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1、第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分 ( (对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分) )问题的提出问题的提出第二类曲线积分第二类曲线积分的概念的概念第二类曲线积分第二类曲线积分的计算的计算第九章第九章第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系小结小结 思考题思考题 作业作业1曲线积分与曲面积分(5)变力变力沿沿曲线曲线所作的功所作的功常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割一、问题的提出一、问题的提出第二类曲线积分第二类曲线积分求质点从求质点从A移动到移动到B时力时力对它所作的功。对它所作的功。设设2曲
2、线积分与曲面积分(5)第二类曲线积分第二类曲线积分它可近似地看作长度为它可近似地看作长度为的有向线段，的有向线段， 并取并取上任一点上任一点处的处的切向量切向量的指向的指向作为有向线段的方向。作为有向线段的方向。取取取近似取近似求和求和取极限取极限3曲线积分与曲面积分(5)上式右端极限恰好是数量值函数上式右端极限恰好是数量值函数在曲线弧在曲线弧L上的第一类曲线积分，上的第一类曲线积分，故故W可表为可表为第二类曲线积分第二类曲线积分4曲线积分与曲面积分(5)二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念1. 定义定义 设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条光滑的的一条光滑的有向有向
3、曲线弧曲线弧,在在L上有界，上有界，第二类曲线积分第二类曲线积分向量值向量值函数函数是定向曲线弧是定向曲线弧L上点上点处的单位切向量，处的单位切向量，如果第一类曲线积分如果第一类曲线积分5曲线积分与曲面积分(5)存在，存在， 则称此积分为则称此积分为向量值向量值函数函数在在定向曲线弧定向曲线弧L上的积分，上的积分，也称为也称为 第二类曲线积分第二类曲线积分对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分, ,或或 记作记作即即积分弧段积分弧段被积函数被积函数第二类曲线积分第二类曲线积分 定向弧元素定向弧元素6曲线积分与曲面积分(5)第二类曲线积分第二类曲线积分设平面曲线弧的单位切向量为设平面曲线弧的单位切向量
4、为则则所以所以7曲线积分与曲面积分(5)2. 存在条件存在条件在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在.连续连续, ,第二类曲线积分第二类曲线积分3. 推广推广可类似定义三维向量值函数可类似定义三维向量值函数在空间的定向光滑曲线在空间的定向光滑曲线上的第二类曲线积分上的第二类曲线积分8曲线积分与曲面积分(5)4. 性质性质LL1L2 第二类曲线积分与第二类曲线积分与(1)则则(2)有向曲线弧有向曲线弧,则则曲线的方向有关曲线的方向有关. .第二类曲线积分第二类曲线积分5. 注意注意如如L是封闭曲线是封闭曲线, 还采用积分号还采用积分号9曲线积分与曲面积分(5)第二类曲
5、线积分第二类曲线积分两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系即即10曲线积分与曲面积分(5)例例解解 所以所以把第二类曲线积分把第二类曲线积分化为第一类曲线积分化为第一类曲线积分, 其中其中L为沿抛物线为沿抛物线从点从点(0,0)到到(1,1).第二类曲线积分第二类曲线积分11曲线积分与曲面积分(5)第二类曲线积分与曲线的方向有关第二类曲线积分与曲线的方向有关.三、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的计算思想思想因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算化为定积分计算. .上限是终点的上限是终点的坐标坐标.第二类曲线积分第二类曲线积分12曲线积分与曲面积分(5)定理定
6、理弧弧L上上连续连续,第二类曲线积分第二类曲线积分设设在定向曲线在定向曲线具有一阶连续具有一阶连续导数导数,13曲线积分与曲面积分(5)特殊情形特殊情形(1)(2)则则则则第二类曲线积分第二类曲线积分14曲线积分与曲面积分(5)(3)推广推广第二类曲线积分第二类曲线积分15曲线积分与曲面积分(5)例例解解(1)第二类曲线积分第二类曲线积分16曲线积分与曲面积分(5)(2)第二类曲线积分第二类曲线积分17曲线积分与曲面积分(5) 其中其中是由点是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是例例A点对应点对应
7、B点对应点对应第二类曲线积分第二类曲线积分18曲线积分与曲面积分(5)例例(1) L是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;解解A点对应点对应 (2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. (1)中中L的的参数方程参数方程为为B点对应点对应其中其中原式原式=第二类曲线积分第二类曲线积分19曲线积分与曲面积分(5)(2) L的方程的方程为为原式原式=(2) L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段. 其中其中第二类曲线积分第二类曲线积分20曲线积分与曲面积分(5)例例直接化为定积分计算直接化为定积分计算,取逆时针方向取逆时针方向.解解由曲线积分的性质由曲线积分的性质.
8、则则其中其中ABCDA为为第二类曲线积分第二类曲线积分21曲线积分与曲面积分(5)第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的概念第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系五、小结五、小结四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:化为定积分计算化为定积分计算第二类曲线积分的物理意义第二类曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质关于曲线方向的性质注意注意: : 第二类曲线积分的性质第二类曲线积分的性质第二类曲线积分第二类曲线积分22曲线积分与曲面积分(5)作作 业业习题习题9-2 (1329-2 (132页页) )1. (2)(4)(6)(8) 2. 3. 5. 第二类曲线积分第二类曲线积分23曲线积分与曲面积分(5)曲线积分与曲面积分(5)
