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1、设设 求求 f 沿沿e = (cos , sin ) 在点在点 (0,0)的方的方导游数游数. 当当 cos 0 时, 当当 cos = 0时, 由于由于 f ( cos , sin ) = 0用定义计算方导游数用定义计算方导游数解解 例例1用定理计算方导游数用定理计算方导游数解解例例3. 设 z = 3x4 +xy +y3 , 求求z 在在M (1,2)点点处 沿方沿方向角向角为= 的方向的方的方向的方导游数。游数。解解例4. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方导游数 .解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为由点到坐标原点的间隔定义的函数在坐标原点处导游数值都等于
2、1:的两个偏导数均不存在, 但它在该点沿任何方向的方导游数均存在, 且方此例阐明: 1. 方导游数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方导游数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7. 例例从而从而解解解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故备用题 1. 函数在点处的梯度解解:那么留意 x , y , z 具有轮换对称性指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方导游数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A2. 函数提示提示:那么 例例解解故故例3. 设是曲面在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为而同理得方向的方导游数.在点P 处沿求函数例例5.
3、设 u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1), 求求 (1)在在 M0 沿沿M0 P 的方的方导游数游数; (2)在在 M0 沿曲沿曲线x=t , y= t 2-2, z= t t 3的切的切线方向的方向的方方导游数游数(本本节不不讲);(3)在在 M0 的最大方的最大方导游游数与梯度。数与梯度。解：解： (1) (3)在在 M0 的最大方导游数与梯度的最大方导游数与梯度:设点电荷 q 位于坐标原点, 在点处的电位为其中,为介电系数,求电位 v 的梯度. 其中, 负号阐明离点电荷越远, 电位越低, 即电位梯度的方向与电场 E 的方向相反.本人本人计计算一下算一下这这一步一步. . 例例解解
