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1、通常，通常，1 1公斤面，公斤面， 1 1公斤馅，包公斤馅，包100100个汤圆（饺子）个汤圆（饺子） 今天，今天，1 1公斤面不变，馅比公斤面不变，馅比 1 1公斤多了，问应多包几公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题问题圆面积为圆面积为S S的一个皮，包成体积为的一个皮，包成体积为V V的汤圆。若的汤圆。若分成分成n n个皮，每个圆面积为个皮，每个圆面积为s s，包成体积为包成体积为v v。V V和和 nvnv 哪个大哪个大? ?S Ss ss ss sV Vv vv vv v( (共共n n个个) )1 1、从包汤圆（饺子）、
2、从包汤圆（饺子）定性分析定性分析V V比比 nvnv大多少大多少? ?定量分析定量分析假设假设1. 1. 皮的厚度一样皮的厚度一样2. 2. 汤圆汤圆( (饺子饺子) ) 的形状一的形状一样样 模型模型应用应用若若100100个汤圆（饺子）包个汤圆（饺子）包1 1公斤馅公斤馅, ,则则5050个汤圆个汤圆( (饺子饺子) ) 可以包可以包 公斤馅公斤馅R R 大皮大皮 的半径；的半径；r r 小皮的半小皮的半径径V V是是 nvnv是是 倍倍1.41.4返返回回问题杀羊方案问题杀羊方案 现有现有26只羊，要求只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，天杀完且每天必须杀奇数只，问各天分别杀几只？问各
3、天分别杀几只？分析：分析：1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一这是一个有限问题，解决此类问题的一类方法是枚举，你可以试试。类方法是枚举，你可以试试。2). 依题意，设第依题意，设第天杀天杀只，只，则所提则所提问题变为在自然数集上求解方程问题变为在自然数集上求解方程于是，我们有了该问题的数学语言表达于是，我们有了该问题的数学语言表达数学模型数学模型求求解：解：建建模：模：用用反证法容易证明本问题的解不存在。反证法容易证明本问题的解不存在。2、杀羊方案、杀羊方案返回 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他
4、妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？ 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时前回家了。提前的十分钟时间从何而来？间从何而来
5、？ 显然是由于节省了从显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需故，故由相遇点到会合点需开开5 5分钟。而此人提前了三分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。时他已步行了二十五分钟。 3、相遇问题、相遇问题某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返地沿原路返回回 A A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。存在一地，此人在
6、两天中的同一时间到达该地。假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由人在同一天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。两人必会在途中相遇。 某人早某人早8 8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 5时时到达山顶并留宿，次日早到达山顶并留宿，次日早8 8时沿同一路径下山，
7、下午时沿同一路径下山，下午5 5时时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同地点，为什么地点，为什么? ? 解法一：解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运动，所以必在中间某一时刻运动，所以必在中间某一时刻t t两人相遇，这说明某人两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。在两天中的同一时刻经
8、过路途中的同一地点。4、爬山问题、爬山问题 解法二：以时间解法二：以时间t t为横为横坐标，以沿上山路线从山下旅坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程店到山顶的路程x x为纵坐标，从为纵坐标，从山下到山顶的总路程为山下到山顶的总路程为d;d;严格的数学论证：严格的数学论证：令令 思考题：思考题：有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，妹妹指着蛋糕上的一点妹妹指着蛋糕上的一点P P，让哥哥过点，让哥哥过点P P切开一人一半，能切开一人一半，能办到吗办到吗? ?返回 在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶楼，但由于
9、三根电线各处的转弯不同而有长短，因楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因此三根电线的长度均未知。现在工人师傅为了在顶此三根电线的长度均未知。现在工人师傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如何测量出这三根电线的电阻何测量出这三根电线的电阻? ?5、测量电阻、测量电阻 由三元一次线性方程组解出由三元一次线性方程组解出x,y,zx,y,z即得三根电即得三根电线的电阻。线的电阻。 说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程“观点观点”、”立场立场”去分析，用活的数学思想使实际去分析，用活的数学思想使实际
10、问题转到新创设的情景中去。问题转到新创设的情景中去。返回 3737支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？束。问共需进行多少场比赛？一般思维一般思维：逆向思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了就是淘汰了3636名球队，因此比赛进行了名球队，因此比赛进行了3636场。场。6、比赛场次、比赛场次返回 在气象台在气象台A A的正西方向的正西方向300 km300 km处有
11、一台风中心，它以处有一台风中心，它以40 km/h40 km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距的速度向东北方向移动；根据台风的强度，在距其中心其中心250 km250 km以内的地方将受到影响，问多长时间后气象以内的地方将受到影响，问多长时间后气象台所在地区将遭受台风的影响台所在地区将遭受台风的影响? ?持续时间多长持续时间多长? ?此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象此问题是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象预报，现建立解析几何模型加以探讨。预报，现建立解析几何模型加以探讨。以气象台以气象台A A为坐标原点建立为坐标原点建立平而直角坐标系，设台风中心为平而直角坐标系
