误差理论与测量平差基础ppt课件

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1、课程结构课程结构1Ch1 绪论绪论v课程基本情况v教材误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础习题集武汉大学出版社2Ch1 绪论绪论v怎样学好测量平差怎样学好测量平差预习、复习加习题练习预习、复习加习题练习独立思考并推导公式独立思考并推导公式平差思想和解题思路平差思想和解题思路高数高数 线代线代 概率概率习题练习公式推导数学基础习题练习公式推导平差思想平差思想数学基础3Ch1 绪论绪论v为什么要学测量平差？为什么要学测量平差？1.测量过程中可能会出现照错目标读错数如何避免错误或及时发现错误？解决方法：增加多余观测。2.有多余观测，如何消除不符，求出最优值？4Ch1 绪论绪论测量平差的任务和

2、意义测量平差的任务和意义q 任务1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值；2）评定结果的精度。q 意义 所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测绘科学和技术的基础和灵魂。5Ch1 绪论绪论v测量平差的作用和地位测量平差的作用和地位1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求出最佳估值。2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法的主要补充。3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、GPS测量原理、变形监测等。4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶段的重要课程。6Ch1 绪论绪论v课程结构参见目录7章节章节主要内容主要内容Ch1绪论绪论Ch2-Ch3

3、平差基础知识平差基础知识Ch4 平差基本原则平差基本原则Ch5- Ch8Ch5- Ch8四种经典平差方法四种经典平差方法Ch9平差方法总结平差方法总结Ch10Ch10点位精度讨论点位精度讨论Ch11统计假设检验统计假设检验Ch12Ch12近代平差简介近代平差简介Ch1 绪论绪论v基本概念误差对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。测量平差测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。81.1 观测误差观测误差

4、一、误差来源测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。91.1 观测误差观测误差二、误差分类偶然误差在相同误差在大小和符号上表现出偶然性系统误差误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化粗差即错误101.1 观测误差观测误差误差名称误差名称误差特点误差特点消除或削弱的办法消除或削弱的办法举例举例偶然误差Randomerror单个误差没有规律性，整体具有统计规律，服从或近似服从正态分布采用测量平差的方法照准误差对中误差估读误差系统误差Systematicerror误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化，或

5、为常数采用适当的观测方法校正仪器计算加改正尺长误差i角误差粗差Grosserror即大的偏差或错误重复观测严格检核发现舍弃或重测大数读错输入错误照错目标111.2 测量平差的研究对象测量平差的研究对象研究对象：带有误差的观测值经典测量平差：只含有偶然误差的观测值近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差，或两种兼有。平差问题的解决思路：121.3 测量平差简史及发展测量平差简史及发展v1794年，C.F.Gauss从概率统计角度提出了最小二乘法v1806年，A.M.Legendre从代数角度提出了最小二乘法v1809年，Gauss在天体运动的理论一文中发表，称为Gauss-Le

6、gendre方法v1912年，A.A.Markov，对最小二乘原理进行了证明，形成数学模型（函数模型+随机模型）v近代发展v现在的国内相关专家131.4 本课程的任务和内容本课程的任务和内容v本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶然误差的观测值。（1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估计；权。（2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。（3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。（4）测量平差中的统计假设检验方法。1415Ch2 误差分布与精度指标误差分布与精度指标偶然

7、误差的规律性偶然误差的规律性1正态分布正态分布2精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标3本章总结及习题本章总结及习题4162.1偶然误差的规律性偶然误差的规律性基本假设：基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测系统误差已消除，粗差不存在，即观测误差仅为随机误差。误差仅为随机误差。偶然误差：偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进行统计具有明显的规律。量误差进行统计具有明显的规律。寻找偶然误差之规律性的方法寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析统计分析)： 1、统

8、计表、统计表 2、直方图、直方图 3、误差分布、误差分布17统计表统计表误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6

9、040.0110.05520.0060.0301.60000000和1811810.5050.5051771770.4950.495o例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。18(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线面积=(K/n)/d* d= K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1直方图直方图192.1偶然误差的规律性偶然误差的规律性偶然误差的特性偶然误差的特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、有

10、界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零2、聚中性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、对称性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、抵偿性：偶然误差的理论平均值为零，即202.1偶然误差的规律性偶然误差的规律性l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.

11、0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2102100.4990.4992112110.5010.50121频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d00.40.6 0.8-0.8-

12、0.6-0.4闭合差0.475频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。图1图222频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差当偶然误差的个数时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。232.2正态分布正态分布由概率论知，该曲线是正态分布正态分布的概率分布曲线。高斯在研

13、究误差理论时最先使用了这一分布，所以正态分布又称为高斯分布高斯分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为：式中：和为参数。2.2正态分布正态分布24由密度函数知，偶然误差为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。下面来看参数和是什么。对正态随机变量求数学期望：2.2正态分布正态分布25作变量代换，令得因2.2正态分布正态分布262.2正态分布正态分布所以再求的方差。同样作变量代换，可得：27由以上推导知，参数和分别是随机误差的数学数学期望期望和方差方差。它们确定了正态分布曲线的形状。由知，随机误差的数学期望等于零。由正态分布知，正态分布曲线具有

14、两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐方差是正态分布曲线的拐点横坐标。标。282.2正态分布正态分布2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。1、精度：、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差指误差分布的密集或离散程度，可利用方差协方差阵描述。协方差阵描述。 2、准确度：、准确度：描述系统误差和粗差，可用观测值的真值描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：、精确度：是精度和准确度的合成，描述偶然误差、是精

15、度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即：来描述，即： 当当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。此时精确度就是精度。29精度、准确度和精确度的形象描述精度、准确度和精确度的形象描述2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标30精度准确度精确度4、衡量精度的指标、衡量精度的指标 精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描精度虽然可以通过直方图

16、或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过一个数字来反映偶然量其高低。为此，人们希望通过一个数字来反映偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如：称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如： 4.1、方差和中误差、方差和中误差 设在相同的观测条件下得到一设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差组独立观测误差 ，则其方差定义为：，则其方差定义为：2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标312.3精度及其

17、衡量精度指标精度及其衡量精度指标方差的算术平方根定义为中误差，即在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值：和324.2、平均误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差，则其平均误差由之绝对的数学期望定义，即：因为所以2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标33由上式知，不同的，对应着不同的，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差也可作为衡量精度的指标。在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值：也可由下式计算之：2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标344.3、或然误差当观测误差出现在之间的概率等于二分之一时，称为或然误差（

18、如图），即令，则有由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系：2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标1/41/41/20352.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于指标，但由于当当n不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系平均误差和或然误差都与中误

