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1、线性代数下页结束返回第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念2 矩阵的线性运算、乘法和转置运算下页线性代数下页结束返回第二章第二章 矩阵矩阵本章要求本章要求 掌握矩掌握矩阵的运算，了解方的运算，了解方阵的的幂、方、方阵乘乘积的的行列式；行列式；了解逆矩了解逆矩阵的概念，掌握逆矩的概念，掌握逆矩阵的性的性质及矩及矩阵可逆的充要条件，掌握求逆矩可逆的充要条件，掌握求逆矩阵的方法伴随矩的方法伴随矩阵求逆及初等求逆及初等变换求逆；求逆；掌握矩掌握矩阵的初等的初等变换和求矩和求矩阵的秩的方法的秩的方法.本章重点本章重点 用初等用初等变换求逆矩求逆矩阵及求矩及求矩阵的秩的方法的秩的方法.下页线性代数下页结束返
2、回在某些问题中，存在假设干个具有一样长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm(a11a12a1nb1)(a21a22a2nb2)(am1am2amnbm)这些有序数些有序数组可以构成一个表可以构成一个表a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm这个表就称个表就称为矩矩阵.1 矩阵的概念下页线性代数下页结束返回其中其中 aij 称称为矩矩阵的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的
3、元素. 普通情况下，我普通情况下，我们用大写字母用大写字母 A，B，C 等表示矩等表示矩阵.mn矩矩阵A简记为 A(aij)mn 或或记作作 Amn .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn定定义1 由由 mn 个个数数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成一个排成一个 m 行行 n 列列的矩形表称的矩形表称为一个一个 mn 矩矩阵，记作作下页线性代数下页结束返回零矩零矩阵 一切元素均一切元素均为0的矩的矩阵称称为零矩零矩阵，记为 O .行矩行矩阵与列矩与列矩阵 只需一行的矩只需一行的矩阵称称为行矩行矩阵，只需一列的矩，只需一列的矩阵称称为列
4、矩列矩阵.常用小常用小写黑体字母写黑体字母 a，b，x，y 等表示等表示.例如例如a=(a1 a 2 an)， b1b2bm b =.负矩阵负矩阵-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn称矩阵称矩阵为A A的的负矩矩阵, ,记作作 A. A.下页线性代数下页结束返回b11b21 bn10b22bn200bnnB=.A=.a11 a12 a1n0a22a2n00ann如下方式的n阶矩阵称为上三角形矩阵.三角形矩三角形矩阵如下方式的n阶矩阵称为下三角形矩阵.方方阵 假假设矩矩阵 A 的行数与列数都等于的行数与列数都等于 n，那么称，那么称 A 为 n
5、 阶矩矩阵，或称，或称为 n 阶方方阵.下页线性代数下页结束返回a110 00a22000annA= .对角矩角矩阵如下方式的n阶矩阵称为对角矩阵.对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,ann).单位矩位矩阵如下方式的n阶矩阵称为单位矩阵，记为En或E.100010001E = . 定定义2 矩矩阵相相等等：设A(aij)，B(bij)为同同阶矩矩阵，假假设aijbij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)，那那么么称称矩矩阵A与与矩矩阵B 相相等等，记作作AB .下页线性代数下页结束返回第二节第二节 矩阵的线性运算、乘法和转置运算矩阵的线性运算、乘法和转置运算四、转置矩阵
6、及对称方阵四、转置矩阵及对称方阵一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 五、方阵的行列式五、方阵的行列式下页线性代数下页结束返回一、矩阵的加法一、矩阵的加法定义1设A与B为两个mn矩阵ABa11+b11 a12+b12 a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn. .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=， A与与B对应位置元素相加得到的位置元素相加得到的mn矩矩
7、阵称称为矩矩阵A与与B的和，的和，记为AB.即即C=A+B .下页线性代数下页结束返回例1设357220430123A= ，132021570648B = ，那么357220430123A+B=132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+848924191007611.矩矩阵阵的的加加法法：设设A (aij)m n与与B (bij)m n，那那么么A+B= (aij+bij)m n。下页线性代数下页结束返回 设设A,B,CA,B,C都都是是m m n n矩矩阵阵. .容容易易证证明明，矩矩阵阵的的加加法法满满足足如如下下运运算规律：算规律：
8、1 1交交换律：律： A+B=B+A; A+B=B+A;2结合律：合律：(A+B)+C=A+(B+C); 3A+O=A，其中，其中O是与是与A同型的零矩同型的零矩阵; 矩矩阵的减法可定的减法可定义为: : 显然：假然：假设A=B，那么，那么A+C=B+C，A-C=B-C； 假假设A+C=B+C，那么，那么A=B.4A+(-A)=O，其中，其中O是与是与A同型的零矩同型的零矩阵. 下页线性代数下页结束返回a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=，定义2设A(aij)为mn矩阵那那么么以以数数k乘乘矩矩阵A的的每每一一个个元元素素所所得得到到的的mn矩矩阵称称为数
