第三章滑动平均模型与滑动平均模型与自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型 本章结构n滑动平均模型滑动平均模型 nARMA模型模型 §3.1 滑动平均模型 n 模型引入nMA(q)和MA(q)序列n最小序列nMA(q)系数的递推计算nMA(q)模型举例 q步相关n平稳序列 的自协方差函数若满足 ， ，则称 是q步相关的 滑动平均模型的例子n每隔两小时记录的化学反应数据时间序列 n一阶差分得n 的样本自相关系数列呈现截尾性 n可以拟合 (1.1) 模型特点是 1步截尾 MA(q)模型和MA(q)序列n定义1.1 设 是 ，如果实数 使得则称 (1.2)是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型； n称由(1.2)决定的平均序列 是滑动平均模型，简称为MA(q)序列。
n如果进一步要求多项式 在单位圆周上也没有零点： 当 ，则称(1.2)是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间序列是可逆的MA(q)序列 MA的特征n用推移算子把模型写为 (1.3)对于可逆MA， 有Taylor 展式所以 (1.4) MA序列的自协方差函数n记 ，则对MA(q)序列有 ， (1.5) MA序列的谱密度n定理1.1 MA(q)序列 的自协方差函数是q步截尾的： (1.6)并且有谱密度 (1.7) MA(q)序列的充要条件n定理1.3 设零均值平稳序列 有自协方差函数 ，则 是MA(q)序列的充分必要是 引理1.2n引理1.2 设实常数 使得 和n则有唯一的实系数多项式： (1.8)使得这里 为某个正常数。
注： ) 定理1.3的证明n由自协方差绝对可和时谱密度公式得n由引理，n 单位圆内没有根 n如果 在单位圆上都没有根，则可定义 ，用线性滤波的谱密度公式可得 的谱密度是白噪声谱密度n单位圆上可能有根的一般情况可以用hilbert空间预测的方法证明 MA(q)系数的计算nMA(q)序列的系数 及 可以被数 唯一确定n可以用文献 方法计算模型参数 MA(q)系数的计算n记 (1.11) n则有： (1.12)其中 . (1.13) MA(1)序列n可逆MA(1)n自协方差和自相关 n谱密度偏相关系数不截尾：逆表示 MA(2)序列n可逆MA(2)n可逆域： n自协方差n自相关系数n谱密度 MA(2)序列的实际例子nMA(2)的实际例子：n特征根为 。
§3.2自回归滑动平均模型nARMA(p,q)模型及其平稳解nARMA(p,q)序列的自协方差函数nARMA(p,q)模型的可识别性nARMA序列的谱密度和可逆性n例子 ARMA模型n定义2.1 设 是 实系数多项式 和 没有公共根满足以及： (2.1) n就称差分方程： (2.2) 是一个自回归滑动平均模型，简称ARMA(p,q)模型称满足(2.2)的平稳序列 为平稳解或ARMA(p,q)序列 ARMA模型平稳解n模型写成 (2.3) 在 解析( 为的所有根)，可以Taylor展开 (2.4)易见 是线性平稳列。
n两边用 作用即 是ARMA(p,q)模型(2.2)的解 惟一平稳解n反之，若 是(2.2)的一个平稳解，在(2.2)两边用 既得n即 (2.6)是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解 n称(2.6)中的 为 的Word系数n定理2.1 由(2.6)定义的平稳序列 是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平稳解 ARMA模型方程的通解n模型(2.2)的任意解可写成 (2.7)其中 为平稳解(2.6). 为的全体互不相同的零点 有重数随机变量 由 唯一决定 ARMA序列的模拟生成n (2.8)n可以据此模拟ARMA模型：取初值 递推的当m较大时取后一段 作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。
当 有靠近单位圆的根时m要取得较大 ARMA序列的自协方差函数n 可由wold系数表示： (2.10)由于 由(2.10)可得 ARMA模型Wold系数的递推公式n记 或n由参数 计算 时可以递推 (2.11) Wold递推公式的证明n记 注意 n比较系数得n即(2.11)成立 可识别性n我们将证明：由ARMA(p,q)模型的自协方差函数 可以决定ARMA(p,q)模型的参数 n引理2.2 设 是(2.2)的平稳解如果又有白噪声和实系数多项式 使得成立。
则 的阶数 的阶数 ARMA序列的Y-W方程nARMA模型的平稳解为所以 （1）n两边同乘以 求期望得即 n当 时 上式为 n总之 (2.14)对 的Y-W方程可以写成矩阵形式： (2.15) n把系数矩阵记为 ：n只要 可逆则可解出 （2）n解出 后令n则 是一个MA(q)序列其自协方差函数为q步截尾，且 n可以用3.1的方法唯一解出 n于是，只要 可逆，则ARMA(p,q)序列的自协方差函数和ARMA(p,q)模型的参数 相互惟一决定 ARMA模型中AR部分的参数求解n定理2.3 设 为ARMA(p,q)序列 的自协方差函数列，则 时 可逆。
证明：用反证法然后由引理2.2导出矛盾 n设 不满秩则存在 使得 即 (2.18) n注意当 时， 所以这是 所以取 有 n递推得上式当 时也成立因此 n令 ，则 是零均值平稳列，利用可知 的自协方差 步截尾 是MA(q-1)序列，存在 使得 与引理2.2矛盾 ARMA模型的一个充分条件n定理2.4 设零均值平稳序列 有自协方差函数 又设实数 使得 满足最小相位条件，另外 (2.9) 则 是一个ARMA 序列其中 定理2.4证明n证明：设 ，则 是零均值平稳序列。
满足 n所以有说明 的自协方差函数是q后截尾的 n由定理1.3知道， 为一个MA(q)序列即存在单位圆内没有根的q阶实系数多项式 使得 和 (2.20)其中 是 n如果 和 没有公因子，上述模型就是所需要的ARMA(p,q)模型否则设公因子是 ，则有 这是(2.20)变成两边乘以 (显然 也满足最小相位条件)后得到所需要ARMA 模型： n为 有理谱密度n由于ARMA序列的 绝对可和，以及平稳解的线性序列表达式，可得ARMA(p,q)序列(2.6)有谱密度 (2.21)形如(2.21)的谱密度被称为有理谱密度 可逆的ARMA模型n定义2.2 在ARMA(p,q)模型的定义2.1中，如果进一步要求 在单位圆上无限： (2.22)则称ARMA(p,q)模型(2.2)为可逆的ARMA模型，称相应的平稳解为可逆的ARMA(p,q)序列。
n对于可逆的ARMA(p,q)模型(2.3),由于 在 内解析所以有Taylor展式： (2.23) n其中 ，当 ，从而可以定义 在(2.3)两边乘以 得到： (2.24)(2.24)是(2.6)的逆转形式，表明可逆的ARMA(p,q)序列和他的噪声序列可以相互线性表示 ARMA例2.1 ARMA例2.2 。