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1、第三章第三章 控制网平差控制网平差完成控制网测量的外业工作后要进行内业计算，内业计算分为概算、平差计算和编制控制点成果表。本章重点介绍独立三角网的条件平差方法。第一节第一节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 第二节第二节 条件平差原理条件平差原理第三节第三节 独立三角网条件平差独立三角网条件平差第一节第一节 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 一、必要观测与多余观测一、必要观测与多余观测 在测量工作中，最常见的问题是要确定某些几何量的大小。由各种几何量构成的模型（测量中就是各种控制网）就是几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素，其它
2、元素可以通过已知的元素确定。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必要观测。必要元素的个数用t 表示。 为了确定一个几何模型就必须进行观测。如果观测个数n 少于必要元素的个数，即nt，显然无法确定该模型，出现了数据不足的情况；若观测了t 个独立量，n =t，则可唯一地确定该模型。在这种情况下，如果观测结果中含有错误，将无法发现。为了能及时发现错误，并提高测量成果的精度，就必须使nt，即必须进行多余观测。多余观测的个数在测量中又称“自由度”。令 r =n t显然，r 就是多余观测数。例如:为确定三角形ABC，只需要3个必要观测，它们可以是：S1, a, b或
3、：S1, a, c或：S1, S2, b或：S1, S2, S3C c S2 S3 b a B S1 A如果观测了所有六个元素，则有3个多余观测二、平差的数学模型二、平差的数学模型测量中是通过观测来确定控制网中的某些几何量，因而考虑的模型总是数学模型。因为观测量是一种随机变量，所以平差的数学模型应同时包含函数模型和随机模型。函数模型和随机模型总称为数学模型。函数模型是由描述观测量和待求量间的函数关系的模型，随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。测量平差通常是基于线性函数模型的，当函数模型为非线性形式时，是将其用泰勒公式展开，并取其一
4、次项化为线性形式。对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。1、条件平差法 以观测量之间必须满足一定的条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法 。例如：为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数t =3，实际观测了6段高差,故多余观测数r =nt =3，应列出3个线性无关条件方程.h1ABh2Ch3h4h5h6D这个水准网可以列出7个条件方程,其中只有3个是相互独立的,我们取：式中：表示观测量hi 的平差值。这就是用平差值表达的条件方程。（a）由于平差值应该等于观测值与其改正数之和，即：代入(a)式得：其中
5、：(b)令：V=(v1 v2 v3 v4 v5 v6)T则条件方程可表达为以下矩阵形式：AV +W=0（c）这就是条件平差条件平差函数模型的一般形式一般形式。条件方程AV +W=0中，A 为r n 阶矩阵，称为系数矩阵； V 为n 1列阵，称为改正数向量； W为r 1列阵，称为闭合差向量。2、间接平差法一个几何模型中，只会有t 个独立量，如果平差时就以这t 个独立量为参数，模型中的所有量都一定是这t 个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选t 个独立参数的函数。选择几何模型中t 个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n 个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为
