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1、数学学习方法数学学习方法讲座讲座（三）第三层为会学（三）第三层为会学一、一、 学生学习现状的三个层次学生学习现状的三个层次（一）第一层为苦学（一）第一层为苦学（二）第二层为好学（二）第二层为好学二、二、 学生中的三种学习习惯学生中的三种学习习惯（一）总是站在系统的高度（一）总是站在系统的高度把握知识把握知识 学习成绩的好坏，往往取决学习成绩的好坏，往往取决于是否有良好的学习习惯，特于是否有良好的学习习惯，特别是思考习惯。别是思考习惯。（二）追根溯源，寻求事物之间（二）追根溯源，寻求事物之间的内在联系的内在联系（三）发散思维，养成联想的思（三）发散思维，养成联想的思维习惯维习惯（一）学习知识方面
2、，狠抓联系（一）学习知识方面，狠抓联系形成知识结构，以少胜多，以不形成知识结构，以少胜多，以不变应万变。变应万变。三、三、 怎样学习数学怎样学习数学（二）重过程轻结果（二）重过程轻结果（三）探究（三）探究“字母代式字母代式”实质实质（四）重视复习时培养规范简洁（四）重视复习时培养规范简洁的表达，这样既省时间又准确的表达，这样既省时间又准确四、四、 怎样解题怎样解题首先是精选题目，做到少而精首先是精选题目，做到少而精 数学是应用性很强的学科，学习数学数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞题海战术的方式、方法就是学习解题。搞题海战术的方式、方法固然是不对的，但离开解题来学习数学同固然是不
3、对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的。其中的关键在于对待题目样也是错误的。其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。的态度和处理解题的方式上。其次是分析题目其次是分析题目最后，题目总结最后，题目总结 对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结:在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。巧，自己是否能够熟练掌握和应用。在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。基础知识，在解题
4、过程中是如何应用这些知识的。能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解题通法。题通法。步步骤骤怎怎 样样 解解 题题? ?模式识别1要求解（证）的问题是什么？它是哪种类型的问题？ 2已知条件（数据、图形、事项及其与结论部分的联系方式）是什么？要求的结论（未知事项）是什么？3所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的、示意的）或数学式子（对文字题）将问题表示出来？能否
5、在图上加上适当的记号？4有什么隐含条件？联想化归1这个题以前见过吗？在哪里见过？以前做过吗？见过类似的问题吗？当时是怎样想的？2题中的一部分（条件，或结论，或式子，或图形）以前见过吗？在什么问题中见过？3题中所给出的式子，图形与记忆中的什么式子，图形相似？它们之间可能有什么联系？4解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法较简便？试一试如何？联想化归5由已知条件能推得哪些可知的事项和条件？推出求知结论需要知道哪些条件（需知）？6与这个问题有关的知识（基本概念、定 理、公式等）有哪些？7能否将题中复杂的式子简化？能否对条件进行划分，将大问题化为几个小问题？8能否将问题化归为基本命题？能否进行变量替
6、换？恒等变换或几何变换？能否将形式变得较为明显一些？联想化归9能否数形互化，利用几何方法来解代数问题，利用代数（解析）方法来解几何问题？10利用命题等价性（如逆否命题律）或其它方法，可否将问题转化为熟悉的等价问题？11对你的解题计划进行通盘考虑：比较各种解法的优点；预见解题中的困难（如计算量的大小），选择你最熟悉的解法！规范解题1每一步骤是否充分(或等价)?2你能否清楚看出这一步是正确的?你能否证明这一步是正确的?3尚未成功不等于彻底失败,你能找出没有成功的原因吗?检验反思1检验运算是否正确？2检验解题步骤是否必要？3你的解题方法能否进行有长远意义的推广？4适当改变条件或结论,你能证明它吗?五
