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1、统计规律对大量分子才有意义。统计规律对大量分子才有意义。(2)对大量分子对大量分子,每个速度分量平方的统计平均值相等每个速度分量平方的统计平均值相等,即即对每个分子对每个分子:思考思考: 2.1 2.1 理想气体压强和温度理想气体压强和温度理想气体压强和温度理想气体压强和温度(Pressure and temperature of idea gases) (Pressure and temperature of idea gases) 目的目的:讨论理想气体压强、温度与分子热运动的关系。讨论理想气体压强、温度与分子热运动的关系。一、理想气体压强公式一、理想气体压强公式所有分子按速度分组所有分子
2、按速度分组, 用用vi 表示第表示第i 组组分子速度分子速度, ni为第为第i 组分子数密度组分子数密度,首首先计算第先计算第i 组分子对器壁组分子对器壁S面的碰撞面的碰撞Sxyz注意注意: 是相对于是相对于系统质心参考系的系统质心参考系的分子分子(m)与与S碰撞时碰撞时动量的变化动量的变化:分子分子对对S的的冲量冲量:在时间间隔在时间间隔t内内,与与S面发生碰撞的分子数目为面发生碰撞的分子数目为:(3)S第第i 组分子在组分子在t内对器壁内对器壁S面的总冲量为面的总冲量为:各种速度的所有分子在各种速度的所有分子在t内对器壁内对器壁S面的总冲量为面的总冲量为:因因vix0的那些的那些分子求和分
3、子求和,又由于分子的杂乱性又由于分子的杂乱性, vix0的分子的分子数应各占总数之半数应各占总数之半, 有有由动量定理由动量定理,所有分子在所有分子在t内对器壁内对器壁S面的面的冲力冲力:(4)所有分子对器壁所有分子对器壁S面的压强为面的压强为:压强公式压强公式分子平均平动动能分子平均平动动能(微观量微观量)(5)1)压强是压强是大量分子大量分子撞击器壁产生的撞击器壁产生的统计平均统计平均效果效果;2)压强公式是一个统计规律压强公式是一个统计规律;思考思考:推导压强公式的过程中推导压强公式的过程中,哪些地方用了统计假设哪些地方用了统计假设?说明说明:二、二、 与温度与温度T 的关系、温度的微观
4、意义的关系、温度的微观意义说明说明:1)上式适用于平衡态下一定质量的理想气体上式适用于平衡态下一定质量的理想气体;(6)P=nkT2)温度是大量分子热运动的集体表现温度是大量分子热运动的集体表现,具有统计意义具有统计意义;3)温度的微观意义温度的微观意义: a) 热力学温度是分子平均平动动能的量度热力学温度是分子平均平动动能的量度; b) 温度是气体分子热运动激烈程度的量度温度是气体分子热运动激烈程度的量度;思考思考: 1)如果容器内只有几个分子如果容器内只有几个分子, 能否用能否用 计算它们的平均平动动能计算它们的平均平动动能?2)把盛有气体的密封绝热容器放在作匀速直线运动把盛有气体的密封绝
5、热容器放在作匀速直线运动 的汽车上的汽车上, 则气体的温度与汽车静止时是否相同则气体的温度与汽车静止时是否相同? 若汽车突然刹车若汽车突然刹车,容器内的温度是否变化容器内的温度是否变化? 2.2 2.2 能量均分定理能量均分定理能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能理想气体内能理想气体内能 (Equipartition theorem and internal energy of ideal gases) (Equipartition theorem and internal energy of ideal gases)一、自由度一、自由度(degree of freedom) i
6、1.决定一个物体空间位置的独立坐标数称为自由度决定一个物体空间位置的独立坐标数称为自由度质点质点:(x,y,z) i=3 刚体刚体:质心质心(x,y,z) 轴的取向轴的取向(,)中任意二个中任意二个 绕轴转动绕轴转动()平动自由度平动自由度 t=3转动自由度转动自由度 r=3i=t+r=6(7)目的目的:讨论分子热运动能量如何分配和理想气体内能的计算。讨论分子热运动能量如何分配和理想气体内能的计算。分子热运动的能量分子热运动的能量:分子的平动、转动和振动能量。分子的平动、转动和振动能量。xyz2)双原子分子双原子分子 (CO,H2,O2,N2)看成一线段看成一线段 刚性双原子分子刚性双原子分子
