。理想流体：指无粘性的流体。 虽然实际流体均有一定的粘性，但处理某些流动问题时，可以虽然实际流体均有一定的粘性，但处理某些流动问题时，可以近似的视为理想流体。近似的视为理想流体。 如：如：1 1）

13、在流场中速度梯度很小时，流体虽然有粘性，但粘性力的）在流场中速度梯度很小时，流体虽然有粘性，但粘性力的作用不大。作用不大。 2 2）简单流动中的阻力，可以先假定为理想流体进行解析，而）简单流动中的阻力，可以先假定为理想流体进行解析，而后再对流体粘性造成的能量损失给以补正。后再对流体粘性造成的能量损失给以补正。 对粘度对粘度=0=0的无粘性流体简化得到理想流体的动的无粘性流体简化得到理想流体的动量平衡方程，即欧拉方程。量平衡方程，即欧拉方程。 在直角坐标系统中：在直角坐标系统中： 作用在某一流体块或微元体积的力可分为两大类：作用在某一流体块或微元体积的力可分为两大类：表面力、质量力或体积力。表面

14、力、质量力或体积力。表面力：作用于流体块外界面的力，如压力和切应力。表面力：作用于流体块外界面的力，如压力和切应力。质量力：直接作用在流体块中各质点的非接触力，如重力质量力：直接作用在流体块中各质点的非接触力，如重力与惯性力等。质量力与受力流体上承受的质量成正比，也与惯性力等。质量力与受力流体上承受的质量成正比，也叫体积力。叫体积力。单位质量流体上承受的质量力称为单位质量力单位质量流体上承受的质量力称为单位质量力在流体流场中取一个微元六面体：边长为：在流体流场中取一个微元六面体：边长为：dx,dy,dzdx,dy,dz，微元，微元体积中心体积中心A A（x,y,zx,y,z）处的静压力为）处的

15、静压力为P P，流速沿各坐标轴的分，流速沿各坐标轴的分量分别为：量分别为：v vx x,v,vy y,v,vz z，密度为，密度为A Ammn n在X轴方向：压力压力P P作用情况：作用情况：M点压力：由于由于mm点相对中心点相对中心A A点只点只有（有（ ）的位移量，）的位移量，故故mm点相对于点相对于A A点的压力点的压力变化量为变化量为 因此因此mm点的压力为点的压力为 同理可得：同理可得：n n点的压力为：点的压力为： A Ammn n质量力质量力质量力质量力F F的作用的作用的作用的作用：设单位质量力在设单位质量力在x x轴的分量为轴的分量为X X，则，则微元体的质量力在微元体的质量

16、力在x x轴的分量轴的分量: :根据牛根据牛根据牛根据牛顿顿顿顿第二定律（第二定律（第二定律（第二定律（F=maF=ma），作用在微元六面体的），作用在微元六面体的），作用在微元六面体的），作用在微元六面体的诸诸诸诸力在任一力在任一力在任一力在任一轴轴轴轴投影的代数和投影的代数和投影的代数和投影的代数和应应应应等于等于等于等于该该该该微元六面体的微元六面体的微元六面体的微元六面体的质质质质量与量与量与量与该轴该轴该轴该轴上分加速度上分加速度上分加速度上分加速度的乘的乘的乘的乘积积积积。 A Ammn n于是对于于是对于x x轴即有：轴即有： 等式两边除以微元体质量等式两边除以微元体质量 则单位

17、质量流体运动方程为： 同理：Y轴与Z轴的单位质量流体运动方程分别为： 欧拉方程上式即为理想流体的动量平衡方程（即欧拉方程）上式即为理想流体的动量平衡方程（即欧拉方程）说明：欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动欧拉方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。适加速度之间关系，是研究理想流体各种运动规律的基础。适用于可压缩及不可压缩理想流体的稳定或非稳定流。用于可压缩及不可压缩理想流体的稳定或非稳定流。由第一节，在直角坐标系中，由第一节，在直角坐标系中，x,y,zx,y,z三个坐标轴方向的加三个坐标轴方向的加速度分量为速度分量为: : 上式代入

