《四节不可数集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四节不可数集（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 不可数集第一章第一章 集合及其基数集合及其基数1 1 不可数集的存在性不可数集的存在性( (区间0,1是不可数集) 0 1/3 2/3 1证明：假设证明：假设0,10,1是可数集是可数集, ,则则 0,1 0,1 可以写成一个可以写成一个无穷无穷 序列的形式：序列的形式： 0 1/3 2/3 1数的进位制简介十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数不可数集的存在性的另一种证明不可数
2、集的存在性的另一种证明证明：假设（证明：假设（0,10,1）是可数集）是可数集, ,则则 （0,10,1） 可以写成一个无穷可以写成一个无穷 序列的形式：序列的形式：把每个数写成正规小数（不能以把每个数写成正规小数（不能以0 0为循环节）为循环节）令x=0.a1a2a3a4其中则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ， 显然：例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab)2 连续势集的定义2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）3 连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续
3、势集1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它”.推论平面与直线有“相同多”的点 连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集( ( ( 0 1 2 n-1 n( ( ( 0 1 2 n-1 ny4 无最大势定理从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。尽管尽管 Cantor Cantor 在在18831883年就证明了这个定理
4、，但直到年就证明了这个定理，但直到18991899年年 Cantor Cantor 才发现，这个定理本身与他给出的集合的才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的定义有矛盾，即所谓的 Cantor Cantor 的最大基数悖论的最大基数悖论. . 因此因此CantorCantor在在18991899年给年给 DedekindDedekind 的一封信中曾指出的一封信中曾指出, ,人们人们要想不陷于矛盾的话要想不陷于矛盾的话, ,就不能谈论由一切集合所组成的集合就不能谈论由一切集合所组成的集合. .集合悖论集合悖论证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：说明：相当于把 对应到一个三进制小数5 可数势与连续势思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体
