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1、 定积分第一节 定积分的概念与性质abxyo实例例1 1 求曲求曲边梯形的面梯形的面积一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形然，小矩形越多，矩形总面面积越接近越接近曲曲边梯形面梯形面积四个小矩形四个小矩形九个小矩形九个小矩形曲边梯形如下图，曲边梯形如下图，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲曲边梯形面梯形面积为实例实例2 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思思绪：把整段：把整段时间分割成假分割成假设干小段，每小段干小段，每小段上速度看作不上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，求出各小段的路程再相
2、加，便得到路程的近似便得到路程的近似值，最后，最后经过对时间的无限的无限细分分过程求得路程的准确程求得路程的准确值1分割分割部分路程值部分路程值某时辰的速度某时辰的速度2求和求和3取极限取极限路程的准确路程的准确值二、定积分的定义定定义被被积函函数数被被积表表达达式式积分分变量量记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和留意：留意：定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理曲曲边梯形的面梯形的面积曲曲边梯形的面梯形的面积的的负值四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解五、定积分 的性质证此性此性质可以推行到有限多个函数作和的情况可以推行到
3、有限多个函数作和的情况性质性质1 1证性质性质2 2补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 假假设定定积分分对于于积分区分区间具有可加性具有可加性那么那么性质性质3 3证性质性质4 4性性质5 5解解令令于是于是可以直接作出答案可以直接作出答案性质性质5 5的推论：的推论：证1证阐明：阐明： 可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：2证此性此性质可用于估可用于估计积分分值的大致范的大致范围性质性质6 6曲曲边梯形的面梯形的面积 夹在两个矩形之在两个矩形之间解解例例2 不计算定积分不计算定积分 估计估计 的大小的大小证由由闭区区间上延
4、上延续函数的介函数的介值定理知定理知性质性质7 7Th5.1 Th5.1 定积分第一中值定理定积分第一中值定理积分中值公式积分中值公式使使即即积分中分中值公式的几何解公式的几何解释：Th5.2(Th5.2(推行的积分第一中值定理推行的积分第一中值定理调查定定积分分记积分上限函数分上限函数六、积分上限函数及其导数证由由积分中分中值定理得定理得计算以下导数计算以下导数补充补充证例例1 1 求求解解分析：这是分析：这是 型不定式，运用洛必达法那么型不定式，运用洛必达法那么.定理定理2 2原函数存在定理原函数存在定理定理的重要意定理的重要意义：1一定了延一定了延续函数的原函数是存在的函数的原函数是存在
5、的.2初步提示了初步提示了积分学中的定分学中的定积分与原函数之分与原函数之间的的联络.定理定理 3 3微微积分根本公式分根本公式证七 牛顿莱布尼茨公式令令令令牛牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微微积分根本公式分根本公式阐明：明：留意留意求定求定积分分问题转化化为求原函数的求原函数的问题.例例4 4 求求 原式原式例例5 5 设设 , , 求求 . . 解解解解例例6 6 求求 解解由由图形可知形可知那么有1. 微积分根本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式定理定理八、换元公式证证运用换元公式时应留意运用换元公式时应留意:12例例1 1 计算计算例例2 2 计算计算例例1 1 计算计算解凑
6、微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要改换积分的上下限。例例2 2 计算计算解解原式原式例例3 3 计算计算解解三角代换和根式代换例例4 4 计算计算解解令令原式原式明显换元证奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位位圆的面的面积总结： 1、定、定积分公式分公式2、定、定积分分计算方法直接代入，凑微分，算方法直接代入，凑微分，根式代根式代换，三角代，三角代换3、根式和三角代、根式和三角代换为明明显的代的代换，所以，所以换元要元要换上下限上下限4、 引引见了了积分上限函数分上限函数5、积分上限函数是原函数分上限函数是原函数6、计算上限函数的算上限函数的导数数证
7、1设2 由此计算由此计算设设定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推推导九、分部积分公式例例 计算计算解解例例2 2 计算计算解解令令那么那么例例3 3 计算计算解解例例4 4 计算计算例例5 5 计算计算解解第四节 广义积分一、无穷限的广义积分例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解简记为例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解证回想回想 曲曲边梯形求面梯形求面积的的问题第五节、定积分运用ab xyo1、几何上的运用面积ab xyo面面积元元素素一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐直角坐标情形情形设曲线与直线及 x 轴所围曲那么边梯形面积为 A ,右图所示图形，面积元素为曲曲边
8、梯形的面梯形的面积曲曲边梯形的面梯形的面积c有时也会选 y 为积分变量解解1作作图2求出两曲求出两曲线的交点的交点3 选选 为积分变量为积分变量4代公式代公式解解两曲两曲线的交点的交点选选 为积分变量为积分变量解题步骤：解题步骤：(2) 求出交点；(3) 选择适宜的积分变量，确定积分区间，计算。(1) 画出草图；例例3. 求椭圆求椭圆解解: 利用利用对称性称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程运用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式二、立体体积二、立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 那么对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上延续,1. 知平行截面面知
9、平行截面面积函数的立体体函数的立体体积例例1. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解解: 如下如下图取坐取坐标系系,那么圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .思索思索: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示: 旋旋转体就是由一个平面体就是由一个平面图形形绕这平面内平面内一条直一条直线旋旋转一周而成的立体一周而成的立体这直直线叫做叫做旋旋转轴圆柱柱圆锥圆台台旋转体的体积当思索延续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当思索延续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2. 旋转体的体积旋转体的体积xyo旋旋转体的体体的体积为例例1. 计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 利用直角坐利用直角坐标方程方程那么(利用对称性)解解