18、欧拉方程可得上式代入欧拉方程可得: :第四节第四节 实际流体动量传输方程实际流体动量传输方程纳维尔纳维尔-斯托克斯方程（斯托克斯方程（N-S方程）方程）粘性流体动量平衡方程，表达了流体流动条件下的动量及作用力之间的平衡与转换关系，为流体在运动中能量守恒的特征关系式。描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。 以公式表示为：以公式表示为： 系统的动量收支差量系统的动量收支差量+系统其它作用力总和系统其它作用力总和 = =系统的动量蓄积系统的动量蓄积 （3-103-10） 对于稳定流动系统，不存在动量蓄积，（对于稳定流动系统，不存在动量蓄积，（3-103-10）式中的）式中的等号右边为等号右边为0

19、0。 粘性流体的动量传输有两种基本方式： 由流体粘性所引起的物性动量传输；由流体粘性所引起的物性动量传输；由流体粘性所引起的物性动量传输；由流体粘性所引起的物性动量传输； 在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。 一、推导：一、推导：一、推导：一、推导： 作用在微元体六面体除了在推导欧拉方程中的压力与质作用在微元体六面体除了在推导欧拉方程中的压力与质量力外，还有因粘性产生的剪切力，法向力除了压力与量力外，还有因粘性产生的剪切力，法向力除了压力与质量力产生的，还有由于剪切变形而

20、引起的附加法向力，质量力产生的，还有由于剪切变形而引起的附加法向力，各个方向的切向应力有：各个方向的切向应力有： （脚注：前一个字母表示受力面垂直的轴，后一个字母表（脚注：前一个字母表示受力面垂直的轴，后一个字母表示和应力指向相平行的轴。）示和应力指向相平行的轴。） y yZ Z设微元体中心的坐标为设微元体中心的坐标为x,y,zx,y,z，其应力为，其应力为 ， ，则垂，则垂直于直于x x轴的轴的ABAB面的应力为：面的应力为：法向应力：法向应力： （xx方向）方向） 切向应力：切向应力： （yy方向）方向） （zz方向）方向） x轴轴的的ABCD面面的的 应应力力垂直于y轴的ADEH面上应力

21、为：（yy方向）方向） （zz方向）方向） （xx方向）方向） y y轴轴轴轴 的的的的ADEHADEH面面面面的的的的应应应应力力力力y yZ Z垂直于垂直于z z轴的轴的CDGHCDGH面上应力为：面上应力为：（zz方向）方向） （xx方向）方向） （yy方向）方向） z轴轴 的的cdgh面面的的应应力力其它三个面应力如图所示，其它三个面应力如图所示，由牛顿第二定律：可沿x方向写出如下方程：上式两边各项除以上式两边各项除以 dxdydzdxdydz，整理可得：，整理可得：同理：同理： 式式3-32由粘性动量通量与变形率之间的关系： 以及法向力与压力P关系，可进一步对上式进行推导：对于不可压

22、缩流体，根据连续性方程对于不可压缩流体，根据连续性方程 则上式变为：则上式变为：则上式变为：则上式变为： 又因为：又因为： 得： 同理： 由拉普拉斯（由拉普拉斯（LaplaceLaplace）运算子）运算子 或：或： 为压力梯度为压力梯度 实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体的动量传输方程，的动量传输方程，的动量传输方程，的动量传输方程，N-SN-S方程。（牛顿粘度定律另方程。（牛顿粘度定律另方程。（牛顿粘度定律另方程。（牛顿粘度定律另一种表达形式）一种表

23、达形式）一种表达形式）一种表达形式）当当当当（本章主要采用一般力学推导出实际流体的运动方程，也可（本章主要采用一般力学推导出实际流体的运动方程，也可以用动量传输的角度出发来推导）以用动量传输的角度出发来推导）如果流体是无粘性的，即等于零，则式如果流体是无粘性的，即等于零，则式3-343-34可简化为欧拉方程：可简化为欧拉方程：欧拉方程第五节第五节 理想流体和实际流体理想流体和实际流体的伯努利方程的伯努利方程1.理想流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程本节主要讨论理想流体动量守恒方程在一定条件下的积分形式伯努利方程，它表述了运动流体所具有的能量以及各种能量之间的转换规律，是流体动力学的重要理论。