7、、五、 平时学习中需要注意的平时学习中需要注意的13项项 第二项：正方体是高考立体几何命题的重点。第二项：正方体是高考立体几何命题的重点。高考所涉及的数学思想方法主要有函数与方程的思想方法；数形结合与分高考所涉及的数学思想方法主要有函数与方程的思想方法；数形结合与分离的思想方法；分类讨论的思想方法；化归与转化的思想方法；归纳、猜离的思想方法；分类讨论的思想方法；化归与转化的思想方法；归纳、猜想、论证的思想方法；运动与变化的思想方法；有限与无限逼近的思想方想、论证的思想方法；运动与变化的思想方法；有限与无限逼近的思想方法；特殊与一般的思想方法；对称的思想方法；主元的思想方法等。法；特殊与一般的思
8、想方法；对称的思想方法；主元的思想方法等。第一项：要重视掌握数学思想方法。第一项：要重视掌握数学思想方法。第三项：估值法能大大提高运算速度。第三项：估值法能大大提高运算速度。第四项：二面角的平面角的各种做法和论证一定要过关第四项：二面角的平面角的各种做法和论证一定要过关第六项：要培养不同学科之间的联结能力第六项：要培养不同学科之间的联结能力第五项：要注意初中与高中、高中与大学衔接第五项：要注意初中与高中、高中与大学衔接知识的复习知识的复习第七项：平时复习几何时要做到：第七项：平时复习几何时要做到：（1）动手制作一些具体的数学模型（如折纸、火柴梗）动手制作一些具体的数学模型（如折纸、火柴梗拼图、
9、三视图等）；拼图、三视图等）；（2）广泛使用数学作图（利用几何画板可以把数学课）广泛使用数学作图（利用几何画板可以把数学课上成实验课）；上成实验课）；（3）编制计算机学习程序；）编制计算机学习程序；（4）认真开展研究性学习。）认真开展研究性学习。这些都是新课程理念下高考内容改革所追求的。这些都是新课程理念下高考内容改革所追求的。 第八项：关注新教材更新的数学内容第八项：关注新教材更新的数学内容第九项：用导数作为研究问题的方法上升为重要地位。第九项：用导数作为研究问题的方法上升为重要地位。第十项：近年来高考命题改革的一个方向是试题切入容第十项：近年来高考命题改革的一个方向是试题切入容易，深入困难
10、。易，深入困难。第十一项：加强原理复习第十一项：加强原理复习第十三项：高考将仍然第十三项：高考将仍然“坚持多角度，多层次考查坚持多角度，多层次考查”的的命题思路。要求完全掌握定义法、分析法、反证法、命题思路。要求完全掌握定义法、分析法、反证法、数学归纳法、构造法。数学归纳法、构造法。第十二项：加强不等式复习第十二项：加强不等式复习 在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到较大的作用题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到较大的作用六、六、 注意易错问题的分析和纠正注意易错问题的分析和纠正4 判断一个函数的奇
11、偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？要非充分条件了吗？ 1求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2函数与其反函数之间的一个有用的结论：函数与其反函数之间的一个有用的结论： 函数图象关于直线函数图象关于直线y=x对称对称3原函数在区间原函数在区间 上单调递增，则一定存在反函数，且反函数上单调递增，则一定存在反函数，且反函数 也单调递增；但一也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调个函数存在反函
12、数，此函数不一定单调 5根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值取值, 作差作差, 判正负判正负.) 6. 你知道双勾函数的单调区间吗？（该函数在你知道双勾函数的单调区间吗？（该函数在 或或 上单调递增；在上单调递增；在 或或 上单上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 7.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀）字母底数还需讨论呀!9.“实系数一元二次方程
13、实系数一元二次方程 有实数解有实数解”转化为转化为“ ”，你是否注，你是否注意到必须意到必须 ；当；当a=0时，时，“方程有解方程有解”不能转化为不能转化为 若原题中若原题中没有指出是没有指出是“二次二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？次项系数可能为零的情形？ 8.你知道判断对数你知道判断对数 符号的快捷方法吗？符号的快捷方法吗？10.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 11.
