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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法 第八章第八章 (Calculation of Double Integral)一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考练习三、小结与思考练习8/27/20241返回返回上页上页下页下页目录目录一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分曲顶柱体的底底为任取平面故曲顶柱体体积曲顶柱体体积为截面积截面积为截柱体的设曲顶柱体的顶顶为X型区域型区域8/27/20242返回返回上页上页下页下页目录目录同样, 若曲顶柱的底为则其体
2、积可按如下两次积分计算Y型区域型区域8/27/20243返回返回上页上页下页下页目录目录为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 8/27/20244返回返回上页上页下页下页目录目录均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于当被积函数补充说明（课本没有）：补充说明（课本没有）：8/27/20245返回返回上页上页下页下页目录目录8/27/20246返回返回上页上页下页下页目录目录其中D 是抛物线所围成的闭区
3、域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 例例3 计算8/27/20247返回返回上页上页下页下页目录目录例例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为8/27/20248返回返回上页上页下页下页目录目录二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为8/27/20249返回返回上页上页下页下页目录目录即则设设8/27/202410返回返回上页上页下页下页目录
4、目录特别地特别地, 对若 f 1 则可求得D 的面积8/27/202411返回返回上页上页下页下页目录目录思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)8/27/202412返回返回上页上页下页下页目录目录8/27/202413返回返回上页上页下页下页目录目录其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角由于故坐标计算.例例7 计算8/27/202414返回返回上页上页下页下页目录目录利用例利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公
5、式事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,利用例利用例6的结果的结果, 得得故故式成立式成立 .注注:8/27/202415返回返回上页上页下页下页目录目录被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知例例8 求球体8/27/202416返回返回上页上页下页下页目录目录内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则8/27/202417返回返回上页上页下页下页目录目录则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为8/27/202418返回返回上页上页下页下页目录目录课外练习课外练习习题习题82 1 （偶数题）（偶数题） ； 2 （奇数题）（
6、奇数题） ；3；4 ；6；7（1）（）（3）；）；8（1）（）（3)；9（2）（）（4）;10（2）；）；11（2）（）（4）思考与练习思考与练习1. 设且求8/27/202419返回返回上页上页下页下页目录目录1. 设且求提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换8/27/202420返回返回上页上页下页下页目录目录其中D 由所围成.解解: 令(如图所示)显然,2. 计算8/27/202421返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示: 积分域如图3. 交换积分顺序8/27/202422返回返回上页上页下页下页目录目录解：解：原式4. 给定的次序.改变积分8/27/202423返回返回上页上页下页下页目录目录其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.5. 计算8/27/202424