9、数k与矩与矩阵A的的积，记为kA.即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=. .二、数与矩阵的数法二、数与矩阵的数法下页线性代数下页结束返回矩矩 阵阵 的的 数数 乘乘 ： 设设 A (aij)m n ， 那那 么么kA=(kaij)m n .例2设357220430123A= ，那么3A357220430123 3333537323230343330313233 915216601290369 . .下页线性代数下页结束返回(5)k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.设A，B，C，O
10、都是mn矩阵，k，l为常数，那么矩矩阵数乘的性数乘的性质：另外另外, ,易得易得 0 0 A=O .A=O .性性质(1)-(8)，称，称为矩矩阵线性运算的性运算的8条性条性质，须熟熟记.下页线性代数下页结束返回例3设357220430123A= ，132021570648B = ，求3A-2B . 解：3A-2B 357220430123 3132021570648-22640421014012816-915216601290369 . .791762-22-50-9-2-79-215-621-46-06-40-212-109-140-03-126-89-16 下页线性代数下页结束返回例4知
11、357220430123A= ，132021570648B = ，且且A+2X=B，求，求X。 解：解：A+2X+(-A)=B+(-A) ；两；两边加加A 的的负矩矩阵A+(-A) +2X =B+(-A) ；交；交换律律O+2X =B-A ；性；性质4A+(-A) +2X =B-A ；商定减法；商定减法2X =B-A ；性；性质3*2X = *(B-A) ；数乘运算；数乘运算1X = *(B-A) ；恒等；恒等变换X = *(B-A) ；性；性质8下页线性代数下页结束返回从而得从而得 X = *(B-A)例4知357220430123A= ，132021570648B = ，且且A+2X=B，
12、求，求X。 阐明：明：实践运算践运算时，普通，普通给出主要步出主要步骤即可，但即可，但应留意与数的运算的区留意与数的运算的区别。解：解：下页线性代数下页结束返回定义3设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构构成成的的mn矩矩阵C 称称为矩矩阵 A 与与矩矩阵 B 的的积，记为CAB . 那么由元素那么由元素 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=，c11 c12 c1n c21 c22 c2
13、n cm1 cm2 cmnAB=. .即即三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 下页线性代数下页结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnai1b1jai2b2jaisbsj.(ai1ai2ais)b1jb2jbsj 注：注： A的列数等于的列数等于B的行数，的行数，AB才有意才有意义; C的行数等于的行数等于A的行数，列数等于的
14、行数，列数等于B的列数的列数. 因此，cij可表示为A的第i行与B的第j列的乘积.矩阵的乘法矩阵的乘法: cij下页线性代数下页结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn矩阵的乘法矩阵的乘法: 下页(i1,2,m).1先行后列法先行后列法b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsn(ai1ai2a
15、is)=( )ci1ci2cin线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB=-6-781先行后列法先行后列法线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB=-6-78-30-31先行后列法先行后列法线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB=-6-78-30-9-7-351先行后列法先行后列法下页线性代数下页
16、结束返回 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn矩阵的乘法矩阵的乘法: 下页a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb1jb2jbsj2先列后行法先列后行法(j1,2,n).c1jc2jcmj线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：23
17、1-2311-2-32-10AB=5-382先列后行法先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB=5-38 -70-72先列后行法先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：231-2311-2-32-10AB=5-38 -70-7-6-9-32先列后行法先列后行法线性代数下页结束返回B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA=4-983 解：解：23