6、间接平差法，又称参数平差法。例如：ABC中，观测量为其中的三个内角，选定A和B为平差参数，设为X1和X2，将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数，构成数学模型:CL3X1X2L1L2AB则间接平差的函数模型可用以下矩阵形式表达： L+V=BX+d或：V=BX l此式称为间接平差误差方程。式中，L 为观测值向量（n 1阶）；V 为改正数向量（n 1阶）；B 为系数矩阵（n t阶）；X 为未知数向量（t 1阶）；l =L d 为常数矩阵（n 1阶）。第二节第二节 条件平差原理条件平差原理条件方程AV +W=0中，A 为r n 阶矩阵， V 为n 1列阵，即有r 个方程，n 个未知数,且r n，
7、这样的方程组有无穷多组解。然而，根据最小二乘准则，观测量的最或然值应该满足VTPV=min。在AV +W=0的条件下确定VTPV 的最小值，这在数学中是求函数=VTPV的条件极值问题。条件平差，实际上是确定条件方程满足VTPV=min的唯一解。根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数：=VTPV 2KT（AV+W)其中：K =（k1,k2，kr)T是拉格朗日乘数，测量平差中称之为联系数向量。显然，只要令对V的一阶导数等于零就可以求出VTPV 的极值。矩阵求导的两个公式：(1)设C为常数阵，X为列阵，则(2)设Y、Z 均为列阵，则：一、改正数方程令其等于零，注意到(PV )T =V T
8、 P，从而有： V T P=K T A 转置后左乘P 1得：V =P 1ATK (1)该公式表达了改正数V 与联系数K 的关系。函数=VTPV 2KT (AV+W )对V 求导：二、法方程式将（1）式代入条件方程AV +W=0中得：AP 1AT K+W=0（2）这就是条件平差的法方程式。式中，P为观测值的权矩阵，设第i 个观测值的权为pi ,则显然 P 是一个对角阵，其逆存在，且：三、法方程的解令N =AP 1AT（3）则法方程式的形式为N K+W =0其中N 称为法方程式系数矩阵，是一个满秩二次型方阵，其逆存在。从而可解出联系数向量： K =N 1W（4）四、条件平差的一般过程（1）列出条件
9、方程AV +W=0（2）组成法方程系数矩阵N =AP 1AT（3）解法方程得到联系数K =N 1W（4）计算改正数V=P 1ATK （5）计算平差值（6）精度评定上一讲内容回顾条件平差函数模型的一般形式：条件平差函数模型的一般形式： AV +W=0 条件平差的法方程式条件平差的法方程式 AP 1 AT K+W=0 或或 NK+W=0法方程的解法方程的解K = N 1 W改正数改正数 V=P 1 ATK 条件平差的一般过程条件平差的一般过程（1）列出条件方程）列出条件方程AV +W=0 （2）组成法方程系数矩阵）组成法方程系数矩阵 N = AP 1 AT （3）解法方程得到联系数）解法方程得到联
10、系数 K = N 1 W （4）计算改正数）计算改正数 V=P 1 ATK （5）计算平差值）计算平差值 （6）精度评定（计算单位权方差、观测值中误）精度评定（计算单位权方差、观测值中误差、平差值函数的中误差等）差、平差值函数的中误差等）第三节 独立三角网条件平差 根据三角网中起算数据的多少，三角网有根据三角网中起算数据的多少，三角网有独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中仅有必要的起算数据）和非独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。独立三角网（网中具有多余的起算数据）之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三
11、角网按角度进行条件平差法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的时，条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。详细步骤和方法。 一、图形条件一、图形条件 图形条件通常是指平差后三角形内角应满足图形条件通常是指平差后三角形内角应满足的几何条件，所以也称为的几何条件，所以也称为三角形闭合条件三角形闭合条件。 条件平差时，关键是列出条件方程。独立条件平差时，关键是列出条件方程。独立三角网的观测量主要是三角形的内角，这些角三角网的观测量主要是三角形的内角，这些角在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是在几何上应该满足一定的条件，这些条件就是列立条件方程的
