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1、9-69-6 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移1.1.1.1.有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移定义：电位移矢量定义：电位移矢量有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。于该面包围的自由电荷的代数和。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移代入得代入得同时描述电场和电介质极化的复合矢量
2、。同时描述电场和电介质极化的复合矢量。 电位移线与电场线电位移线与电场线电位移线与电场线电位移线与电场线性质不同。性质不同。 电位移矢量电位移矢量电位移矢量电位移矢量 +电场线电场线电位移线电位移线有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。）根
3、据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。2. 2. 2. 2. 三矢量之间关系三矢量之间关系三矢量之间关系三矢量之间关系三矢量间关系三矢量间关系三矢量间关系三矢量间关系例例1. 一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径为，外筒半径为R2，内外筒间充满相对介电常数为，内外筒间充满相对介电常数为 r的油，在的油，在内外筒间加内外筒间加上电压上电压U(外筒为正极），求电场及束缚
4、电荷分布。外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。解：解：根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和电位移矢量均应有柱对称性。电位移矢量均应有柱对称性。设内圆筒单位长度带电为设内圆筒单位长度带电为 ，以，以r为底半径、为底半径、l为高作一为高作一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移由电位移与电场的关系，知由电位移与电场的关系，知内外筒电势差内外筒电势差代入得到电场的分布为：代入得到电场的分布为：沿半径向里沿半径向里有电介质时
5、的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移由由得电极化强度矢量的分布得电极化强度矢量的分布沿半径向里沿半径向里由由得束缚电荷的分布得束缚电荷的分布束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移例例2. 一平板电容器一平板电容器板间为真空时板间为真空时，两极板上所带电荷，两极板上所带电荷的面密度分别为的面密度分别为+ 和和- ，电压，电压U0=200V。撤去充电。撤去充电电源，在板间按图示充以三种介质，介质电
6、源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一半充满一半空间，介质空间，介质2和和3的厚度相同。求介质表面的束缚电荷。的厚度相同。求介质表面的束缚电荷。（忽略边缘效应）（忽略边缘效应）解：解：忽略边缘效应，板间各忽略边缘效应，板间各处处 、 均垂直于板面均垂直于板面,且且在同一介质中相同。在同一介质中相同。 以以 1、 2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密度，分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密度， 表示各介质中的电场和电位移。表示各介质中的电场和电位移。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移电介质中高斯定理电介质中高斯定理
7、分别考虑三种介质：分别考虑三种介质：介质介质1介质介质2介质介质3 在在各各电电介介质质中中作作圆圆柱柱形形高高斯斯面面，两两底底面面平平行行于于极极板板 ， 上上 底底 在在 上上 极极 板板 内内 。 侧面、上底面电场电位移侧面、上底面电场电位移通量均为零。通量均为零。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移可解得可解得由电场与电位移关系得：由电场与电位移关系得：平衡时导体是等势体平衡时导体是等势体电荷守恒电荷守恒有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移由由得
8、束缚电荷的分布得束缚电荷的分布上负下正上负下正上负下正上负下正上负下正上负下正有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移例题例题9-6 一半径为一半径为R的金属球，带有电荷的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀浸埋在均匀“无限大无限大”电介质（电容率为电介质（电容率为），求球外任一点），求球外任一点P的场强的场强及极化电荷分布。及极化电荷分布。解解: 根据金属球是等势体，而根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对且介质又以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高球对称性，用
9、有电介质时的高斯定理来。斯定理来。 如图所示，过如图所示，过P点作一半点作一半径为径为r并与金属球同心的闭合并与金属球同心的闭合球面球面S，由高斯定理知，由高斯定理知RQ0rPS 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移所以所以写成矢量式为写成矢量式为, 所以离球心所以离球心r 处处P点的场强为点的场强为因因有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移 结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的质后，
10、其场强减弱到真空时的1/r倍倍, 可求出电极化强可求出电极化强度为度为电极化强度电极化强度 与与 有关，是非均匀极化。在电介有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表在与金属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为面在无限远处），其电荷面密度为有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移 因为因为r 1，上式说明，上式说明恒与恒与q0反号，在交界反号，在交界面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为面处只有电
11、荷和极化电荷的总电荷量为 总电荷量减小到自由电荷量的总电荷量减小到自由电荷量的1/r倍，这是倍，这是离球离球心心r处处P点的场强点的场强减小到真空时的减小到真空时的1/r倍的原因。倍的原因。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移 解解 （1 ）设场强分别为）设场强分别为E1 和和E2 ，电位移分别为，电位移分别为D1 和和D2 ，E1和和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时
12、的高斯定理得由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例题例题9-7 平行板电容器两板极平行板电容器两板极的面积为的面积为S，如图所示，两板极，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分之间充有两层电介质，电容率分别为别为1 和和2 ，厚度分别为，厚度分别为d1 和和d2 ，电容器两板极上自由电荷面密，电容器两板极上自由电荷面密度为度为。求（。求（1）在各层电介质）在各层电介质的电位移和场强，（的电位移和场强，（2）电容器）电容器的电容的电容.+ E1E2D1D2S2S1d1d2AB 1E2 2有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移
13、所以所以即在两电介质内，电位移即在两电介质内，电位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于所以所以 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。电容率（或相对电容率）成反比。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移 为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示，这，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电一闭合面内的自由电荷等于正极板
14、上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得介质时的高斯定理，得再利用再利用可求得可求得方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）
15、。器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移电位移电位移
