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1、第九章第九章 多元函数微分学多元函数微分学第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一一 、 多元函数的定义多元函数的定义二二 、 二元函数的极限二元函数的极限三三 、 多元函数的连续性多元函数的连续性 1.平面点集平面点集 坐标平面上满足某种条件的点的集坐标平面上满足某种条件的点的集 合，称为平面点集，记作合，称为平面点集，记作 一、多元函数的定义一、多元函数的定义例例 平面上以原点为圆心、以1为半径的圆的内部为一平面点集（如图），它可写成2、邻域、邻域定义定义P0如图P03、区域、区域例如，例如，即为开集即为开集连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，
2、例如，有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）聚点）聚点a. 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：b. 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点c.点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合4、 n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明： n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、
3、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 例 圆柱体的体积 和它的底面半径 及高 之间的关系为 例 三角形（如图）的面积为 5、函数的定义、函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数点集点集 D -定义域，定义域，- 值域值域.x、y -自变量自变量，z -因变量因变量.函数的两个要素函数的两个要素: :定义域、对应法则定义域、对应法则. .例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为与
4、一元函数相类似，对于定义域与一元函数相类似，对于定义域约定约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集. .6、 二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.二、 二元函数的极限定义 若动点 与定点 之间的距离趋于零，就称动点 趋于定点记作时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,记作：的某空心邻域定义定义. 设函数当 内有定义,如果点以任何方式无限趋于点在点P0 P0则称 A 为函数时的极限.注意注意： 是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0 .一一元元中中多多元元中
5、中确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法：(1)(1) 令令),(yxP沿沿)(00xxkyy- -+ += =趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； (2)(2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 利用点函数的形式有利用点函数的形式有注意说明：注意说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极
6、限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在三、 二元函数的连续性元函数的连续性 定义定义 . 设二元函数如果函数在定义域 D 上各点处都连续, 则称此函数在 否则称为不连续,D上连续.在点P0 的某,如果称为间断点 .元函数 处连续, 邻域内有定义,且存在,则称二在点P0 同理，可定义多元函数的连续性定义定义例如例如, 函数在圆周上间断.
7、例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和
8、最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例6 6解解例例 求求解解多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取 练习：练习： 答案：答案：