19、差存在理论关系 所以，世界上各国都采用所以，世界上各国都采用中误差中误差作为衡量精度的指作为衡量精度的指标，我国也统一采用标，我国也统一采用中误差中误差作为衡量精度的指标。作为衡量精度的指标。362.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标4.4、极限误差由中误差的定义知，中误差是一组同精度观测误差的平方的平均值的平方根的极限。既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢？由下图，通过积分372.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标可得观测误差出现在给定

20、区间内的概率为：作变量代换，得k=1，2，3时的概率分别为：上式表明：绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差，用表示。384.5、相对误差观测值的中误差与观测值本身之比，称为相对误差，常用表示。2.3精度及其衡量精度指标精度及其衡量精度指标39本章小结本章小结402、一个事实、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3

21、、基本假设、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服从正态分布的随机误差。从正态分布的随机误差。4、统计规律、统计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率

22、相同；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。偶然误差的理论平均值为零。本章小结本章小结411、几个基本概念及相互关系42Ch3协方差传播律及权协方差传播律及权433.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量。因此，需要引入观测向量矩阵和方差协方差矩阵。一、协方差一、协方差对于变量X、Y，其协方差为：443.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵二、协方差阵二、协方差阵设有n维观测向量为则其方差协方差阵定义为：特点：特点：对称；正定；

23、互不相关时为对角矩阵，对角线元素相等时，为等精度观测。453.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵三、互协方差阵三、互协方差阵设有两组观测向量为， n维的X，r维的Y。则，它们的互协方差阵为：46思考：思考：若求DZZ？3.2协方差传播律协方差传播律1、协方差传播律的作用、协方差传播律的作用计算观测向量函数的方差协方差矩阵，从而评定观测向量函数的精度。2、预备公式、预备公式当随机变量两两独立时，有 473.2协方差传播律协方差传播律3、观测向量线性函数的方差、观测向量线性函数的方差 设观测向量X及其期望和方差为：观测向量线性函数为式中：为常数。483.2协方差传播律协方差传播律Z

24、的期望为Z的方差为即展开成纯量形式：49v例题1v例题2v例题3503.2协方差传播律协方差传播律4、多个观测向量线性函数的协方差阵、多个观测向量线性函数的协方差阵若观测向量的多个线性函数为则令513.2协方差传播律协方差传播律于是，观测向量的多个线性函数可写为。故有式中：为对称方阵。若还有观测向量的另外r个线性函数其矩阵形式为：523.2协方差传播律协方差传播律则有：而同理：533.2协方差传播律协方差传播律5、多个观测向量非线性函数的协方差阵、多个观测向量非线性函数的协方差阵基本思想：a、用全微分代替全增量，得到函数误差表达式（线性近似）；b、应用协方差传播律。设观测向量的t个非线性函数为

25、：对上式求全微分，得54令则由误差传播定律得：553.2协方差传播律协方差传播律v由以上推导知，求非线性函数的方差协方差矩阵比求线性函数的方差协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。v例题6v例题7566、应用协方差传播律时应注意的问题、应用协方差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。3.2协方差传播律协方差传播律573.2协方差传播律协方差传播律v协方差传播律的应用1、水准测量的精度2、算术平均值的精度3、若干

26、独立误差的联合影响4、平面控制点的点位精度点位方差：58权的概念权的概念权是表征精度的相对指标，指观测值所占的比重，精度越高，比重越大。权的定义权的定义权与方差成反比权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。示例示例13.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法593.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法权的特点权的特点（1）选定一个，即有一组对应的权；（2） 不同，权不同，但权之间的比值不变；（3）同一个问题中只能选一个，不能选多个，否则就破坏了权之间的比例关系。（4）只要事先给定观测条件，就可确定权的数值。单位权中误差的概念单位权中误差的概念 权为1的观测值所对应的中误差，

27、称为单位权中误差，即。603.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法定权的常用方法定权的常用方法1、水准测量的权1）按测站数确定2）按路线长度确定2、同精度观测值之算术平均值的权61N：每段路线的测站数S：各水准路线的长度N：观测值的观测次数1、协因数与协因数阵、协因数与协因数阵 协因数即为权倒数。3.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律62特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，为单位阵。3.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律即有：协因数阵也称为权逆阵。633.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律2、协因数传播

28、律、协因数传播律称为协因数传播律，或权逆阵传播律。与协方差传播律合称为广义传播律。3、权倒数传播律、权倒数传播律643.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律全微分例题10：算术平均值之权等于观测值之权的n倍。例题11：带权平均值的权等于各观测值权之和。例题12：654、单位权中误差的计算、单位权中误差的计算用不同精度的真误差计算单位权中误差的公式如下：实际应用1）由三角形闭合差求测角中误差66菲列罗公式本章小结：本章小结：1、方差、方差协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义2、协方差传播律、协方差传播律（线性和非线性）3、应用协方差传播律所应注意的问题、应用协方差传播律所应注意的问题4、权与定

29、权的常用方法、权与定权的常用方法5、协因数和协因数传播律、协因数和协因数传播律Ch3协方差传播律及权协方差传播律及权67 测试题测试题3-1已知单位权方差为、观测值的权矩阵为试求：1、的方差2、的方差3、与的协方差68测试题测试题3-2某地块由一梯形和一个半圆形组成，如图所示。已知观测值a=12m、b=8m、c=10m的方差协方差矩阵为：试求该地块的面积S的方差。（注：取）6970711平差函数模型平差函数模型2平差数学模型平差数学模型3参数估计与参数估计与最小二乘最小二乘条件平差间接平差附参数条件平差附条件间接平差随机模型函数模型函数模型线性化参数估计最优估计的性质最小二乘原理Ch4最小二乘

30、原理最小二乘原理724.1平差函数模型平差函数模型函数模型函数模型 描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型 目的：最优估计函数模型的未知量 函数模型如何构造？必要观测、多余观测必要观测、多余观测1 1）确定平面三角形的形状）确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择73必要观测、多余观测必要观测、多余观测2）确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。4.1平差函数模型平差函数模型s1s3s274必要观测、多余观测必要观测、多余观测3）确

31、定如图四点的相对高度关系必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等ADCBh1h6h5h2h4h34.1平差函数模型平差函数模型必要观测必要观测:能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。特点:给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间不能有任何函数关系，即相互独立。75多余观测:观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。观测值:为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。4.1平差函数模型平差函数模型必

32、要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。ADCBh1h6h5h2h4h3实际上：4.1平差函数模型平差函数模型77函数模型函数模型1 1、条件平差、条件平差 以条件方程为平差函数模型的平差方法2 2、间接平差、间接平差 以观测方程为平差函数模型或或4.1平差函数模型平差函数模型784.1平差函数模型平差函数模型3 3、附有参数的条件平差、附有参数的条件平差 以含有参数的条件方程为平差函数模型4 4、附有条件的间接平差、附有条件的间接平差 以观测方程和约束参数的条件方程为平差函数模型或条件方程的综合形式为：条件方程的综合形式为：为了线性化，取X