12、基础。列立条件方程的基础。 根据几何条件的不同，独立三角网的条件根据几何条件的不同，独立三角网的条件方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基方程分为图形条件、圆周角条件、极条件、基线条件四种类型。线条件四种类型。1.1.平差值表达的图形条件平差值表达的图形条件对于有对于有 n 个三角形组成的中点多边形个三角形组成的中点多边形 (a)或三角锁或三角锁 (b)，可以列出可以列出 n 个图形条件：个图形条件：（i =1，2，n）a1 ci an bn b1c1ci ai bi ai bi cn(a)(b)对于大地四边形，对于大地四边形， 可以列出可以列出7个图形条件，个图形条件，但是只有但是只有 3
13、 个是相互独个是相互独立的，其余几个可以由立的，其余几个可以由这这 3 个方程推导出来：个方程推导出来： a3b3b2a4a2b4 b1a12. 2. 改正数表达的图形条件改正数表达的图形条件 代入用平差值表达的条件方程，整理后可得代入用平差值表达的条件方程，整理后可得 平差值、观测值、改正数三者的关系为：平差值、观测值、改正数三者的关系为：（1 1）中点多边形和三角锁：）中点多边形和三角锁：vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci - 180 （2 2）大地四边形：）大地四边形：va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; va2+vb2+va3+ vb3 +w2=
14、0; va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2- 180w2= a2+ b2 +a3 +b3- 180w3= a3+ b3 +a4 +b4- 180 a3b3b2a4a2b4 b1a13.3.图形条件闭合差的限差图形条件闭合差的限差 设角度观测中误差为设角度观测中误差为m，应用误差传播定律应用误差传播定律可得三角形闭合差可得三角形闭合差 w 的中误差为的中误差为 取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即取闭合差中误差的两倍作为闭合差的限值，即同理，同理，n 个角的图形条件闭合差的限值为个角的图形条件闭合差的限值为二、圆周角条件二、圆周角条件 在中点多
15、边形中，尽管所有三角形的图形在中点多边形中，尽管所有三角形的图形条件都满足，但在中心点处，仍然可能出现条件都满足，但在中心点处，仍然可能出现各角度值之和不等于各角度值之和不等于360360的现象，平差时的现象，平差时除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中除了要满足三角形闭合条件外，还必须使中心点处的角度满足下列条件：心点处的角度满足下列条件：a1 b1c1ci ai bi用改正数表达的圆周角条件为：用改正数表达的圆周角条件为：其中，其中，wo 称为圆周角条件闭合差。称为圆周角条件闭合差。式中，式中， m 为角度观测中误差；为角度观测中误差； n 为圆周角的个数。为圆周角的个数。；对对wo应用误
16、差传播定律，并以应用误差传播定律，并以2倍中误差作倍中误差作为限差，则圆周角闭合差的限差为：为限差，则圆周角闭合差的限差为：三、极条件以中点多边形为例，若从OA边出发，依次解算三角形、，最后解算出的OA边长应与出发边OA相等。即：Aa1EB b1c1O a2c2ci b2 ai biCD1.1.平差值形式的极条件方程平差值形式的极条件方程 依次解算的三角形有共同顶点依次解算的三角形有共同顶点O，这个共同顶这个共同顶点点O成为极点，故这种条件称为极条件。成为极点，故这种条件称为极条件。 将上述公式中的平差值用观测值加改正数的形将上述公式中的平差值用观测值加改正数的形式表达，则有：式表达，则有：即
17、：即：2.2.改正数形式的极条件方程改正数形式的极条件方程 上述方程按台劳级数展开取至改正数的一次上述方程按台劳级数展开取至改正数的一次项使其线性化：项使其线性化：令令 ai = ctg ai , bi = ctg bi 称为极条件闭合差。称为极条件闭合差。则上式可化简为：则上式可化简为：ai vai bi vbi+ws = 0 其中：其中： 3. 3. 极条件闭合差的限差极条件闭合差的限差对对极条件闭合差的表达式应用误差传播定律得：极条件闭合差的表达式应用误差传播定律得：mwo2 = a12 ma12+ a22 ma22+ bn2 mbn2由于通常各三角形内角是等精度观测，即由于通常各三角形