24、 积分是在下述条件下进行的：积分是在下述条件下进行的：（1）单位质量力（X，Y，Z）是定常而有势的，势函数 的全积分是： （2 2）流体是不可压缩的，即）流体是不可压缩的，即（3 3）流体运动是稳定流的，即：）流体运动是稳定流的，即： 且流线与迹线重合，也即对流线来讲，符合且流线与迹线重合，也即对流线来讲，符合 由欧拉方程：由欧拉方程：欧拉方程将各方程分别乘以将各方程分别乘以dx,dy,dzdx,dy,dz，然后相加可得：，然后相加可得：因为：因为： （式（式3-353-35） 因此式（因此式（3-353-35）变为：）变为： （式（式3-353-35） 又因为又因为 （式（式3-37 3-3

25、7 ） 将（式将（式3-373-37）沿流线积分）沿流线积分 （C=constC=const）（式）（式3-383-38） 此式即理想流体运此式即理想流体运动动微分方程的伯努利微分方程的伯努利积积分。分。说说明了在有明了在有势质势质量力的作用下，量力的作用下，理想不可理想不可压缩压缩流体作定常流流体作定常流动时动时，函数，函数值值（）是沿流）是沿流线线不不变变的。的。 因此，如沿同一流线，取相距一因此，如沿同一流线，取相距一定距离的任意两点定距离的任意两点1 1与与2 2，可得，可得式中式中1 1与与2 2表示在某一条流线上的表示在某一条流线上的1 1点与或点与或2 2处的势能、压力与流处的势

26、能、压力与流速。速。 2 实际工程中的伯努利方程实际工程中的伯努利方程作用在流体上的质量力只有重力时（即实际工程问题），X=0，Y=0，Z=-g（重力加速度），则势函数W的全微分为： （C=constC=const）（式）（式3-383-38） 则则 变为变为: :简化后，由则上式变为： （式（式3-403-40） 对处在同一流线的任意两点对处在同一流线的任意两点1 1和和2 2来说，式来说，式3-403-40也可改也可改写为：写为： 这表示对于只有重力场作用的稳定流动、理想的不可压缩流体沿流线的运动方程式的积分形式，也称为伯努利方程式（Bernoulli equation）。流线上的任何点的

27、3. 实际实际(粘性粘性)流体的伯努利方程流体的伯努利方程在实际流体中我们只讨论有势质量力作用下实际流体（粘性流体）的运动微分方程的积分问题。由实际流体的动量守恒方程，也即不可压缩粘性流体的动量传输方程，N-S方程：如果流体是定常流如果流体是定常流如果流体是定常流如果流体是定常流动动动动，流体，流体，流体，流体质质质质点沿流点沿流点沿流点沿流线线线线运运运运动动动动的微元的微元的微元的微元长长长长度度度度dldl在各在各在各在各轴轴轴轴上的投影上的投影上的投影上的投影分分分分别为别为别为别为dx,dy,dzdx,dy,dz，而且，而且，而且，而且，将式（，将式（，将式（，将式（3-343-34

28、）的各个方程分）的各个方程分）的各个方程分）的各个方程分别别别别 乘以乘以乘以乘以dx,dy,dzdx,dy,dz，然后相加可得：，然后相加可得：，然后相加可得：，然后相加可得：（式（式3-433-43） （式（式3-443-44），式中），式中 为阻力功；为阻力功； 此式即为实际流体运动微分方程的伯努利积分。它表明：在质此式即为实际流体运动微分方程的伯努利积分。它表明：在质量力为有势，且作定常流动的情况下函数值量力为有势，且作定常流动的情况下函数值 是沿着流线不变的。是沿着流线不变的。 将（式将（式3-443-44）代入（式）代入（式3-433-43）可得：）可得： 沿流线积分可得：沿流线积