33、的近似值：取的初值：将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：4.2平差数学模型平差数学模型非线性函数线性化非线性函数线性化模型形式与线性函数类似。81用平差值代替真值4.2平差数学模型平差数学模型824.2平差数学模型平差数学模型平差数学模型是平差函数模型和随机模型的综合体。表达模型并用于求未知量最佳估值用于评定精度方差协方差4.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘v不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量作出某种估计，并评定其精度，统称为对平差模型的参数进行估计。一、参数估计测量平差的参数估计，是要在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为最终估计。最终估计值应具有最优

34、的统计性质。834.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘二、最优估计的性质1、无偏性为参数的估计量，若有则称是的无偏估计量2、一致性若估计量同时满足则称是的严格一致估计量844.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘3、有效性若是的无偏估计，具有无偏性的估计量并不唯一。如果对于两个无偏估计量和，有则称比有效。若此时为最有效估计量。854.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘三、最小二乘原理例：作匀速运动的质点在时刻的位置是，函数如下：在不同时刻测定质点位置，得一组观测值由运动方程可得：或用图解表示如图：864.3参数估计与最小二乘参数估计与最小二乘从图中看到，由于存在观测误差，由观测数据绘

35、出的点不成直线。采用什么准则对参数和进行估计，从而使估计直线最佳地拟合于观测点？一般应用的是最小二乘原理，使各观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小，即：或或 满足上式的估计称为最小二乘估计，此方法称为最小二乘法。8788Ch5 条件平差条件平差DDBBC CAA条件平差原理条件平差原理条件方程的列立条件方程的列立条件平差精度评定条件平差精度评定公式汇编及示例公式汇编及示例89v在测量中，为了能及时发现错误和提高测量成果的精度，常做多余观测。v如果一个几何模型中有r个多余观测，就产生了r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，就是条件平差。5.1条件平差原理条件平差原理905.1条件平差原理

36、条件平差原理v函数模型或v随机模型v未知数个是n，由于nr，所以条件方程是不定方程，如何求解？v平差准则如何求如何求V值值？915.1条件平差原理条件平差原理一、基础方程及其解一、基础方程及其解按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新函数求偏导，并令其等于0，以获得极值导出改正数方程1、基础方程（1）两式称为条件平差的基础方程（2）n+r个方程，n+r个未知数925.1条件平差原理条件平差原理2、法方程及其组成令3、求解并计算观测量最佳估值解出2代人改正数方程求出V935.1条件平差原理条件平差原理二、条件平差的求解步骤二、条件平差的求解步骤（1）分析问题，根据具体问题列条件方程r个；（2）组成法

37、方程，个数r个；（3）解法方程，求出联系数K；（4）将K代人改正数方程，求出V；（5）求观测值的平差值（6）检核。945.1条件平差原理条件平差原理三、实例练习三、实例练习 水准网如右图：观测值及其权阵如下：m955.1条件平差原理条件平差原理解：分析问题条件方程法方程法方程的解965.1条件平差原理条件平差原理按（5）求改正数V：求观测值的平差值：检核：975.2 条件方程的列立条件方程的列立列条件方程的原则1、足数；2、独立；3、最简如何列立如何列立条件方程条件方程？首先确定条件方程的个数分析：n=9t=4r=n-t=9-4=5985.2 条件方程的列立条件方程的列立水准网水准网三角网三角

38、网(测角网测角网)三边网三边网(测边网测边网)GPS基线向量网基线向量网单一附合导线单一附合导线995.2 条件方程的列立条件方程的列立水准网的条件方程v水准网的分类及水准网的基准水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。v水准网中必要观测数水准网中必要观测数t的确定的确定（保证足数）有已知点：t等于待定点的个数无已知点：t等于总点数减一v水准网中条件方程的分类水准网中条件方程的分类附合条件和闭合条件两类已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件已知点个数小于等于1：只有闭合条件1005.2 条件方程的列立条件方程的列立v水准网中条件方程的列立方法水

39、准网中条件方程的列立方法（1）先列附合条件，再列闭合条件；（2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一；（3）闭合条件按小环列立（保证最简），对于无重叠图形的水准网，网中有多少个小环，就列多少个闭合条件；（4）对于有重叠图形的水准网，可先拿掉造成重叠图形的观测值，变为（3）中的情况，然后再加上拿掉的观测值，每加一个观测值就加一个包含此观测值的条件。在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。1015.2 条件方程的列立条件方程的列立v水准网条件方程列立举例水准网条件方程列立举例1025.2 条件方程的列立条件方程的列立1035

40、.2 条件方程的列立条件方程的列立104三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程v三角网的观测值三角网的观测值三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。v三角网的作用三角网的作用确定待定点的平面坐标。v三角网的类型三角网的类型单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形v三角网的基准数据三角网的基准数据在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系。在平面坐标系中，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准2个（任意一点的坐标）、方位基准 1个（任意一

41、条边的方位角）以及长度基准1个（任意一条边的边长）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。105三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程v三角网中必要观测数三角网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数；无足够的基准数据：t=2（z -2）,z为三角网中的总点数。v三角网中条件方程的类型三角网中条件方程的类型图形条件（内角和条件）：图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度；圆周条件（水平条件）：圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度；方位角条件：方位角条件：由一个已知方位角推至另一已知方位角；极条件（边长条件）：极条件（边长条件）：由不同推

42、算路线得到的同一边的边长相等。106三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程7、三角网中条件方程的列立举例、三角网中条件方程的列立举例图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。107三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只有中点多边形才有全部的三类条件。108三角网三角网(测角网测角网)的条件方程的条件方程v用一般符号列出图4的条件方程：n=33109三边

43、网三边网(测边网测边网)的条件方程的条件方程三边网(测边网)的条件方程1、三边网的观测值、三边网的观测值三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。2、三边网的作用、三边网的作用也是确定待定点的平面坐标。3、三边网的类型、三边网的类型单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形4、三边网的基准数据、三边网的基准数据三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准2个（任意一点的坐标）、方位基准 1个（任意一条边的方位角），即三个基准。110三边网三边网(测边网测边网)的条件方程的条件方程5、三边网中必要观测数、三

44、边网中必要观测数 t 的确定的确定 有足够的基准数据：t=2m，m为待定点点数；无足够的基准数据：t=2z - 3,z为三角网中的总点数。单三角形：t=23 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0大地四边形：t=24 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1中点N边形：t=2（N+1）3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。以上各式表明：在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。6、三边网中条件方程的列立、三边网中条件方程的列立可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。 按

45、角度闭合：按角度闭合：111GPS基线向量网三维无约束平差条件方程基线向量网三维无约束平差条件方程1、GPS基线向量网的观测值：基线向量网的观测值：一条基线三个观测值，他们是,n=3s，s是基线数。2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t三个坐标基准x、y、z。必要观测数为t=3(m-1)，m为总点数。所以条件方程的个数为：r=3（s-m）+33、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。112