12、，设台风中心为B B，如图，如图7、气象预报问题、气象预报问题 根据题意，根据题意，A A点的坐标为点的坐标为(-300(-300，0)0)，单位为单位为kmkm台风中心的运动轨迹为直台风中心的运动轨迹为直线线BCBC，这里的，这里的CBACBA45450 0，当台风中，当台风中心在运动过程中处于以心在运动过程中处于以A A为圆心、半径为圆心、半径为为250 km250 km的圆内的圆内( (即即MNMN上上) )时，气象台时，气象台A A所在地区将遭受台风的影响。所在地区将遭受台风的影响。因为圆的方程为：因为圆的方程为：直线直线BCBC的方程为：的方程为：其中参数其中参数t t为时间为时间(
13、 (单单位为位为h)h)。当台风中心处于圆内时，有：当台风中心处于圆内时，有：解得解得 所以，大约在所以，大约在2h2h以后气象台以后气象台A A所在地区将会遭所在地区将会遭受台风的影响，持续时间大约为受台风的影响，持续时间大约为6 66h6h。交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。 设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。要转红灯了，假如你
14、能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离仍将向前行驶一段距离 L L。这就是说，在。这就是说，在离街口距离为离街口距离为 L L处存在着一条停车线（尽处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图。对于那些黄管它没被画在地上），见图。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。能穿过马路。 DL8、黄灯应当亮多久、黄灯应当亮多久 马马路的宽度路的宽度D D是容易测得的，问题的关键在于是容易测得的，问题的关键在于L L的确定。的确定。为确定为确定L L，还应当将，还应当将L
15、L划分为两段：划分为两段：L1L1和和L2L2。 其中其中 L1L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，时间内驶过的路程，L2L2为刹车制动后车辆驶过的路程。为刹车制动后车辆驶过的路程。L1L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1t1早有测早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而另建模型研究，从而L1=
16、v*t1L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2L2既可用曲线拟既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，第一步，先计算出先计算出L L应多大才能使看见黄灯的司机停应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。得住车。第二步，第二步，黄灯亮的时间应当让已过线黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，的车顺利穿过马路，即即T T 至少应当达到至少应当达到 （L+DL+D）/v/v。 DL返回 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽将形状质量相同的砖块一一向右往外叠
17、放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，现用归纳法推导砖长处，现用归纳法推导。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-1/2-Z Zn n= (= (n n1) 1) Z Zn n故故Z Zn n =1/(2 =1/(2n n) )，从而上面，从而上面 n n块砖向右推出的块砖向右推出的总距离为总距离为 ，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至
18、故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。 9、砖块延伸、砖块延伸返回 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣数，至少要用仪器检
19、测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。子发射射线的强度。10、寻找黑匣子、寻找黑匣子方法一方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即的距离的平方成反比，即 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定方向很容易确定，关键在于确定 距离距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为的照度分别为I I1 1和和I I2 2，两测量点间的距离为，两测量点间的距离为 a，则，则有有方法二方法二在方法一中，两检测点与黑匣子在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容
20、易位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A A点测得黑匣子方向后点测得黑匣子方向后 ，到，到B B点再测方向点再测方向 ，AB AB 距距离为离为a a ，BACBAC= =，ABCABC= =，利用正弦定理得，利用正弦定理得出出 d d = = a asinsin/sin (/sin (+ +) ) 。需要指出的是，。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而当黑匣子位于较远处而 又较小
21、时，又较小时，+ +可能可能非常接近非常接近（ACBACB接近于接近于0 0），而），而sinsin（+ +）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使会很大，为了使结果较好，应使a a也相对较大。也相对较大。BACa返回 1111、 舰舰艇的会合艇的会合某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员，行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能
22、与航母汇合。样航行，才能与航母汇合。令：令：则上式可简记成则上式可简记成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2 即：即：可化为：可化为：记记v2/ v1=a通常通常a1 则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程（航母的路线方程 ）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用极清晰且易于实际应用 返回12、价格竞争、价格竞争 问题：两个加油站位于同一条公路旁，为在公路问题：两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上行驶的汽车提