7、: i=5 (x,y,z), (,)中任中任意二个意二个3)多原子分子多原子分子(H2O,CO2,NH3,CH4):i=6当温度很高时分子为非刚性分子当温度很高时分子为非刚性分子(又叫弹性分子又叫弹性分子),要加振动自由度要加振动自由度s, s=n(n-1)/2 其中其中n为原子个数为原子个数i = t + r(8)自由度公式自由度公式: i = t + r + s刚性多原子分子看成刚体刚性多原子分子看成刚体: 2.气体分子的自由度气体分子的自由度:i=3 (x,y,z)1)单原子分子单原子分子(He,Ne)看成质点看成质点刚性分子自由度刚性分子自由度: 二、能量按自由度均分原理二、能量按自由
8、度均分原理(9)能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理: 在温度为在温度为T 的平衡态下的平衡态下,气气体分子的能量按自由度均分体分子的能量按自由度均分, 每个自由度的平均能每个自由度的平均能量为量为kT/2 分子平均平动动能分子平均平动动能:分子在每一个平动自由度上所具有的动能分子在每一个平动自由度上所具有的动能:分子在每一个转动自由度上所具有的动能同样如此分子在每一个转动自由度上所具有的动能同样如此;思考思考:1)对个别分子对个别分子, 能均分原理是否成立能均分原理是否成立? 2)大量分子的能量通过什么过程实现均分的大量分子的能量通过什么过程实现均分的?kT/2:理想气体处于平衡态时分子
9、每个自由度上平均理想气体处于平衡态时分子每个自由度上平均 能量。能量。3kT/2:分子平均平动动能。分子平均平动动能。ikT/2:刚性分子平均动能刚性分子平均动能(不包括振动能量不包括振动能量)。三、理想气体内能三、理想气体内能气体的内能气体的内能:气体分子热运动能量气体分子热运动能量 + 分子之间的势能分子之间的势能M kg理想气体理想气体(不计分子之间的势能不计分子之间的势能)内能内能:M kg理想气体理想气体(刚性分子刚性分子)内能内能:(10)每个分子热运动的平均能量每个分子热运动的平均能量说明说明 1)理想气体的内能只是温度理想气体的内能只是温度的单值函数的单值函数 2)内能的变化只
10、与始末状态有关内能的变化只与始末状态有关,而与过程无关。而与过程无关。 3)内能是内能是微观量的统计平均值微观量的统计平均值 (11)例例1: 储有氧气的容器以速率储有氧气的容器以速率v=100m/s运动运动,假设该容器假设该容器 突然停止突然停止,全部定向运动的动能变为气体分子热运全部定向运动的动能变为气体分子热运 动的动能动的动能,求求容器中氧气的温度将会上升多少容器中氧气的温度将会上升多少?解解:容器中氧气定向动能容器中氧气定向动能:容器中氧气容器中氧气(理想气体理想气体,刚性分子刚性分子)内能变化内能变化:例例2:容器内某理想气体的温度容器内某理想气体的温度T=273K,压强压强P=1
11、01.3Pa,密度密度=1.25g/m3, 求求:1)气体的摩尔质量气体的摩尔质量,是何种气体是何种气体?2)气体分子运动的方均根速率气体分子运动的方均根速率?3)气体分子的平均平动动能和转动动能气体分子的平均平动动能和转动动能?4)单位体积内气体分子的总平动动能单位体积内气体分子的总平动动能?5)0.3mol该气体的内能该气体的内能?解解: 1)由由故该气体是故该气体是N2或或CO(12)2)由温度公式由温度公式3)气体分子的平均平动动能气体分子的平均平动动能:气体分子的平均转动动能气体分子的平均转动动能:(13)4)设设Et为单位体积内气体分子的总平动动能为单位体积内气体分子的总平动动能5