46、GPS基线向量网三维无约束平差条件方程基线向量网三维无约束平差条件方程4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例图1图2图1中r =3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。113GPS基线向量网三维无约束平差条件方程基线向量网三维无约束平差条件方程4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例n =3*22=66，t =3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3=42114单一附合导线单一附合导线1、导线的观测值、导线的观测值导

47、线的观测值由角度和边长两类观测值组成。2、单一附合导线的形状、单一附合导线的形状3、单一附合导线的必要观测数、单一附合导线的必要观测数t=2m，m为待定点点数。115单一附合导线单一附合导线4、单一附合导线的条件方程个数、单一附合导线的条件方程个数观测值的个数：角度m+2个；边长m+1个；观测值总数 n=2m+3个。条件方程个数：r =n-t =2m+3-2m=3即不论待定点点数m为多少，单一附合导线的条件方程个数固定为3。5、单一附合导线的条件方程、单一附合导线的条件方程一个方位角条件两个坐标条件116非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化1、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网

48、平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非线性条件方程的线性化。非线性条件方程的线性化。2、线性化的方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。117非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化设非线性条件方程为：为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即：于是，有令118非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化于是，非线性条

49、件方程的线性形式为： 3、几种非线性条件方程的线性形式极条件：极条件：在图5-4中，极条件为线性化得：119非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化两边同乘，得化简后的线性形式为：单一附合导线的坐标条件：单一附合导线的坐标条件：120非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化上图的纵坐标条件为：式中是方位角平差值和边长平差值的函数，即将上式按台劳级数展开，略去二阶以上各项，得由于故121非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化所以纵坐标条件方程为：因为所以纵坐标条件方程的最终形式为：122非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化同理可得横坐标条件方程的最终形式为：式中一般地，单一

50、附合导线的坐标条件方程的最终形式为：式中123非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化测边网条件测边网条件在测边网中，按角度闭合时条件方程为：对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解出各个角度，再按台劳级数展开可到其线性形式。但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，然后代入为此，下面来推导角度改正数与边长改正数的关系。124非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化如图，由余弦定理知：微分得：由图知125非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化故有：将微换成改正数，并将弧度换成角度，得：上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减

51、去两邻边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的高，并乘以常数。按此规律，可得：126非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化大地四边形将其代入，得127非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化中点多边形将其代入，得128非线性条件方程的线性化非线性条件方程的线性化在计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的单位为cm，高的单位为km，取2.0626，此时闭合差w的单位为秒。由观测边长计算系数中的角值，可按余弦定理或下式计算式中高按下式计算1295.3 条件平差精度评定条件平差精度评定1、观测值L的精度2、单位权方差的估值3、的计算（1）直接计算（2）用常数项与联系数1

52、305.3 条件平差精度评定条件平差精度评定4、观测值函数的协因数条件平差中的基本向量W、K、V、都是观测向量L的函数，且由于观测向量L的协因数已知，所以应用协因数传播律可得：1315.3 条件平差精度评定条件平差精度评定1325.3 条件平差精度评定条件平差精度评定1335.3 条件平差精度评定条件平差精度评定令则1345.3 条件平差精度评定条件平差精度评定5、平差值函数的协因数经条件平差后得到了观测值的平差值，需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值，他们都是观测值的平差值函数。因此，有必要研究平差值函数的协因数。设平差值函数的协因数为：对其全微分，得：1355.3 条件平差精度评定条件

53、平差精度评定式中为用观测值L算出的偏导数值。于是，应用协方差传播律可得：所以，平差值函数的中误差为：1365.4公式汇编及示例公式汇编及示例一、条件平差及其目的二、条件平差原理三、总结了条件平差的步骤（1）根据具体问题列条件方程式，（2）组成法方程式，（3）解法方程；（4）计算改正数V， （5）求观测值的平差值；（6）检核；（7）精度评定1375-1水准网如图所示，共观测了14段高差，问该水准网按条件平差应列多少个条件方程？试写出符合条件方程。测试题测试题1385-2三角网如图所示，问：1、该网按条件平差共有几个条件方程？2、各类条件方程各有多少个？3、写出该网中中点多边形极条件的线性形式。测

54、试题测试题1395-3水准网如图所示，、独立观测值及各路线长度如下，试按条件平差求待定点的高程和。序号观测值路线长10.213m2.0km20.456m2.0km30.240m1.0km41.234m1.0km50.992m3.0km测试题测试题140附：列条件方程时所遇到的实际问题附：列条件方程时所遇到的实际问题 一、问题的提出一、问题的提出 由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（nt）的条件平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。141附：列条件方程时所遇到的实

55、际问题附：列条件方程时所遇到的实际问题 例如，在下图所示的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。142附：列条件方程时所遇到的实际问题附：列条件方程时所遇到的实际问题二、问题的解决方案二、问题的解决方案 为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作为参数。例如图中选择 作为参数。设选择了u个参数，则原来的r个条件方程就变为c =r+u个了。如图中，由于选择了 作为参数，则条件

56、方程的个数就变为c =r+u =4+1=5个，即除了三个图形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如下图，若以A点为极，则极条件为：143 固定边条件为（由AC推算AB）：或 根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差，称为附有参数的条件平差。 下面，我们就来学习附有参数的条件平差。附：列条件方程时所遇到的实际问题附：列条件方程时所遇到的实际问题144145Ch6附有参数的条件平差附有参数的条件平差C CAABB附参数条件平差精度评定附参数条件平差精度评定总结及实例解析总结及实例解析146附有参数条件平差原理附有参数条件平差原理6.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理一般地，

57、附有参数的条件平差的函数模型为： （1）式中V为观测值L的改正数，为参数近似值的改正数。其系数矩阵的秩分别为。其随机模型为： （1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的改正数样 ，即未知数的个数为m=n+u，而方程的个数为 c = r+u。由于mc= n r= t 0，所以（1）式是一组具有无穷多组解的不定方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使 的一组解。为此，下面就来求解这组解。 1471、基础方程及其解、基础方程及其解为了求得解能使的一组解，按求函数之条件极值的方法，组成新函数：式中K是对应（6-1）式的联系数向量。为了求函数的极小值，将其分别对V和求一阶导数，并令其为零

58、，即6.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理148 亦即（2）将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条件平差的基础方程：（3）将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得：1496.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理令则(4) （4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为 ，且 ，所以 是满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是， 用 左乘（4）式的第一式，可得：(5)再以 左乘（4）式的第一式，顾及第二式，得：1506.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理令（6）则有（7）因为,且，故是满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，由（7）式得：（8）将（5）式和（8

