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1、变换：变换：人们在处理和分析问题时，常常需要将问题进行转化人们在处理和分析问题时，常常需要将问题进行转化 从另一个角度进行处理分析，数学上称之为变换从另一个角度进行处理分析，数学上称之为变换。 傅里叶变换傅里叶变换,由于既能简化计算（化微分方程为代数方程，由于既能简化计算（化微分方程为代数方程，化卷积为乘积）又具有非常特殊的物理意义，具有广泛的应化卷积为乘积）又具有非常特殊的物理意义，具有广泛的应用。（如研究自动控制系统的频率的方法就是建立在这个基用。（如研究自动控制系统的频率的方法就是建立在这个基础之上的础之上的) ) 内容简介内容简介：我们从周期函数在区间我们从周期函数在区间 上的傅里叶级
2、上的傅里叶级数展开出发，讨论当周期数展开出发，讨论当周期 时它的极限形式，从而时它的极限形式，从而得到非周期函数的傅里叶积分公式，然后引入傅里叶变换得到非周期函数的傅里叶积分公式，然后引入傅里叶变换的概念，并讨论它的一些性质和简单应用。的概念，并讨论它的一些性质和简单应用。第八章第八章 傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶级数一、傅里叶级数1.1.三角形式三角形式 称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间a,b上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条件： 在a,b上或者连续，或者只有有限个第一类间断点； f（t）在a,b上只有有限个极值点。1.1 1.1 傅里叶积分公式傅里叶积分公
3、式 从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为 2.2.傅氏级数的复指数形式傅氏级数的复指数形式 在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为 即 ( (三三) )傅氏积分傅氏积分 任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的。 这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式傅里叶积分公式余弦傅氏积分公式余弦傅氏积分公式正弦傅氏积分公式正弦傅氏积分公式P113 例例 8.1 例例8.2定理定理8.2（傅氏积分定理）傅氏积分定理）若f (t)在(-，+)上
4、满足下列条件：（1）在任一有限区间满足狄利克雷条件；在任一有限区间满足狄利克雷条件；则在 的连续点t处有傅氏积分公式的三角形式：傅氏积分公式的三角形式：1.2 1.2 傅里叶变换傅里叶变换 ( (一一) )定义定义1.1.1 1.1.1 设f (t)和F()分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组傅里叶变换对，如果成立并称F()为f (t)的象函数或傅里叶变换，记为Ff(t)；称f (t)为F()的象原函数或傅里叶逆变换，记为F-1F()傅氏变换对的物理意义傅氏变换对的物理意义1. 与与 构成一个傅氏变换对，它们是由构成一个傅氏变换对，它们是由许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包许
5、多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包含含 分量；分量；2. 是是 中各频率分量的分布密度，中各频率分量的分布密度， 称为频谱密度函数称为频谱密度函数 为振幅谱为振幅谱 为相位谱为相位谱正弦、余弦傅氏变换正弦、余弦傅氏变换余弦傅氏变换余弦傅氏变换正弦傅氏变换正弦傅氏变换P115 例例8.3 8.4 第三节第三节 单位脉冲函数（单位脉冲函数（-函数）函数） （狄拉克函数）（狄拉克函数） 1.函数的定义 (1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。 (2)矩形脉冲函数的定义其中二、单位脉冲函数的性质二、单位脉冲函数的性质性质性质8.1 对于任意的连续函数 ，都有性质性质8.2 性质性质8.3
6、 是偶函数，即性质性质8.4 其中 称 为单位阶跃函数三、广义傅里叶变换三、广义傅里叶变换关于 函数的重要公式更一般的有故 与 构成傅氏变换对 例题见 P121 8.8 8.9 8.10 3.3.函数在积分变换中的作用函数在积分变换中的作用 (1)有了函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，以统一的方式来对待。 (2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。 (3)函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存
7、在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用函数而得到。这种频谱图称为离散频谱（对应周期函数离散频谱（对应周期函数，也称为线状频谱，而非周线状频谱，而非周期函数的频谱也就相应地对应着连续频谱）期函数的频谱也就相应地对应着连续频谱）( (四四) )物理意义物理意义频谱：指频率和振幅的关系图频谱：指频率和振幅的关系图 1.非正弦的周期函数的频谱第四节第四节 傅氏变换的性质傅氏变换的性质 1线性性质线性性质。 设F = ，F = ，和 为常数，则b2位移性质位移性质 该性质在无线电技术中也称为时移性质时移性质。 另：象函数的位移性质另：象函数的位移性质若 ，则 象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质
8、频移性质3.翻转性质翻转性质若 ，则 3对称性质对称性质 （P123)P123)若 ，则 4相似性质相似性质 （P125)P125) 若，则5.微分性质（导数的像函数）微分性质（导数的像函数） 若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时， ，则推论 若 （k=1,2,n）在 上连续或只有有限个可去间断点，且 =0，k=0,1,2,(n-1), 则有 像函数的微分性质（像函数的导数）像函数的微分性质（像函数的导数）P127P127若 ，则一般地，有若当 时， = ,则6.6.积分性质积分性质7.7.乘积定理乘积定理 若 ， ，则 其中 ， 均为t的实函数， 、 分别为 、 的共轭函数。 像
9、函数的积分P1288.帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（ParsevalParseval) )等式等式 （能量能量积分公式分公式） 若 ，则 该等式又称等式又称为巴塞瓦巴塞瓦等等式。 9.卷积定理卷积定理 设 ， 都满足付氏积分定理中的条， ，则 - -、常用函数傅里叶变换公式、常用函数傅里叶变换公式 二、尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式二、尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式 8.5 8.5 卷积与卷积定理卷积与卷积定理 二、卷积的性质二、卷积的性质一、卷积定义一、卷积定义 设设 与与 在在 内定义，若广义积分内定义，若广义积分对任何实数对任何实数 都收敛，则它定义了一个以都收敛，则它定义了一个以 为自变量的函为自变量的函数，称此函数为数，称此函数为 的卷积，记为的卷积，记为即即 （4）卷积定理卷积定理 设 推论推论 设设 8.6 8.6 傅氏变换的简单应用傅氏变换的简单应用应用傅氏变换求解方程的应用傅氏变换求解方程的基本思路基本思路： 对要求解的方程两端取傅氏变换，将其转化对要求解的方程两端取傅氏变换，将其转化为像函数的代数方程，由这个方程解出像函数，为像函数的代数方程，由这个方程解出像函数，然后对像函数取傅氏逆变换便得到原方程的解然后对像函数取傅氏逆变换便得到原方程的解
