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1、第二章线性方程组第二章线性方程组线性方程组的一般形式为线性方程组的一般形式为本章讨论本章讨论1)1)解的存在性解的存在性 2) 2) 解的求法解的求法 3) 3) 解的个数解的个数4) 4) 解的结构解的结构 何时无解？何时无解？) )( ( 怎样求解？怎样求解？) )( ( 解与解之间的关系解与解之间的关系 ) )( ( 有多少个解？有多少个解？) )( ( 何时有解？何时有解？方程组的求解问题方程组的求解问题: :1 1如果存在如果存在 个数个数当当方程组的方程组的 个等式个等式则称则称为该方程组的一个为该方程组的一个解解方程组的全体解构成的集合，方程组的全体解构成的集合， 称为方程组的称
2、为方程组的解集解集. .都成立都成立, ,对于方程组对于方程组基本概念：基本概念：使得使得时，时，2 2设有两个设有两个 ()()的每个解的每个解如果方程组如果方程组()()都是方程组都是方程组()()的解的解; ;同时同时都是方程组都是方程组()()的解的解, ,则称这两个方程组则称这两个方程组的每个解的每个解, ,同解同解. .方程组方程组()()元线性方程组元线性方程组()()与与3 3. .线性方程组线性方程组首先讨论：首先讨论：未知量的个数未知量的个数方程的个数方程的个数的方程组的方程组. .4 4方程组有唯一解：方程组有唯一解：当当 即当即当0 0 时时时，时，5 5一、克莱姆一、
3、克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则二元线性方程组二元线性方程组当当0 0 时时, ,方程组有唯一解：方程组有唯一解：这一结果可以推广到一般的这一结果可以推广到一般的含有含有n n个个未知量未知量n n个个方程方程的的线性方程组线性方程组. .6 6三元线性方程组三元线性方程组当当时时, ,方程组有唯一解：方程组有唯一解：7 7四元线性方程组四元线性方程组当当时时, ,方程组有唯一解：方程组有唯一解：8 89 9其中其中 定理定理2.1(2.1(克莱姆法则克莱姆法则) ) 当其系数行列式当其系数行列式对应对应后得到的行列式后得到的行列式. .有且仅有唯一解有且仅有唯一解是将系数行列式
4、是将系数行列式detAdetA线性方程组线性方程组00时时, ,地换地换为为方程组的常数项方程组的常数项中第中第 1 1 列元素列元素1010有且仅有唯一解：有且仅有唯一解：当当 时时, ,两个条件两个条件: :三个结论三个结论: :1111证证 将方程组将方程组表为矩阵形式表为矩阵形式即即A A是是n n阶方阵阶方阵. .1212由于由于故可逆，故可逆，得得由由因此因此, ,且解必为且解必为从而从而解解存在唯一存在唯一. .存在存在有解有解, ,方程组方程组(2.1)(2.1)是方程组是方程组( 2.1 )( 2.1 )的唯一解的唯一解. .1313当当 时时, ,方程组方程组(2.1)(2
5、.1)有唯一解有唯一解即即证毕证毕即即14141515例例方程组有唯一解方程组有唯一解. .方程组的唯一解为：方程组的唯一解为：解解1616常数项均为零的常数项均为零的方程方程( (. .) )所对应的所对应的当然是方程当然是方程( (. .) )的解的解称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组( (. .) )的的齐次线性方程组除零解外齐次线性方程组除零解外, ,齐次线性方程组齐次线性方程组. .是否还有其它解是否还有其它解? ?的齐次线性方程组为的齐次线性方程组为: :线性方程组线性方程组 称为称为零解零解. .1717例例 齐次线性方程组齐次线性方程组是其零解是其零解. .除零解外除零解外,
6、 ,也是其解也是其解, ,例例 齐次线性方程组齐次线性方程组其解必满足其解必满足此方程组此方程组称为称为非零解非零解只有零解只有零解. .1818定理定理. . 的系数行列式的系数行列式则它仅有零解则它仅有零解. .如果如果含有含有 个方程的个方程的元元齐次线性齐次线性方程组方程组1919证证即方程组只有零解即方程组只有零解. .由克莱姆法则由克莱姆法则, ,方程组方程组有唯一有唯一解解时时, ,是方程组是方程组( (. .) )的解，的解，且方程组只有一个解，且方程组只有一个解，故故是方程组是方程组( (. .) )的唯一解，的唯一解，2020方程组只有零解方程组只有零解方程组有非零解方程组有非零解2121例例 设齐次线性方程组设齐次线性方程组有非零解，有非零解， 求的值求的值解解或或方程组有非零解方程组有非零解2222作业作业第二版第二版: P111 : P111 题题1 1（2 2）2 2（1 1） 第三版第三版: P84 : P84 题题1 1（2 2）2 2（1 1） 2323