14、在三角中，你知道在三角中，你知道1等于什么吗？（等于什么吗？（ 这些统称为这些统称为1的代换的代换) 常数常数 “1”的种种的种种代换有着广泛的应用代换有着广泛的应用 12.你还记得三角化简的通性通法吗？你还记得三角化简的通性通法吗？13. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？14. 在用三角函数值表示直线的倾斜角、两条异面直线所在用三角函数值表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取异面直线所成的角、直
15、线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是什么值范围依次是什么?直线的倾斜角、直线到直线的角、直线的倾斜角、直线到直线的角、 与与 的夹角的取值范的夹角的取值范围分别是围分别是? 15. 分式不等式分式不等式 的一般解题思路是什么？（移项通分）的一般解题思路是什么？（移项通分） 16. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性对数函数的单调性, 对数的真数大于零对数的真数大于零.）17. 利用重要不等式利用重要不等式 以及变式以及变式 等求函数的最值时，你是等求函数的最值时，你是否注意到否注意到a，b 大于大于0（或（或a ，b非负），
16、且非负），且“等号成立等号成立”时的时的条件，积条件，积ab或和或和ab其中之一应是定值？其中之一应是定值？ 18. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底数）讨论完之后，要写出：是指数和对数的底数）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是综上所述，原不等式的解是 20. 等差数列中的重要性质：若等差数列中的重要性质：若 ，则，则 ； 等比数列中的重要性质：若等比数列中的重要性质：若 ，则，则 21. 你是否注意到在应用等比数列求前你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分项和时，需要分类讨论类讨论?22. 等差数列的一
17、个性质：设等差数列的一个性质：设 是数列是数列 的前的前n项和，为等项和，为等差数列的充要条件是差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是为常数）其公差是2a. 23. 你知道怎样的数列求和时要用你知道怎样的数列求和时要用“错位相减错位相减”法吗法吗？（若（若 ，其中，其中 是等差数列，是等差数列， 是等比数列，求是等比数列，求 的前的前n项的和）项的和） 24. 用用 求数列的通项公式时，你注意到求数列的通项公式时，你注意到 了吗？了吗？ 25. 你还记得裂项求和吗？你还记得裂项求和吗？26. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，
18、无序组合乘，有序排列，无序组合 27. 解排列组合问题的规律是：解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间问题插空法；多排问题单排法；相邻问题捆绑法；相间问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法间接法28. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可
19、见斜线，射影可见. 29. 求点到面的距离的常规方法是什么？求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）（直接法、体积法） 30. 求多面体体积的常规方法是什么？求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）（割补法、等积变换法） 31. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见立柱是关键，垂直三处见 33. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及以及 值可要搞清）值可要搞
20、清） 32. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注，你是否注意到直线垂直于意到直线垂直于x轴时，斜率轴时，斜率k不存在的情况？（例如：不存在的情况？（例如：一条直线经过点一条直线经过点 ，且被圆，且被圆 截得的弦长为截得的弦长为8，求此弦所在，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解这一解.） 35. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 36. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；）点到直线的距离；
21、（2）直线方程与圆的方程联立，判别式）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷一般来说，前者更简捷 37. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系之间的关系. 40.还记得圆锥曲线方程中的还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p, 的意义吗？的意义吗？ 41. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？义中的定比的分子分母的顺序？ 42离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多
22、少？度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？ 43. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式 的限制的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在在 下进行）下进行）. 38. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形的直角三角形. 39.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？会联想到这两个定义？
23、 44. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（三角形（a，b，c） 45. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 46. 解答选择题的特殊方法是什么？解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等) 47. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系联系 48. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提是准确解题的前提 49. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量,想方设法摆脱参变量的困绕这当中，参变量的分离、想方设法摆脱参变量的困绕这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法这类问题的通性通法 谢谢大家谢谢大家!祝愿同学们祝愿同学们: 天天进步天天进步!