18、内角是等精度观测，即mai = mbi = m, 以以2倍中误差为闭合差的限差，从而得到极条件倍中误差为闭合差的限差，从而得到极条件闭合差的限差为：闭合差的限差为： 四、基线条件四、基线条件 对于有两条基线的三角网，其角度观测值对于有两条基线的三角网，其角度观测值平差后应满足：两条基线经三角形边长传算后平差后应满足：两条基线经三角形边长传算后相等。例如以下三角锁中，相等。例如以下三角锁中， B1、B2为为两条基两条基线，由线，由 B1 经三角形经三角形、传算到传算到 B2 后，应该与后，应该与 B2 相等。这个条件称为基线条件。相等。这个条件称为基线条件。 c 1 ci an bn B1 B2
19、 a1 b1 ai bi cn 1.1.平差值表达的基线条件方程平差值表达的基线条件方程 根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件根据正弦定理，上述三角锁中，仿照极条件的推导过程，基线的推导过程，基线 B1，B2 与传距角与传距角 ai，bi的平的平差值应该满足：差值应该满足：2.2.改正数表达的基线条件方程改正数表达的基线条件方程 上式中的平差值用观测值加改正数的形式表上式中的平差值用观测值加改正数的形式表达并移项后得：达并移项后得：线性化后令线性化后令ai = ctg ai ,bi = ctg bi ，则有：则有：ai vai bi vbi+wB= 03.3.基线条件闭合差的限差基线条件闭合
20、差的限差 称为基线条件闭合差。应用误差传播定律可称为基线条件闭合差。应用误差传播定律可计算其中误差，取计算其中误差，取 2 倍中误差为限差可得：倍中误差为限差可得：五、典型三角网的条件方程五、典型三角网的条件方程 设独立三角网中观测值个数为设独立三角网中观测值个数为 n，三角点的三角点的总数为总数为N，其中要有其中要有 2 个是已知坐标的点，未个是已知坐标的点，未知点个数为（知点个数为（N - 2），），每个未知点需要每个未知点需要 2 个必个必要观测以确定其要观测以确定其 x，y 坐标，则必要观测的个坐标，则必要观测的个数为数为 t = 2(N - 2) , 独立的条件方程数目为：独立的条件
21、方程数目为： r = n - t 其中大地四边形和中点多边形要有其中大地四边形和中点多边形要有1个极条件。个极条件。网中每网中每增加增加 1条已知边，应增加条已知边，应增加 1个基线条件。个基线条件。条件方程的数目：条件方程的数目：1.1.三角锁三角锁条件方程的个数：条件方程的个数： c 1 ci an bn B1 B2 a1 b1 ai bi cn 第一个三角形有第一个三角形有3个点，每增加个点，每增加1个三角形增个三角形增加加1个点，个点，n个三角形共有个三角形共有n+2个点，必要观测个点，必要观测个数是：个数是：t = 2 (n + 2 2) = 2n ； 共有共有3n个角度观测值，个角
22、度观测值，2条基线，其中一条条基线，其中一条是起算边长，因此条件方程的个数为：是起算边长，因此条件方程的个数为： r = 3n - 2n +1 = n +1条件方程的种类：条件方程的种类：图形条件图形条件n个：个： vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)基线条件基线条件1 1个：个： ai vai bi vbi+wB= 02.2.大地四边形大地四边形 共有共有4个点，其中个点，其中2个为起算点，个为起算点，2个个未未知点，应有知点，应有4个必要个必要观测（观测（t=4），），共有共有8个观测值个观测值(n=8)，条件方程的个数为：条件方
23、程的个数为： r = n - t = 4 a3b3b2a4a2b4 b1a1B其中图形条件其中图形条件3 3个：个： va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 180 va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 180 va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w3= a3+ b3 +a4 +b4 180极条件极条件1 1个个: : ai vai bi vbi +ws = 0 ；其中：其中：ai = ctg ai , bi = ctg bi3.3.中点多边形中点多边形条件方程的数目：条件方程的数目：Aa