59、）式同时代入（2）式的第一式，得：（9）（8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。1516.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理2、附有参数的条件平差的计算步骤由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下：（1）根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参数的条件方程（1）式。（2）组成法方程（4）式。（3）按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数和观测值L的改正数V。（4）按计算观测值和参数的平差值。（5）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。1526.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理3、举例某三角网如图所示，A、B为已知点，B

60、D为已知边。其已知数据为： 各角的同精度独立观测值见表1。现选 的最或是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值。 1536.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理表1角号观测值角号观测值1425361546.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理本例中n =6，t=3，r=3，u=1，故c= r+u=4由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。这4个条件如下：1556.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理取，将非线性条件线性化后，得条件方程为：由于为同精度独立观测，故。于是由（4）式得法方程为：1566.1附有参数的条件平差原理附有

61、参数的条件平差原理6.1附有参数的条件平差原理附有参数的条件平差原理解得：由此可得观测值和参数的平差值为： 检核略。1571、单位权方差的估值、单位权方差的估值在附有参数的条件平差中，单位权方差的估值仍为：（10）6.2精度评定精度评定 1582、基本向量的协因数矩阵6.2精度评定精度评定 1593、平差值函数的中误差设平差值函数为：对其全微分，得权函数式为：式中：应用协因数传播律，得：于是，平差值函数的中误差为：1606.2精度评定精度评定 小结：小结：1、为了某种需要，选择参数；2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u 个参数，就增加u 个条件方程；3、条件方程的总数为c=r+ u；4

62、、单位权中误差的计算公式不变；5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。1616.3本章总结及示例本章总结及示例举例：水准网如图所示：1、按条件平差列出误差方程。2、选高程平差值为参数，列出全部条件方程。3、选和高程平差值为参数，列出全部条件方程。1626.3本章总结及示例本章总结及示例解：1、由图知，n =5，t =2，故r =n-t =5-2=3。即三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条件：2、选高程平差值为参数，则有u=1，c=r+u=4,即：1636.3本章总结及示例本章总结及示例3、选和高程平差值为参数和，则u=2，c=r+u=3+2=5=n，此时

63、有：由上式（4）、（5）式可得：1646.3本章总结及示例本章总结及示例将（6）式代入（1）式，得：将（6）、（7）式代入（2）式，得：将（8）、（9）式代入（3）式，得：令：1656.3本章总结及示例本章总结及示例则有，令则有:上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参数之间相互独立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关系，我们称这种关系为误差方程。误差方程。以误差方程为基础可得到一种新的平差方法间接平差。间接平差。下面就来学习这种新的平差方法。1666.3本章总结及示例本章总结及示例167Ch7间接平差间接平差DDBBC CA

64、A间接平差原理间接平差原理误差方程的列立差方程的列立间接平差精度评定间接平差精度评定总结及实例解析总结及实例解析1687.1间接平差原理间接平差原理1、函数模型、函数模型间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为式中：且1692、随机模型、随机模型间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即，3、基础方程及其解、基础方程及其解误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t n。所以误差方程为超定方程组，故有无穷组解。而满足的解只有一组。由于向量V是向量的函数，按数学上求自由极值的方法有：7.1间接平差原理间接平差原理170转置后得：将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为：基础

65、方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得因为，所以上式有唯一解。令7.1间接平差原理间接平差原理171则由上式解出参数后，代入误差方程可得到改正数V。进而可求得观测值的平差值：4、间接平差的计算步骤、间接平差的计算步骤（1）根据平差问题的性质，选择t 个独立量作为参数；（2）列出误差方程；（3）组成法方程；（4）解算法方程；（5）计算改正数V；（6）计算观测值的平差值7.1间接平差原理间接平差原理172间接平差的关键是列误差方程，而列误差方程的关键是选择待估参数（未知数）。1、待估参数的个数、待估参数的个数 在间接平差中，待估参数的个数等于必要观

66、测的个数t。2、待估参数的选择、待估参数的选择 选择原则：选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立；b、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。7.2误差方程的列立误差方程的列立1733、不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立、不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立（1）水准网）水准网在水准网平差中，通常选取待定点的高程平差值作为待估参数。a、无已知点的水准网假定一点的高程已知，则选取其余t个点的高程平差值作为待估参数；b、有已知点的水准网选取t个待定点的高程平差值作为待估参数。这样选取，既足数，又独立，而且容易写出参数与观测值之间的函数关系，还可以直接得到各点高程的平差值。7

67、.2误差方程的列立误差方程的列立174如图，选于是有：7.2误差方程的列立误差方程的列立175令，则式中：176例:水准网如图所示，已知=5.000m，=3.953m，=7.650m。各点的近似高程为：观测值见下表，试列出误差方程。(m)(m)12345670.0501.1002.3980.2001.0003.4043.452(m)7.2误差方程的列立误差方程的列立177解：设于是误差方程为：7.2误差方程的列立误差方程的列立178（2）GPS网三维无约束平差网三维无约束平差 在GPS网三维无约束平差中，常常选某点i作为参考点，则该点在WGS84系下的三维坐标、可看作已知数据，其余各点作为待定

68、点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数为，因此，可选个点的坐标平差值作为参数。如图，以A点为参考点，即已知，则t个参数为：7.2误差方程的列立误差方程的列立179于是，误差方程为：7.2误差方程的列立误差方程的列立180（3）三角网）三角网在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m。这样选，既足数，又独立，而且容易写出参数与观测值之间的函数关系。一般地，角度观测值可由右图表示，于是有： 7.2误差方程的列立误差方程的列立181例如右图所示的大地四边形，其必要观测数为4，图中待定点坐标也是4，故

69、选：1827.2误差方程的列立误差方程的列立于是，误差方程为：183（4）三边网）三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m。一般地，边长观测值可由下图表示，于是有：7.2误差方程的列立误差方程的列立184例如在下图，我们选7.2误差方程的列立误差方程的列立185于是，误差方程为：7.2误差方程的列立误差方程的列立186（5）导线网）导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程两类。可以先列角度误差方程：再列边长误差方程。7.2误差方程

70、的列立误差方程的列立187（6）拟合模型）拟合模型 a、曲线拟合、曲线拟合 如图，观测了很多散点，要求将其拟合成一条曲线。设此曲线为：7.2误差方程的列立误差方程的列立188由于观测值y有误差，故由上式可得曲线拟合的误差方程为： b、曲面拟合、曲面拟合 曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。将地面视为一个连续的曲面，则高程可表达为平面坐标的函数，且可用多项式表达为：由于观测值H有误差，故由上式可得曲面拟合的误差方程为：7.2误差方程的列立误差方程的列立189 c、标准曲线拟合、标准曲线拟合 对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由

