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1、中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 ( (第七节第七节) )推广推广第六节第六节 第十二节第十二节 第六节 微分中值定理一、罗尔一、罗尔( (Rolle) )定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日( (Lagrange) )中值定理中值定理三、柯西三、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理1.引理（费马引理（费马( (Fermat) )定理）定理） 2. 罗尔（罗尔（Rolle）定理定理
2、则则在在 (a,b) 内内至至少少存存在在一一点点 ，使使 f ( ) =0 .设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b)物理解释物理解释: :变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何解释几何解释: :3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：、罗尔定理还指出了这样的一个事实：若若 f (x) 可导，则可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，的任何两个实根之间，至少有至少有 f (x) =0 的一个实根的一个实根.例例2 2 不不求
3、求导导数数, 判判断断函函数数 f(x) = (x 1) (x 2) (x 3)的导数的导数f (x)有几个零点及这些零点所在的范围有几个零点及这些零点所在的范围.4. 注意注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满若罗尔定理的三个条件中有一个不满足足,其结论其结论可能不成立可能不成立.例如例如2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有即若有一个不满足一个不满足,其结论也其结论也可能成立可能成立.例如例如,例例3 3例例4 4说明说明: :证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .关键技巧关键
4、技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数根据题意会知道如何构造辅助函数.若若希望用希望用Rolle定理证明方程定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，根的存在性，则构造的辅助函数则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式应满足关系式F (x) = f(x) 及及Rolle定理条件定理条件.例例5 5例例6 6二、二、拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ( )(b a) ( (a,b) .Lagrange 中值定理：中值定理： 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区
5、间 a,b上连上连续续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.作辅助函数作辅助函数证明：证明：拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式几何解释几何解释:例例1增量增量 y 的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为拉格朗日中值定理也称为微分中值定理微分中值定理两个推论两个推论:(1) 设设 f (x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x)=0，则则 f(x)=C.(2) 设设 f (x) , ,g(x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x)
6、 =g (x) ， 则则 f(x)=g(x) C.拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用: 1、用、用 Lagrange 中值定理证明等式：中值定理证明等式：例例2 2说明说明欲欲证证 时时, , 只需证在只需证在 I 上上练习：练习：2、用、用 Lagrange 中值定理证明不等式：中值定理证明不等式：Step1 找出适当的函数找出适当的函数 f (x) 及区间及区间,Step2 验证验证 f (x) 满足满足Lagrange 中值定理条中值定理条件件,Step3 对对 f ( ) 作适当放大或缩小，推出所作适当放大或缩小，推出所要证的结果要证的结果.例例4 4例例3 3三、柯西三、柯
7、西(Cauchy)中值定理中值定理则在则在 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理 设函数设函数 f (x)、 g (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连上连续续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导且且 g (x) 0 .证证 作辅助函数作辅助函数几何解释几何解释:注意注意: :弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率Lagrange 中值定理是中值定理是Cauchy 中值定理中值定理 的特例的特例.思考思考: : 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上
8、面两式相比即得结论. . 例例分析分析: 结论可变形为结论可变形为例例证证四、小结四、小结1. 1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理费马引理费马引理中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述: P1252. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数中值定理的数学符号简洁表述中值定理的数学符号简洁表述: P1251. 填空题
9、填空题思考与练习思考与练习 函数函数在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值练练 习习 题题柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家, 他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程, 无穷小分析概论无穷小分析概论, 微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等, 有思想有创建有思想有创建, 响广泛而深远响广泛而深远 .对数学的影对数学的影他是经典分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一,
10、 他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文一生发表论文800余篇余篇, 著书著书 7 本本 , 例例3 3证证由零点定理由零点定理矛盾矛盾,即即 为方程小于为方程小于1的正实根的正实根.例例4 4证证由由Rolle定理知定理知说明说明: : 证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .推广推广:例例6 6（即（即例例5 5）设设欲欲证证:使使只要证只要证亦即亦即作作辅助函数辅助函数验证验证在在上上满足满足罗尔定理条件罗尔定理条件.
11、提示提示:证：证： 不妨设不妨设有有例例 设设 , 证明对任意证明对任意有有例例 设设 , 证明对任意证明对任意题设条件题设条件可减弱为可减弱为例例4 4证证由上式得由上式得练习：练习：试证至少存在一点试证至少存在一点 ，使，使解解 令令则则 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条上满足罗尔中值定理条件件,使使因此存在因此存在提示提示: 由由结论可知结论可知, 只需证只需证即即验证验证在在上上满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件.设设且在且在内内可导可导, 证明至少证明至少存存在一点在一点使使2. 设设证：证： 设辅助函数设辅助函数显然显然在在 0,1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,因此至少存在因此至少存在使得使得求证存在求证存在使使3. 设设 f (x) 在在 0,1 连续连续, 在在 (0,1) 可导可导, 且且即即证：证： 不妨设不妨设有有4. 设设 , 证明对任意证明对任意 5. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.解解不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可导可导的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.