24、1EB b1c1O a2c2 ci b2 ai biCDt=2(n+1 2)=2n 2共有共有n+1个点，必个点，必要观测个数：要观测个数：观测值个数观测值个数3n；条件方程个数：条件方程个数：r = 3n (2n 2 ) = n+2 条件方程的种类：条件方程的种类：图形条件图形条件n个：个：vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n)圆周角条件圆周角条件1个：个： vci+wo= 0 ； wo= ci -360极条件极条件1个：个： ai vai bi vbi+ws= 0六、精度评定六、精度评定 在条件平差中，精度评定包括计算单位权方差和平
25、差值函数的中误差。其中，其中，r 为条件方程的个数，为条件方程的个数， pvv=VTPV 可可以根据改正数向量以根据改正数向量 V 直接计算，也可以根据直接计算，也可以根据联系数向量联系数向量 K 计算。计算。1.1.单位权方差：单位权方差：由于由于 V=P-1ATK所以所以 VTPV=KTAP-1PP-1ATK= KTNK式中，式中，N 为法方程系数矩阵。为法方程系数矩阵。VTPV还可以用闭合差向量还可以用闭合差向量W 进行计算。进行计算。将将V=P-1ATK 代入代入VTPV 中得：中得：VTPV=VTP（P-1ATK）=(AV)TK而由条件方程而由条件方程AV+W=0知：知：W= AV
26、所以有：所以有： VTPV=WTK 2. 2. 平差值函数的权倒数平差值函数的权倒数 我们知道，未知量我们知道，未知量 x 的中误差的平方的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方与单位权中误差的平方 2 成正比，与该量的成正比，与该量的权权 Px 成反比，即：成反比，即： 同样，对于平差值的函数，只要能够确定同样，对于平差值的函数，只要能够确定它的权它的权Px，根据单位权中误差，就可以计算根据单位权中误差，就可以计算出该函数的中误差。出该函数的中误差。设有平差值函数为设有平差值函数为则平差值函数的权倒数公式为则平差值函数的权倒数公式为 P -1=f T P-1 f - (AP-1f )TN
27、-1AP-1f其中：其中：P为观测值的权矩阵；为观测值的权矩阵；A为条件方程系数为条件方程系数矩阵；矩阵；N为法方程系数矩阵；为法方程系数矩阵；f 为列矩阵：为列矩阵：可见，列出平差函数式后，只要求出可见，列出平差函数式后，只要求出f 列阵的系数列阵的系数 即可由上式计算函数的权倒数。即可由上式计算函数的权倒数。【例31】（p.49)某一级小三角网如图，知A点坐标为(500.000，500.000)，AB边坐标方位角=321236”，长度S=872.562m，三角网角度观测值如下表，计算各点坐标。七、独立三角网条件平差算例Bb1 a2 S c1 c2 D c3 a1 b2 b3 a3AC1.1
28、.列条件方程列条件方程2.2. 本题有本题有2 2个未知点，需个未知点，需4 4个必要观测，实个必要观测，实际有际有9 9个观测值，故应列出个观测值，故应列出5 5个条件方程。其个条件方程。其中中3 3个图形条件，个图形条件，1 1个圆周角条件，个圆周角条件，1 1个极条个极条件。件。【解】：2. 2. 闭合差检核闭合差检核一级小三角网测角中误差应不大于5”图形条件闭合差检核：|wi|max=1.6”w限圆周角条件闭合差检核：wO=3.2”wO限极条件闭合差检核：3. 3. 列立条件方程列立条件方程 条件方程的矩阵形式为：条件方程的矩阵形式为：AV+W=0, 本例中：本例中：W=(1.01.6
29、0.63.233.1)TV=(va1vb1vc1va2vb2vc2va3vb3vc3)T4. 4. 组成法方程组成法方程法方程的组成与解算可以利用Matlab软件。打开Matlab，进入命令编辑器后，先输入常数矩阵A和W，再进行矩阵运算，得到法方程式，解法方程式得到联系数向量K和改正数向量V。注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测注意：本例中所有观测值都是等精度角度观测值，所以法方程中权矩阵为单位阵。值，所以法方程中权矩阵为单位阵。先输入先输入2个常个常数矩阵数矩阵A,W再点击workspace按钮，对这两个矩阵进行修改常数矩阵的输入组成法方程系数矩阵5.解算联系数和改正数Matlab中，函数必须使中，函数必须使用小写字母用小写字母6. 6. 精度评定精度评定直接在直接在MATLAB中计算中计算PVV：m评价：2个字作孽.10：最风光却内心最煎熬的人当然是老板有一帮子难对付的员工，有变化莫测的外部市场，还有剪不断理还乱的内部协调和管理，或许还有个别养在外面的金丝雀。