71、于圆曲线的参数方程为：式中：为圆心坐标，R为半径，这三个参数是圆的基本参数，为第i点矢径的方位角，它是坐标的函数。所以确定一条圆曲线的必要观测数为t=3（不是书上所说的4）。在圆周上观测了n=2m个点的坐标，则r=2m-3。于是，误差方程为：7.2误差方程的列立误差方程的列立190（7）坐标变换）坐标变换 不论是GPS，还是GIS，还是RS，都会经常用到坐标变换。测量中的坐标变换，一般采用如图所示的相似变换。7.2误差方程的列立误差方程的列立191由于两坐标系不是用同一个长度基准定义的，所以长度基准不一定严格相等，即两坐标系的单位长度之比可能为：于是坐标系中的长度变换到坐标系中时应乘以尺度比m

72、。于是：式中，为待定参数。由于坐标观测值有误差，于是坐标变换的误差方程可写为：7.2误差方程的列立误差方程的列立1924、非线性误差方程的线性化、非线性误差方程的线性化由以上所列误差方程知，角度观测值的误差方程：边长观测值的误差方程：圆曲线的误差方程：以及坐标变换的误差方程都是非线性误差方程。都必须线性化。下面介绍线性化的方法。7.2误差方程的列立误差方程的列立193（1）变量代换法对于坐标变换的误差方程：令则有：上式即为坐标变换的线性误差方程。7.2误差方程的列立误差方程的列立194（2）线性近似对于角度观测值的误差方程、边长观测值的误差方程和圆曲线的误差方程一般都是采用线性近似的方法线性化

73、。角度观测值的误差方程：令：将7.2误差方程的列立误差方程的列立195在按台劳级数展开，取至一次项，得式中：7.2误差方程的列立误差方程的列立196注意：上式是相对与右图中三点均为代定点导出的。1、当图中j点为已知点时，由于已知点的改正数为零，即于是，误差方程变为：2、当h、k两点为已知点时，由于7.2误差方程的列立误差方程的列立197则误差方程变为：（3）当h或k点为已知点时，误差方程变为：7.2误差方程的列立误差方程的列立198或边长观测值的误差方程：令：将7.2误差方程的列立误差方程的列立199按台劳级数展开，取至一次项，得式中：注意：a、若j点为已知点，则上式变为：b、若k点为已知点，

74、则：7.2误差方程的列立误差方程的列立200圆曲线的误差方程令将按台劳级数展开，取至一次项，得式中7.2误差方程的列立误差方程的列立201课堂作业课堂作业7-1水准网如图，观测高差和路线长度为：已知点高程分别为：用间接平差求、点高程平差值。标准答案:7.2误差方程的列立误差方程的列立202由协因数传播律得：7.3精度评定精度评定205展开得：于是：7.3精度评定精度评定206总结：1、间接平差原理2、间接平差步骤3、误差方程列立4、非线性方程的线性化5、精度评定7.4总结及实例解析总结及实例解析209例：三角网如图，已知点坐标及观测值为：用间接平差求P点坐标平差值及其点位中误差。7.4总结及实

75、例解析总结及实例解析210P1S2XBAYS132三角网如图，已知：7.4总结及实例解析总结及实例解析211观测值和待定点近似值为：试用间接平差求P点坐标的平差值和P点的位中误差。7.4总结及实例解析总结及实例解析212在间接平差中，我们所选参数的个数u正好等于必要观测的个数t，即u =t，并且t个参数相互独立。当我们实际选取的参数个数u大于必要观测的个数t 时，情况会如何呢？我们通过实例来回答这个问题。在上图所示的三角网中，t=4，当我们除了选C、D两点的坐标为参数外，还选C、D两点间的距离为参数，即选由图知上试表明：当所选参数的个数ut时，参数之间一定存在函数关系。即参数之间存在s=u-t

76、个条件。参数之间存在条件的平差又是一中种新的平差方法附有条件的间接平差。附有条件的间接平差。7.4总结及实例解析总结及实例解析2137.4总结及实例解析总结及实例解析7-1已知某平差问题的误差方程为：观测值的权阵为：试求参数及协因数阵。214215Ch8附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差C CAABB附条件间接平差精度评定附条件间接平差精度评定总结及实例解析总结及实例解析216附条件间接平差原理附条件间接平差原理8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理1、基础方程、基础方程设误差方程和参数之间所应满足的条件方程为：（1）其中因为方程个数为n+s个，未知数的个数为n+u个，故

77、上式有无穷组解。为了求既满足条件，又能使的一组解，组成新函数217上式对参数求偏导数，并令其为零，得即于是，可得附有条件的间接平差的基础方程：（2）8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理2182、基础方程的解、基础方程的解 以上基础方程中，方程的个数为n+u+s个，而未知数为n个改正数、u个参数、s个联系数，也是n+u+s个，故有唯一解。将基础方程的第一式代入第三式，得或上式为附有条件的间接平差的法方程。因为满秩方阵，故用左乘以上第一式，并减去第二式，得令，则8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理219于是，法方程的解为：（4）将代入误差方程，可求出V。进而可得（5）3

78、、附有条件的间接平差步骤、附有条件的间接平差步骤（1）根据具体问题，按（1）式列出误差方程和条件方程。（2）由误差方程和条件方程列出法方程（3）式。（3）按（4）式计算参数的改正数。（4）按（5）式计算观测值的平差值和参数的平差值。8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理2204、举例、举例三角网如图所示，A、B为已知点，其坐标为：已知BD边的边长为无误差。同精度独立观测值见下表，试按附有条件的间接平差对该网进行平差。8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理221解：选待定点C、D的坐标平差值为参数。因本例n=6，t=3，u=4，故s=u-t=1。取参数近似值为：角号观测值

79、角号观测值1600003459595726000025595956360000465959598.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理222误差方程和条件方程如下：8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理223组成法方程如下：求解法方程，得8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理224改正数为：参数平差值为：观测值的平差值（略）8.1附有条件的间接平差原理附有条件的间接平差原理2251、单位权中误差、单位权中误差在附有条件的间接平差中，单位权中误差的估值仍为2、基本向量的协因数矩阵、基本向量的协因数矩阵在附有条件的间接平差中，基本向量为：8.2附有条件的间接平差精

80、度评定附有条件的间接平差精度评定226即8.2附有条件的间接平差精度评定附有条件的间接平差精度评定227则8.2附有条件的间接平差精度评定附有条件的间接平差精度评定228同理:8.2附有条件的间接平差精度评定附有条件的间接平差精度评定229因为:所以:8.2附有条件的间接平差精度评定附有条件的间接平差精度评定230因为8.2附有条件的间接平差精度评定附有条件的间接平差精度评定2313、平差值函数的协因数、平差值函数的协因数设平差值函数为将其全微分，得平差值函数的权函数式为：所以：式中：8.2附有条件的间接平差精度评定附有条件的间接平差精度评定2328-1水准网如图所示，同精度观测值为：设AB，