18、1-2311-2-32-10AB=-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法下页线性代数下页结束返回例6设 A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB=4-2-214 2-6-3 解：解：-32 -16168BA=4-2-214 2-6-30 000B = ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA=4-983. .下页线性代数下页结束返回例6设 A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB= 解：解：-32 -16168，BA=0 000B =
19、 ，求AB及BA . A= ，例5设231-2311-2-32-10 解：解：AB -6-78-30-9-7-35, BA=4-983. .显然，然，1)1)矩矩阵乘法普通不乘法普通不满足交足交换律，即律，即ABABBA ;BA ; 2) 2)两个非零矩两个非零矩阵相乘，乘相乘，乘积能能够是零矩是零矩阵， 但不能从但不能从AB=OAB=O，推出，推出A=OA=O或或B=O .B=O .下页线性代数下页结束返回1110例7设 A= ，B= ，求AB及BA . 2110 解：解：11102110AB=311021101110BA=3110显然AB=BA.假设两矩阵A与B相乘，有AB=BA，那么称矩
20、阵A与矩阵B可交换.问题： 与可交与可交换的怎的怎样得到？得到？下页线性代数下页结束返回显然然AC=BCAC=BC，但，但A AB .B .矩矩阵乘法不乘法不满足消去律足消去律. .例例8 对于恣意矩于恣意矩阵,及相及相应的的单位矩位矩阵有：有：，.下页线性代数下页结束返回例例10.10.100000001设A=那么AA=100000001100000001100000001= A显然然AA=A，但，但AE，A O . 下页线性代数下页结束返回a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bmx1x2xn a
21、11 a12 a1na21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 例例11. 11. 线性性方方程程组的的矩矩阵表表示示矩矩阵方方程程简记为： AX=B .x1x2xn a11 a12 a1na21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，其中，A=，X=，B=下页线性代数下页结束返回应留意的留意的问题： (1) ABBA ； (3) AB=OA=O或或B=O ；/ (2)AC=BCA=B；/ 矩阵乘法的性质：矩阵乘法的性质：方方阵的的幂： 对于方于方阵A及自然数及自然数k Ak=A A A (k个个A相乘相乘)，称称为方方阵A的的k次次幂. 方方阵的的幂有以下性有
22、以下性质： (1)ArAs=Ar+s； (2) (Ar)s=Ars . (4) AA=AA=E或或A=O ./ (1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).问题：(A+B)2=?下页线性代数下页结束返回定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即假设a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =那么. .例如，设x=(x1x2xn)，y=(y1y2yn)，那么(y1y2yn
23、)xTyx1x2xn x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn . .四、转置矩阵及对称方阵四、转置矩阵及对称方阵显然，然，T T. .下页线性代数下页结束返回转置矩置矩阵有以下性有以下性质： (1)(AT)T=A； (2)(A+B)T=AT+BT； (3)(kA)T=kAT；a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =那么. .定义4将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即假设四、转置矩阵及对称方阵四、转置矩阵及对称方阵(4)
24、(AB)T=BTAT.下页线性代数下页结束返回定义5设A为n阶方阵，假设AT=A，那么称A为对称矩阵，如果AT=-A，那么称A为反对称矩阵。分分别是三是三阶对称矩称矩阵和三和三阶反反对称矩称矩阵. .显然：然：A为对称矩称矩阵的充分必要条件是的充分必要条件是aij=aji ; A为反反对称矩称矩阵的充分必要条件是的充分必要条件是 aij=-aji .如：如：下页线性代数下页结束返回定定义6 设A是是n阶方方阵，由，由A的元素构成的的元素构成的n阶行列式行列式称称为方方阵A的行列式，的行列式，记为|A|或或det A .性性质：设A、B为n阶方方阵，k为数，那么数，那么(1) |A|=|AT|;(3) |AB|=|A|B| .(2) |kA|=kn|A|;五、方阵的行列式五、方阵的行列式显然，然， |E|=1 . |E|=1 .普通地，假普通地，假设A1,A2,Ak都是都是n阶方方阵，那么，那么 显然然 下页线性代数下页结束返回例例11设设 求求解解: 由于由于由公式由公式 那那么么假假设先求得先求得 同同样 下页线性代数下页结束返回例例12设设 A，B均为四阶方阵，且均为四阶方阵，且 . 计算计算 .解解 由方由方阵的行列式的运算的行列式的运算规律，律， 下页线性代数下页结束返回4-16218练习练习下页线性代数下页结束返回 作业：69页23434551终了