29、分可得： （式（式3-453-45） 如在同一流线上取如在同一流线上取1 1和和2 2点，则点，则 当质量力只有重力时，则当质量力只有重力时，则 代入上式代入上式 式中式中 为单位质量粘性流体自点为单位质量粘性流体自点1 1运动到点运动到点2 2的过程中内的过程中内摩擦力所作的功的增量，其值总是随着路程的增加而增加的。摩擦力所作的功的增量，其值总是随着路程的增加而增加的。令令 表示单位质量的粘性流体沿流线从点表示单位质量的粘性流体沿流线从点1 1到点到点2 2的路程所接受的摩擦阻力功（或摩擦阻力损失）则上式可写的路程所接受的摩擦阻力功（或摩擦阻力损失）则上式可写为：为： 或或 （粘性流体运动的

30、伯努利方程）（粘性流体运动的伯努利方程） 4 伯努利方程的几何意义与物理意义伯努利方程的几何意义与物理意义（实际流体微小流束的伯努利方程）一、物理意义一、物理意义（能量意义）理想流体的束伯努利方程中的三项 分别表示单位重量流体的三种不同形式的能量。Z比位能；（单位质量流体经该项点时所具有的位置势能）比位能；（单位质量流体经该项点时所具有的位置势能） 比压能；（单位质量流体流经该点时所具有的压力能）比压能；（单位质量流体流经该点时所具有的压力能） 比动能；（单位质量流体流经该点时所具有的动能）比动能；（单位质量流体流经该点时所具有的动能） 比势能；比势能；比势能；比势能； 总比能总比能 由伯努利

31、方程可知：单位重量的理想流体沿流由伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的。能和动能是可以相互转化的。对于粘性流体，单位质量粘性流体沿着流线运动，对于粘性流体，单位质量粘性流体沿着流线运动，不但各项能量能相互转化，且它的总机械能也是不但各项能量能相互转化，且它的总机械能也是有损失的。有损失的。二、几何意义二、几何意义z位置水头；位置水头；曲线AB位置水头线；位置水头线； 压强水头；曲线压强水头；曲线CD测压

32、管水头线。测压管水头线。图3.6.1理想流体伯努利方程的几何意义速度水头速度水头。直线EF总水头线总水头线。 理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体沿流线运动时，其理想流体沿流线运动时，其位置水头、位置水头、压强水头、速度水头压强水头、速度水头可能有变化或三个可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头之和总水头之间相互转化，但其各水头之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远是相等的。的总水头永远是相等的。 图3.7.1实际流体伯努利方程的几何意义如果用H表示

33、各项水头之和，即总水头，则 伯努利方程写为H=常数或 实际流体伯努利方程式的几何意义：实际流体伯努利方程式的几何意义：实际流体伯努利方程式的几何意义：实际流体伯努利方程式的几何意义：根据根据“ “粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程绘出的实际流体总流的几何图形，可以绘出的实际流体总流的几何图形，可以看出，在粘性流体运动中，因为形成水看出，在粘性流体运动中，因为形成水头损失，故：即沿着流向总水头必然降头损失，故：即沿着流向总水头必然降低，所以其总水头线是一条沿流向向下低，所以其总水头线是一条沿流向向下倾斜的曲线。倾斜的曲线。上述的所建立的伯努利方程均属于上述的所建立的伯努利方程均属于

34、实际流体微小流束的伯努利方实际流体微小流束的伯努利方实际流体微小流束的伯努利方实际流体微小流束的伯努利方程程程程。5、实际流体总流的伯努利方程、实际流体总流的伯努利方程区别：微小流束：很小，在同一 上，各流体质点的Z、P、u等物理量可以看作是相同的;总流：A为有限大，在同一A上，各流体质点的z、p、u等物理量之值变化较大。微小流束总流 急变流和缓变流急变流急变流流线的曲率半径r很小， 流线之间的夹角很大的流动。 缓变流缓变流流线的曲率半r无限大，流线之间的夹角无限小，即流线接近于平行直线流动。图图图图3.7.23.7.2急变流与缓变流急变流与缓变流急变流与缓变流急变流与缓变流 在缓变流段中，过

35、水断面上压强的分布遵循重力场中流体在缓变流段中，过水断面上压强的分布遵循重力场中流体在缓变流段中，过水断面上压强的分布遵循重力场中流体在缓变流段中，过水断面上压强的分布遵循重力场中流体静力学规律，即静力学规律，即静力学规律，即静力学规律，即 图3.7.3 缓变流断面在不同的缓变流过水断面上有不同的常数值：实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程总流总流总流总流的缓变流断面上的缓变流断面上的

