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1、高等数学高等数学 第第 六六 节节 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度一一. . 高斯公式高斯公式二二. . 简单应用简单应用三三. . 物理意义物理意义四四. . 小小 结结高等数学高等数学一、高一、高 斯斯 公公 式式高高 斯斯 (Gauss, K,F), 1777-1855, 德国德国高等数学高等数学证明证明高等数学高等数学根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法高等数学高等数学高等数学高等数学同理同理-高斯高斯公式公式和并以上三式得：和并以上三式得：高等数学高等数学GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了表达了空间闭区域上的三重积分空
2、间闭区域上的三重积分与与其其边界曲面上的曲面积分边界曲面上的曲面积分之间的关系之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知高等数学高等数学高斯高斯(1777-1855), 德国数学家、天文学家和物理德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿学家，被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。基米德、牛顿并列，同享盛名。高等数学高等数学 高斯高斯1777年年4月月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年年2月月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异
3、常，受一贵族资助才进学校受教育。助才进学校受教育。17951798年在格丁根大学学习年在格丁根大学学习798年转入年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大有开
4、创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。高等数学高等数学二、简单的应用二、简单的应用解解例例1 1311高等数学高等数学(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)311高等数学高等数学使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:高等数学高等数学例例2 2高等数学高等数学解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式高等数学高等数学高等数学高等数学故所求积分为故所求积分为高等数学高等数学例例3 3解解3 3取下侧取下侧,高等
5、数学高等数学高等数学高等数学解解( (如下图如下图) )例例4 4高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度1. 1. 通量的定义通量的定义: :高等数学高等数学2. 2. 散度的定义散度的定义: :高等数学高等数学散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,高等数学高等数学高斯公式可写成高斯公式可写成高等数学高等数学四、小结四、小结（1）应用的条件）应用的条件（2）物理意义）物理意义2、高斯公式的实质、高斯公式的实质1、高斯公式、高斯公式高等数学高等数学思考题思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？高等数学高等数学思考题解答思考题解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.高等数学高等数学 作作 业业P213:1(单单), 2(3). 3, 4.