23、供同样的汽油，彼此竞争激烈一天，上行驶的汽车提供同样的汽油，彼此竞争激烈一天，甲加油站推出甲加油站推出“降价销售降价销售”吸引顾客结果造成乙加油吸引顾客结果造成乙加油站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利利润是受销价和站的顾客被拉走，影响了乙站的赢利利润是受销价和销售量的影响和控制他们为了挽回损失采取对策，决销售量的影响和控制他们为了挽回损失采取对策，决定也降低销售价以争取顾客乙加油站如何决定汽油的定也降低销售价以争取顾客乙加油站如何决定汽油的价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润价格，既可以同甲站竞争，又可以获取尽可能高的利润分析：分析：在这场在这场“价格战价格战”中，我们将站在乙加油站
24、的立中，我们将站在乙加油站的立场上为其制定价格对策因此需要组建一个模型来描述场上为其制定价格对策因此需要组建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况 为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如下一些指标：下一些指标： 影响乙加油站汽油销售量的因素影响乙加油站汽油销售量的因素 (1)(1)甲加油站汽油降价的幅度；甲加油站汽油降价的幅度； (2)(2)乙加油站汽油降价的幅度；乙加油站汽油降价的幅度； (3)(3)两站之间汽油销售价格之差两站之间汽油销售价格之差 在这场在这场“价格战价格战”中，我
25、们假设汽油的正常销售价格中，我们假设汽油的正常销售价格保持定常不变，并且假定保持定常不变，并且假定以上各因素对乙加油站汽油以上各因素对乙加油站汽油以上各因素对乙加油站汽油以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的销售量的影响是线性的销售量的影响是线性的销售量的影响是线性的于是乙加油站的汽油销售量于是乙加油站的汽油销售量可以由下式给出可以由下式给出返回1313、遗传模型、遗传模型 1 1问题分析问题分析 所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型各继承一个基因从而形成自己的基因型. .如果所考虑的遗传特征是由两个基
26、因如果所考虑的遗传特征是由两个基因A A和和B B控制的，控制的，那么就有三种可能的基因型：那么就有三种可能的基因型：AAAA，ABAB和和BBBB. . 例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，AAAA型开型开红红红红花，花，ABAB型的开型的开粉粉粉粉花，而花，而BBBB型的开型的开白白白白花花. .这里的这里的AAAA型和型和ABAB型表示了同一外部特征型表示了同一外部特征( (红色红色) )，则，则人们认为基因人们认为基因A A支配基因支配基因B B，也说成基因，也说成基因B B对于对于A A是隐性的是隐性的. .当一个亲体的基因型为
27、当一个亲体的基因型为ABAB，另一个亲体的基因型，另一个亲体的基因型为为BBBB，那么后代便可从，那么后代便可从BBBB型中得到基因型中得到基因B B，从，从ABAB型中得型中得到到A A或或B B，且是等可能性地得到，且是等可能性地得到. .问题问题问题问题：某植物园中一种植物的基因型为：某植物园中一种植物的基因型为AAAA，ABAB和和BBBB. .现计划采用现计划采用AAAAAAAA型植物型植物型植物型植物与与每种基因型植物每种基因型植物每种基因型植物每种基因型植物相结合的相结合的方案培育植物后代。方案培育植物后代。试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基试预测，若干年后，这种植物的任
28、一代的三种基因型分布情况因型分布情况. . 2 2模型假设模型假设（1 1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A A或或B B是等可能的是等可能的, ,即有双亲基因型的所有可能结合使其后代形即有双亲基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表成每种基因型的概率分布情况如表 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21 3 3模型建立模型建立 注意到原问题是采
29、用注意到原问题是采用AAAA型与每种基因型相结合，因此型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列这里只考虑遗传分布表的前三列. . 下一代下一代基因型基因型（n n代）代）上一代父上一代父- -母基因型（母基因型（n n-1-1代）代）AA-AAAA-AAAA-ABAA-ABAA-BBAA-BBAB-ABAB-ABAB-BBAB-BBBB-BBBB-BBAAAA1 11/21/20 01/41/40 00 0ABAB0 01/21/21 11/21/21/21/20 0BBBB0 00 00 01/41/41/21/21 1首先考虑第首先考虑第n n代中的代中的AAAA型型 即第即
30、第n-n-1 1代的代的AAAA与与AAAA型结合全部进入第型结合全部进入第n n代的代的AAAA型，第型，第n n-1-1代的代的ABAB型与型与AAAA型结合只有一半进入第型结合只有一半进入第n n代代AAAA型，第型，第n n-1-1代的代的BBBB型与型与AAAA型结合没有一个成为型结合没有一个成为AAAA型而进入第型而进入第n n代代AAAA型型 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21按上表所给数据，
31、第按上表所给数据，第n n代代AAAA型所占百分率为型所占百分率为故有故有同理，第同理，第n n代的代的ABAB型和型和BBBB型所占有比率分别为型所占有比率分别为 将三式联立，并用矩阵形式表示，得到将三式联立，并用矩阵形式表示，得到 其中其中 进行递推，便可获得第进行递推，便可获得第n n代基因型分布的数学模型代基因型分布的数学模型 4 4模型求解模型求解 分别为分别为 故有故有 即得即得 于是于是 或写为或写为 5 5模型分析模型分析 （1 1）完全类似地，可以选用）完全类似地，可以选用ABAB型和型和BBBB型植物与每一个型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果其它基因型植物
32、相结合从而给出类似的结果. .特别是将具特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第有相同基因植物相结合，并利用前表的第1 1、4 4、6 6列数据列数据使用类似模型及解法而得到以下结果：使用类似模型及解法而得到以下结果： 这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因限情形下，后代仅具有基因AAAA与与BBBB，而，而ABAB消失了消失了. . （2 2）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵n n次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际的一个范例的一个范例. . 返回