81、BC，CA的高程平差值为参数，试用附有条件的间接平差求各观测值的平差值。8.3总结及实例解析总结及实例解析233解：t=2,u=3,即取，则误差方程为：因为u-t=1，所以参数之间存在一个条件，即8.3总结及实例解析总结及实例解析234解之得：代入误差方程，得：于是：2358.3总结及实例解析总结及实例解析236Ch9概括平差函数模型概括平差函数模型DDBBC CAA问题提出及平差原理问题提出及平差原理精度精度评定定总结及实例总结及实例237平差结果的统计性质平差结果的统计性质分析以上条件方程知，前三个方程是观测值和参数所应满足的条件方程，第四个方程是参数之间应满足的条件方程。以这样的既有观测

82、值和参数所应满足的条件方程，又有参数之间应满足的条件方程一起平差，称为附有条件的条件平差。其一般形式为 （1）式中：c=r+u-s9.1问题提出及平差原理问题提出及平差原理239二、基础方程及其求解二、基础方程及其求解1、基础方程、基础方程(1)式中方程的个数为r+u 个，未知数的个数为n+u个。由于nr，所以（1）式有无穷组解。在这无穷组解中，我们选取能使的一组解作为最优解。为此，组成新函数：将上式对V和求偏导数，并令其为零，得9.1问题提出及平差原理问题提出及平差原理240转置后得：于是，基础方程为：2、基础方程的解、基础方程的解 由基础方程的第三式得：（2）9.1问题提出及平差原理问题提

83、出及平差原理241将（2）式代入基础方程，消去改正数V，得法方程：（3）用左乘（3）式的第一式，得：（4）再以左乘（3）式的第一式并减去第二式，得：令9.1问题提出及平差原理问题提出及平差原理242则(5)将(5)式代入(1)式的第二式，得因为为满秩方阵，所以（6）将（6）式代入（5）式，得（7）按（7）式求出参数估值后，将（4）式代入（2）式，得9.1问题提出及平差原理问题提出及平差原理2431、单位权中误差、单位权中误差2、各变量的协因数阵、各变量的协因数阵9.2精度评定精度评定244应用协因数传播律，得9.2精度评定精度评定245因为所以9.2精度评定精度评定2469.2精度评定精度评定

84、247令则即9.2精度评定精度评定248同理令：9.2精度评定精度评定249则即同理可得其具体表达式请同学自己推导。9.2精度评定精度评定250（1）（1）式为附有条件的条件平差。1、当参数个数u=0时，有B=0，C=0。（1）式变为条件平差，即2、当参数个数u=t，且彼此独立时，有C=0，A=-E，W=-l。（1）式变为间接平差，即3、当参数个数ut 时，有A=-E，W=-l。（1）式变为附有条件的间接平差，即由上可见，该平差模型起到了概括其他函数模型的作用，因此，也称为概括平差函数模型。9.3总结及实例总结及实例2529.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质1、无偏性、无偏性将真值代入（

85、1）式（1）得（2）式：（2）253将（2）式取数学期望，得：因为所以因为所以9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质254上式表明参数估值上式表明参数估值 是其真值是其真值 的无偏估计。的无偏估计。为了证明观测值的平差值是其真值的无偏估计，先证明改正数V的期望为零。对取期望，得于是：上式表明观测值的平差值上式表明观测值的平差值 是其真值是其真值 的无偏估计。的无偏估计。再来证明单位权方差的估值是其真值的无偏估计。9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质255引理引理:设Y为随机向量，其方差阵为，数学期望为。则随机向量Y的任一二次型的数学期望为：（3）证明：证明：9.4平差结果的统计性质平

86、差结果的统计性质256于是：得证。9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质257根据（3）式，有：（4）因为所以（4）变为：（5）将代入（5）式，得：9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质258因为：9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质259所以于是有:上式表明单位权方差的估值上式表明单位权方差的估值 是其真值是其真值 的无偏估计。的无偏估计。2、最优性所谓最优性，就是指估计值的方差最小。下面就来证明参数估值和观测值的估值具有最小方差，即或 或9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质260证明思路：构造参数的一个最优线性无偏估计：（6）然后证明。为此，下面根据无偏条件和最优条件来

87、确定系数和由无偏条件:知:（7）再来推导最优条件，（6）式应用协方差传播律，得：9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质261为了求得既能使，又能满足无偏条件（7）式的待定系数和，组成如下新函数：（8）（8）式分别对和求偏导数，并令其为零，得：（9）由（9）式解得：（10）将（10）式代入（7）式，得：9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质262于是可解得：（11）将（11）式代入（9）式的第二式，得：故有：将其代入（11）式，得：（12）将（12）式代入（10）式，得：9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质263将和代入（6）式，得：因为是最优线性无偏估计，所以也是最优线性无偏估计

88、。由此证明具有最优性。同理可证明观测值的估值也是最优线性无偏估计。详细证明由同学自己完成。9.4平差结果的统计性质平差结果的统计性质264265Ch10 误差椭圆误差椭圆DDBBC CAA点位误差概述点位误差概述点位误差的计算点位误差的计算误差曲线误差曲线误差椭圆误差椭圆266平差后待定点P的坐标为 。方差协方差矩阵为:坐标的中误差和表示点位在x方向和y方向上的中误差。一般地，即点位在不同方向上的中误差一般是不相等的。APXYO26710.1点位误差概述点位误差概述既然点位在不同方向上的中误差不相等，就有必要研究点位在任意方向上的中误差。APXYOPXY26810.1点位误差概述点位误差概述1

89、、任意方向、任意方向 的位差的位差如图，由相似变换公式得：应用协方差传播律，得：即点位在任意方向上的中误差为（1）习惯上，称点位在某方向上的中误差为该方向上的位差。点位在任意方向上的协因数为：（2）26910.2点位误差的计算点位误差的计算2 2、点位方差、点位方差将（1）式的两式相加，得：上式表明点位在任意两垂直方向上的方差之和为不变量。为此，定义点位在两垂直方向上的方差之和为点位方差：3 3、位差的极值方向与极值、位差的极值方向与极值由于点位在不同方向上的位差大小不同，所以位差一定有极值。为了寻求此极值的方向，将（2）式对 求导数，并令其为零，即：27010.2点位误差的计算点位误差的计算

90、用 表示极值方向，则有：即于是有三角方程： （3）因为所以（3）式有两个解： 和 。则极值方向也有两个： 和 ，即一个极大值方向，一个极小值方向，且极大值方向与极小值方向正交。27110.2点位误差的计算点位误差的计算既然 和 为极大值方向和极小值方向，那么哪个是极大值方向？哪个又是极小值方向呢？下面来讨论这个问题。将三角公式代入（2）式，得： （4）27210.2点位误差的计算点位误差的计算（4）式的中括号内有两项，第一项恒大于零，第二项的 也恒大于零。而第二项中的 和 有正有负。只有它们同号，第二项才大于零，才能使 取极大值。当它们异号时，第二项小于零， 取极小值。当 即 时， ；当 即

