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1、第七章平面向量 7. 向量的内积 江西省女子中江西省女子中专 许丽娟娟创设情境兴趣导入创设情境兴趣导入Fs图721O如图721所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，角的方向拉小车，使小车前进了100 m朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？ 做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积力F是水平方向的力WFcos30 s10010500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即动脑思考探索新知动脑思考探索新知WFcos30 s10010500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量
2、F与向量s的内积内积,它是一个数量，又叫做数量积数量积 1 1两个非零向量两个非零向量夹角的概念角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则 AOB 叫记作做 与 的夹角规定定（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的OAB（1）当 时， 与 同向；说明：明：（2）当 时， 与 反向；（3）当 时， 与 垂直； 记作BAOab如图，设有两个非零向量a， b，作由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与与向量b的夹角夹角，记作两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积内积，记作ab， 即 ab|a|b|cos (7.10) 由内积的定义可知 a00, 0a0. 动脑思考探索
3、新知动脑思考探索新知2 2向量的内向量的内积记作 已知非零向量 与 ， 为两向量的夹角，则数量（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由 的符号所决定说明：明：（2）两个向量的内积，写成 ；符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替叫做 与 的内积规定定 与任何向量的内积为0向量向量. .向量向量或或= = 数数时时时, ,或或( (规定零向量与任一向量垂直定零向量与任一向量垂直) )或或或或或或命命题3.1 3.1 ( (规定零向量与任一向量垂直定零向量与任一向量垂直) )满足以下运算足以下运算规律律: :1) 1) 交交换律律2) 2) 关于数因子的关于数因子的结合
4、律合律3) 3) 分配律分配律向量的内向量的内积a(bc)(ab ) c. 一般地，向量的内积不满足结合律，即 动脑思考探索新知动脑思考探索新知例例1 1 已知已知求求 解：由已知条件得解：由已知条件得例例2 2 求求证证明：明：因因为所以所以.2 向量内积的坐标运算与距离公式 江西省女子中江西省女子中专 许丽娟娟 _ _ _ _ 练习一一:单位向量位向量i 、j 分分别与与x 轴、y 轴方向相同，求方向相同，求解：解：1001复复习导入：入：1.如何用向量的如何用向量的长度、度、夹角表示内角表示内积？2.如何用内如何用内积、长度来表示度来表示夹角？角？3. 的充要条件的充要条件?4.如何用向
5、量的内如何用向量的内积表示向量的表示向量的长度度?向量的内向量的内积：向量的向量的夹角：角：(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) (计算向量的算向量的长度度)动脑思考探索新知动脑思考探索新知设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，由于ij，故ij 0, 又| i |j|1,所以 ab(x1 iy1j) (x2 iy2j) x1 x2 i i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2. 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 ab x1 x2 y1 y2 (7.11) 在直角坐在直角
6、坐标平面平面 内，内， ， 为 轴， 轴的基向量，的基向量， ， ，则定理定理问题（2）若）若 ，你能求出，你能求出 吗？解：因解：因为所以所以向量的向量的长度公式度公式在直角坐在直角坐标平面平面 内，内， ， 为 轴， 轴的基向量，的基向量， ， ，则定理定理推推论 两向量垂直的充要条件两向量垂直的充要条件向量内向量内积的坐的坐标运算公式运算公式两个向量的内两个向量的内积等等于它于它们对应坐坐标的的乘乘积的和的和例例1 1 已知已知求求 解：由已知条件得解：由已知条件得因因为所以所以又因又因为在直角坐在直角坐标平面平面 内，内， ， 为 轴， 轴的基向量，的基向量， ， ，则定理定理问题解：
7、因解：因为由向量的由向量的长度公式得：度公式得：则两点两点间距离公式距离公式 如果如果 ，你能求出，你能求出 的的长度度吗？例例2 2已知已知求求 解：由已知条件得解：由已知条件得所以所以例例3 3已知已知求求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形 证明：因明：因为所以所以即即ABC是等腰三角形是等腰三角形拓展已知拓展已知求求证： 证明：因明：因为所以所以可得可得 本本节课我我们主要学主要学习了平面向量内了平面向量内积的坐的坐标运算与距运算与距离公式，常离公式，常见的的题型主要有：型主要有：1 1直接用两向量的坐直接用两向量的坐标计算内算内积；2 2根据向量的坐根据向量的坐标求模；求模；4 4运用内运用内积的性的性质判定两向量是否垂直判定两向量是否垂直3 3根据两点的坐根据两点的坐标求两点求两点间的距离；的距离；