12、)0.3mol该气体的内能该气体的内能:(14)解解: (15)例例3: 二个容器中分别贮有氦气和氧气二个容器中分别贮有氦气和氧气,己知氦气的压己知氦气的压强是氧气的强是氧气的1/2,氦气的容积是氧气的氦气的容积是氧气的2倍倍,求求氦气内能氦气内能是氧气的多少倍是氧气的多少倍?W W兰媚尔实验兰媚尔实验(装置置于真空之中装置置于真空之中)P分子源分子源SWW 狭缝屏狭缝屏淀积屏淀积屏分子筛分子筛 2.3 2.3 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律(Maxwell speed distribution law of gases)(Maxwell sp
13、eed distribution law of gases)(16)目的目的: 平衡态下平衡态下,理想气体分子按速率是如何分布的理想气体分子按速率是如何分布的?一、分子按速率分布的实验测定一、分子按速率分布的实验测定即只有速率为即只有速率为:的分子才能通过。的分子才能通过。改变改变 或或 等可让不同速率的分子通过等可让不同速率的分子通过;原理原理: 速率筛每旋转一周速率筛每旋转一周,分子通过分子通过W,到达屏上到达屏上,但不但不是所有速率的分子都能通过分子筛的是所有速率的分子都能通过分子筛的, 只有满足关系只有满足关系:由于由于W、W总有一定的宽度总有一定的宽度, 相当于相当于 有一定的宽度有
14、一定的宽度,因此到达屏上的分子的速率也有一速率区间因此到达屏上的分子的速率也有一速率区间(vv+v),实验时改变分子筛的角速度实验时改变分子筛的角速度 , 就可以根据淀积屏上的就可以根据淀积屏上的分子数目分子数目, 测出不同速率间隔内测出不同速率间隔内(v v+v)的分子数占的分子数占分子总数的百分比。分子总数的百分比。(17)某气体分子处于某气体分子处于0平衡态时平衡态时速率区间速率区间(m/s) 分子数占分子总数的百分比分子数占分子总数的百分比 N/N (18)小于小于 100 1.4100150 2.8150200 5.6200250 7.2250300 9.0300350 10.235
15、0400 11.5400450 10.8450500 9.6500550 8.4550600 7.0600650 5.9650700 4.7 700750 3.9750以上以上 2.0实验数据的图示化实验数据的图示化从图中可以看出从图中可以看出:1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占分子每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占分子 总数的百分比总数的百分比 N/N 2)所有小面积的和恒等于一所有小面积的和恒等于一,即即N/N=1(叫归一化叫归一化)3)当速率区间当速率区间v0时时,小矩形面积的端点连成一函数小矩形面积的端点连成一函数 曲线曲线(图中红线图中红线) f (v), 称称f (
16、v)为分子速率分布函数为分子速率分布函数。(19) N/N二、速率分布定律二、速率分布定律一定量气体处于平衡态一定量气体处于平衡态(总分子数总分子数N, 温度温度T,分子质量分子质量m)速率在速率在 区间的分子数区间的分子数速率在速率在 区间分子数占分子总数区间分子数占分子总数的百分比的百分比(又叫区间分子数的比率又叫区间分子数的比率)。速率分布定律速率分布定律(20)1.速率分布定律速率分布定律 N/N2.速率分布函数速率分布函数: f (v)物理意义物理意义: 速率在速率在 v 附近的单位速率区间的分子数占附近的单位速率区间的分子数占 分子总数的百分比分子总数的百分比。3.速率分布函数必须
17、满足归一化条件速率分布函数必须满足归一化条件:4.用处用处:a)己知己知 f (v)可求任一速率区间的分子数的比率可求任一速率区间的分子数的比率如区间较小如区间较小(300m/s305m/s):如区间较大如区间较大(v1v2):(21)b)己知己知f (v) 求统计速率求统计速率三、麦克斯韦速率分布定律三、麦克斯韦速率分布定律(理想气体理想气体,平衡态平衡态)气体分子分布在区间气体分子分布在区间vv+dv的的分子数的比率为分子数的比率为:2. Maxwell速率分布函数速率分布函数(22)麦克斯韦麦克斯韦(MaxwellJ.C., 1831-1879)英英国物理学家国物理学家,数学家数学家1.