91、时， ；又因为对于 和180+ ， 的符号不变，所以：当 时，极大值在一、三象限； 极小值在二、四象限。当 时，极大值在二、四象限； 极小值在一、三象限。用 和 , 和 表示极大值与极小值方向。知道了极大值与极小值的方向，下面再来研究极大值与极小值的大小。27310.2点位误差的计算点位误差的计算将极大值方向 与极小值方向 代入（2）式，就可以得到极大值与极小值。实用上，通常重新推导一套公式：因为顾及得：将上式代入（4）式，并顾及 ，得：27410.2点位误差的计算点位误差的计算令：K为算术平方根，恒大于零。则有：用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： （5）（5）式就是计算位差极大

92、值与极小值的实用公式。27510.2点位误差的计算点位误差的计算点位在任意方向上的中误差：点位在任意方向上的中误差：点位方差点位方差极值方向极值方向当 时，极大值在一、三象限； 极小值在二、四象限。当 时，极大值在二、四象限； 极小值在一、三象限。极大值与极小值极大值与极小值27610.2点位误差的计算点位误差的计算4 4、以极值表示任意方向上的位差、以极值表示任意方向上的位差任意方向上的位差公式(1)式中的任意方向是从X轴起算的。若从极大值方向（E轴）起算，其公式会是怎样的呢？下面来推导之。如图，从任意X轴起算的任意方向，若从极大值方向（E轴）起算则为。为了导出极值表示任意方向上的位差，分别

93、以 和 乘以（5）式的第一、第二式，并求和，得：27710.2点位误差的计算点位误差的计算 （6）因为所以将上式代入（6）式，得： （7）若分别以 和 乘以（5）式的第一、第二式，并求和，经与以上同样的推导，得： （8）27810.2点位误差的计算点位误差的计算（7）式和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差的公式。若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴的方位角为 （如图）。故（7）式可写为：由于X 轴是以E 轴起算的所有方向中的一个特定方向，所以以E轴起算的任意方向 上的位差为： （9）（9）式就是以E 轴为起算方向，用极值E、F 计算任意方向 上的位差的实用公式。2791

94、0.2点位误差的计算点位误差的计算以极大值方向与极小值方向的交点为极点、以极大值方向E为极轴、以不同的方位角 （由E轴起算）和位差 为极坐标的点的轨迹，是一条闭合曲线，形状如下图。图中任意方向 上的向径OP就是该方向上的位差 。该曲线将各方向上的位差清清楚楚地图解出来了。由图知，该曲线关于E 轴和F 轴对称。称该曲线为点位误差曲线。28010.3 误差曲线误差曲线28110.3 误差曲线误差曲线点位误差曲线不是标准曲线，在计算机普遍使用之前作图不方便。为此，总是用一个长半轴等于E，短半轴等于F的椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误差椭圆，简称误差椭圆。由图知，此误差椭圆仅由长半轴E、短半

95、轴F、以及长半轴E的方位角 确定。因此，称E、F 和 为误差椭圆的三个参数。28210.4 误差椭圆误差椭圆误差椭圆除了在长轴E、短轴F上能精确表示位差外,其它任何方向都不能直接从误差椭圆上量取位差的大小。要通过误差椭圆得到任意方向位差的大小，其方法是：垂直任意方向 作误差椭圆的切线PD，则垂足D至O的长度就是任意方向 上的位差，即28310.4 误差椭圆误差椭圆证明：证明：如图，中间的虚线表示误差曲线，外面的虚线是半径为E的大圆弧，最里面的虚线是半径为F的小圆弧。现作以OE为起始方向的角度 的向径，交大圆于 ，交小圆于 ，过 作y轴的平行线交x轴于a点。过 作x轴的平行线交y轴于b点，两平行

96、线的交点P，正好是椭圆上的一点。这是因为：28410.4 误差椭圆误差椭圆即 （9）（9）式的第一式乘以 ，第二式乘以 ，得： （10）（10）式的两式相加，得：故有： （11）（11）式为椭圆方程，所以P点正好是椭圆上的一点。28510.4 误差椭圆误差椭圆下面再来证明 。以椭圆上的点 为切点作椭圆的切线，再过O点作此切线的垂线 该垂线从E轴起算的方位角为 ，垂足为D点。由图知：上式两边平方得：（12）28610.4 误差椭圆误差椭圆由图，并顾及知， 的协率为：故有：所以（12）式变为：所以28710.4 误差椭圆误差椭圆相对误差椭圆相对误差椭圆在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就

97、可应用点位误差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。设有任意两个待定点 和 ，它们的坐标平差值的协因数矩阵为：28810.4 误差椭圆误差椭圆这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来表示，即应用协因数传遍律，得： （13）如果这两个点中有一个为无误差的已知点，比如 点，则以上协因数阵变为：28910.4 误差椭圆误差椭圆 （14）由此可计算出 点的点位误差椭圆的3个参数。可见，点位误差椭圆或误差曲

98、线是相对于已知点而言的。当 不是已知点，而是待定点时，所不同的只是协因数阵。即协因数阵由（13）式变为（14）式。因此，用（13）式中的元素计算的误差椭圆的3个参数，就是待定点 相对于待定点 的误差椭圆参数，即 （15）29010.4 误差椭圆误差椭圆由（15）式计算出误差椭圆的3个参数后，就可按上节介绍的方法绘制误差曲线或误差椭圆。这样的误差曲线或误差椭圆是待定点 相对于待定点 的误差曲线或误差椭圆，故称之为相对误差曲线或相对误差椭圆。举例举例10-1已知P点的协因数阵为：单位权中误差为 。试求点位误差椭圆的三个参数及点位误差 。解：29110.4 误差椭圆误差椭圆故： 及所以 及因为 ，所

99、以极大值方向在第二、四象限；极小值方向在第一、三象限，即： 或 或又因为所以于是得点位误差： 29210.4 误差椭圆误差椭圆例2、数据同例1,试计算方位角为155度(由X轴起算)上的位差。解：按（1）式计算： 按（9）式计算： 故29310.4 误差椭圆误差椭圆例3、设单位权中误差为 ， 点和 点的协因数阵为：试绘出 点和 点的点位误差椭圆和相对误差椭圆，并从图上量取两点的相对位置精度。解： 的点位误差椭圆参数为：极值方向：解得：29410.4 误差椭圆误差椭圆因为 ，所以极大值方向在第二、四象限，即极值： 的点位误差椭圆参数为：极值方向：解得：因为 ，所以极大值方向在第一、三象限，即29510.4 误差椭圆误差椭圆极值：相对误差椭圆参数计算因为 ，所以极大值方向在第一、三象限，即29610.4 误差椭圆误差椭圆绘制点位误差椭圆和相对误差椭圆29710.4 误差椭圆误差椭圆298