36、缓变流断面上的缓变流断面上实际流体总流的伯努利方程。实际流体总流的伯努利方程。实际流体总流的伯努利方程。实际流体总流的伯努利方程。 假定：流体是不可压缩的实际流体，并且作定常流动，其中任一微小流束的伯努利方程为 图3.7.4 微小流束和总流如图所示，假设单位时间内流过微小流束断面11和22的流体重量为dQ ，用dQ乘上式各项，得其能量关系为又根据连续方程可知，又根据连续方程可知，又根据连续方程可知，又根据连续方程可知， 将上式沿将上式沿将上式沿将上式沿总流相应的过水断面和对流量进行积分总流相应的过水断面和对流量进行积分总流相应的过水断面和对流量进行积分总流相应的过水断面和对流量进行积分 ，可得

37、，可得，可得，可得 （a）因为=常数，所以(b) (b) -单位时间内通过总流过单位时间内通过总流过单位时间内通过总流过单位时间内通过总流过水断面的流体动能的总和水断面的流体动能的总和水断面的流体动能的总和水断面的流体动能的总和 动能修正系数，动能修正系数，动能修正系数，动能修正系数， 取决于取决于取决于取决于u u在在在在A A上的分布。一般大于上的分布。一般大于上的分布。一般大于上的分布。一般大于1 1，如果流速分布较均匀，如果流速分布较均匀，如果流速分布较均匀，如果流速分布较均匀时时时时 。在圆管层流动动中。在圆管层流动动中。在圆管层流动动中。在圆管层流动动中 。工程。工程。工程。工程实

38、际中的紊流运动常取实际中的紊流运动常取实际中的紊流运动常取实际中的紊流运动常取 。流体由流体由流体由流体由 流至流至流至流至 ，因克服摩擦阻，因克服摩擦阻，因克服摩擦阻，因克服摩擦阻力而损失的机械能。力而损失的机械能。力而损失的机械能。力而损失的机械能。 (C) (C) 单位重量流体的平均能量损失单位重量流体的平均能量损失单位重量流体的平均能量损失单位重量流体的平均能量损失 将上面三项积分分别代回原式将上面三项积分分别代回原式将上面三项积分分别代回原式将上面三项积分分别代回原式, , 两边同时除以两边同时除以两边同时除以两边同时除以 ，就得出，就得出，就得出，就得出总流的伯努利方程为总流的伯努

39、利方程为总流的伯努利方程为总流的伯努利方程为 重力场中实际流体总流的伯努利方程，是工程流体力学重力场中实际流体总流的伯努利方程，是工程流体力学重力场中实际流体总流的伯努利方程，是工程流体力学重力场中实际流体总流的伯努利方程，是工程流体力学中最重要的方程之一。中最重要的方程之一。中最重要的方程之一。中最重要的方程之一。 总流伯努利方程的限制条件：总流伯努利方程的限制条件：总流伯努利方程的限制条件：总流伯努利方程的限制条件： a a流体为不可压缩的实际流体；流体为不可压缩的实际流体；流体为不可压缩的实际流体；流体为不可压缩的实际流体； b b流体的运动为定常流动；流体的运动为定常流动；流体的运动为

40、定常流动；流体的运动为定常流动； c c流体所受质量力只有重力；流体所受质量力只有重力；流体所受质量力只有重力；流体所受质量力只有重力；d d所选取的两过水断面必须处在缓所选取的两过水断面必须处在缓所选取的两过水断面必须处在缓所选取的两过水断面必须处在缓变流段中；变流段中；变流段中；变流段中； e e总流的流量沿程不变；总流的流量沿程不变；总流的流量沿程不变；总流的流量沿程不变；f f除了外，总流没有能量的输入或输出。除了外，总流没有能量的输入或输出。除了外，总流没有能量的输入或输出。除了外，总流没有能量的输入或输出。使用伯努利方程时的注意事项：使用伯努利方程时的注意事项：使用伯努利方程时的注意事项：使用伯努利方程时的注意事项：