18、Maxwell速率分布定律速率分布定律(参考书中参考书中P53-55)f (v)vo1)最可几速率最可几速率(最概然速率最概然速率) vp (Most probable speed)定义定义: f (v)的极大值对应的速率的极大值对应的速率 称为最可几速率称为最可几速率意义意义:分布在分布在vp附近的分子数占分子总数的比率最大附近的分子数占分子总数的比率最大2)任一速率区间曲线下面积任一速率区间曲线下面积 f (v)ov3)曲线下总面积曲线下总面积(23)dv3.速率分布曲线速率分布曲线四、求三个统计速率四、求三个统计速率1.求求得得: f (v)vo f (v)voT 相相同同(24)相同相
19、同2.求平均速率求平均速率:vv+dv 区间分子数为区间分子数为dN个个 ,因为因为dv很小很小,dN个个分子速率均视为分子速率均视为vdN个分子速率之和个分子速率之和: vdN所有分子速率之和所有分子速率之和:平均速率平均速率:dN=Nf(v)dv(25)3.求方均根速率求方均根速率:所有分子速率平方之和所有分子速率平方之和:(26)研究分子速率分布用研究分子速率分布用研究分子平均平动动能用研究分子平均平动动能用研究分子平均自由程用研究分子平均自由程用五五*、一定量气体处于平衡态时分子按能量分布定律、一定量气体处于平衡态时分子按能量分布定律代入上式代入上式(27)意义意义:分子动能介于分子动
20、能介于EkEk+dEk区间的分子数比率区间的分子数比率例例4: 试试求求0时氧气时氧气 ,氢气的方均根速率、平均速率、氢气的方均根速率、平均速率、 最可几速率最可几速率 。解解: (28)例例5:如图所示如图所示,两条曲线分别为氢和氧在相同温度下两条曲线分别为氢和氧在相同温度下的麦氏速率分布曲线。的麦氏速率分布曲线。求求:1)哪条代表氢哪条代表氢,哪条代表氧哪条代表氧? 2)氢分子的最可几速率氢分子的最可几速率,3)氧分子的方均根速率氧分子的方均根速率,4)氧分子最可几速率附近单氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比位速率区间内的分子数占氧分子总数的百分比? f (v)
21、v (ms-1)o100021解解: 1)最可几速率最可几速率T相同时相同时,有有vp,Hvp,O曲线曲线1代表氢代表氢2)由图得由图得 vp,O1000m/s(29)3)4)由图可知由图可知:氧分子最可几速率氧分子最可几速率附近单位速率区间内的分子数附近单位速率区间内的分子数占氧分子总数的占氧分子总数的(30) f (v)v (ms-1)o100021例例6: 写出写出v1v2速率区间分子平均速率速率区间分子平均速率该区间分子速率之和该区间分子速率之和:该区间分子数该区间分子数:(31)解解:思考思考: 的物理意义的物理意义?思路思路:1)明确速率分布函数明确速率分布函数 的物理意义的物理意
22、义;2)观察被积函数的物理意义和积分区间观察被积函数的物理意义和积分区间;3)注意这是在平衡态下对大量分子的统计规律。注意这是在平衡态下对大量分子的统计规律。例例7: 有有N个粒子组成的系统的速率分布为个粒子组成的系统的速率分布为 dN=Cdv (0vv0 , C为恒量为恒量) dN=0 (v0 v )求求(1)作速率分布曲线作速率分布曲线, (2)由由N 和和v0定出定出C (3)粒子的平均速率和方均根速率。粒子的平均速率和方均根速率。解解: (1)由题意可知速率分布函数为由题意可知速率分布函数为( 0vv0 )( v0v )C(32)(2)由归一化条件由归一化条件:(3)同理可得同理可得(
23、33)2.4 2.4 气体分子平均自由程气体分子平均自由程气体分子平均自由程气体分子平均自由程( (自学自学自学自学) ) (Mean free path of gas molecular) (Mean free path of gas molecular)一、平均自由程一、平均自由程1.自由程自由程:任意二次连续碰撞之间分子自由移动的距离。任意二次连续碰撞之间分子自由移动的距离。2.平均自由程平均自由程:二次连续碰撞之间分子自由运动的平均二次连续碰撞之间分子自由运动的平均 路程路程 3.平均碰撞次数平均碰撞次数:每秒内分子与其它分子碰撞的平均次数每秒内分子与其它分子碰撞的平均次数二、平均碰撞
24、次数、平均自由程公式二、平均碰撞次数、平均自由程公式1.平均碰撞次数公式平均碰撞次数公式:dd分子直径为分子直径为d,平均速度平均速度设其它分子不动设其它分子不动,1s内该分子与其它分子碰撞内该分子与其它分子碰撞次数次数 =以以d为半径为半径 为高的园柱体内分子数为高的园柱体内分子数(34)该体积内分子数该体积内分子数:考虑分子在热运动加以修正考虑分子在热运动加以修正:碰撞载面碰撞载面:2.分子有效直径分子有效直径: 标准状态下标准状态下,空气分子空气分子:(35)3.分子平均自由程分子平均自由程d 0 r f排斥排斥吸引吸引r0讨论讨论:低压下低压下:容器线度容器线度(1m)(容器线度容器线
25、度)(36)平均自由程取平均自由程取: 气体动理论气体动理论(The Kinetic Theory of Gases) 基本要求基本要求 1.了解气体分子热运动图像了解气体分子热运动图像,建立理想气体微观模型。建立理想气体微观模型。 了解从提出模型了解从提出模型, 进行统计平均进行统计平均, 建立宏观量与微观建立宏观量与微观 量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。2.熟练掌握理想气体状态方程。熟练掌握理想气体状态方程。3.能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概 念。了解系统的宏观性质是微观运动的
26、统计表现。念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。 掌握压强公式、温度公式的推导过程及其统计规律掌握压强公式、温度公式的推导过程及其统计规律 的意义。的意义。(37)从微观观点出发从微观观点出发,在模型假设基础上在模型假设基础上,运用统计方法研运用统计方法研究热力学系统宏观量与微观量的平均值之间的关系。究热力学系统宏观量与微观量的平均值之间的关系。4.通过理想气体的刚性分子模型通过理想气体的刚性分子模型,理解分子热运动能理解分子热运动能 量的统计规律量的统计规律能量按自由度均分定理。熟练掌能量按自由度均分定理。熟练掌 握分子平均平动动能、平均转动动能和理想气体握分子平均平动动能、平均转动动
27、能和理想气体 内能的计算。内能的计算。5.理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率 分布曲线的物理意义。掌握气体分子热运动的算分布曲线的物理意义。掌握气体分子热运动的算 术平均速率、最可几速率和方均根速率的定义、术平均速率、最可几速率和方均根速率的定义、 公式和有关计算。公式和有关计算。6.了解平均自由程和平均碰撞次数的概念、公式和了解平均自由程和平均碰撞次数的概念、公式和 计算。计算。(38)气体分子热运动描述气体分子热运动描述状态参量状态参量(P,V,T)速率分布律速率分布律:归一化归一化:宏观表述宏观表述微观意义微观意义理想气体方程理想气体方程:温度公式温度公式:压强公式压强公式:理想气体内能公式理想气体内能公式:能均分原理能均分原理:分子每个自由度能量分子每个自由度能量麦氏速率分布函数麦氏速率分布函数:三种速率三种速率平均速率平均速率:方均根速率方均根速率:最概然速率最概然速率:
