第四十九讲第四十九讲 随机事件的概率随机事件的概率 回归课本回归课本 1.事件的分类事件的分类(1)一般地一般地,我们把在条件我们把在条件S下下,一定会发生一定会发生的事件的事件,叫做相对于叫做相对于条件条件S的必然事件的必然事件,简称简称必然事件必然事件.(2)一般地一般地,我们把在条件我们把在条件S下下,一定不会发生一定不会发生的事件的事件,叫做相对叫做相对于条件于条件S的不可能事件的不可能事件,简称简称不可能事件不可能事件.(3)必然事件与不可能事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件统称为相对于条件S的确定事件的确定事件,简简称称确定事件确定事件. (4)在条件在条件S下可能发生也可能不发生下可能发生也可能不发生的事件的事件,叫做相对于条件叫做相对于条件S的随机事件的随机事件,简称简称随机事件随机事件.(5)确定事件确定事件和和随机事件随机事件统称为事件统称为事件,一般用大写字母一般用大写字母A,B,C……表示表示. 2.频数频数,频率频率(1)在相同的条件在相同的条件S下重复下重复n次试验次试验,观察某一事件观察某一事件A是否出现是否出现,称称n次试验中事件次试验中事件A出现的次数出现的次数nA为事件为事件A出现的频数出现的频数,称称事件事件A出现的比例出现的比例fn(A)= 为事件为事件A出现的频率出现的频率.(2)对于给定的随机事件对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加如果随着试验次数的增加,事件事件A发发生的频率生的频率逐渐稳定在区间逐渐稳定在区间[0,1]中的中的某个常数上某个常数上,那么把这那么把这个常数记作个常数记作P(A),称为事件称为事件A发生的概率发生的概率. (3)任何事件任何事件A发生的概率发生的概率P(A)∈ ∈[0,1],它度量事件发生的它度量事件发生的可能可能性的大小性的大小.若若A为必然事件为必然事件,则则P(A)=1;若若A为不可能事件为不可能事件,则则P(A)=0. 3.事件的关系与运算事件的关系与运算(1)对于事件对于事件A与事件与事件B,如果事件如果事件A发生发生,则事件则事件B一定一定发生发生,这这时称事件时称事件B包含事件包含事件A(或称或称事件事件A包含于事件包含于事件B),记作记作B⊇ ⊇A(或或AB).(2)若若B⊇ ⊇A,且且A⊇ ⊇B,那么称事件那么称事件A与事件与事件B相等相等,记作记作A=B.(3)若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生发生或或事件事件B发生发生,则称此事则称此事件为事件件为事件A与事件与事件B的并事件的并事件(或或和事件和事件),记作记作A∪ ∪B(或或A+B). (4)若某事件发生当且仅当事件若某事件发生当且仅当事件A发生发生且且事件事件B发生发生,则称此事则称此事件为事件件为事件A与事件与事件B的交事件的交事件(或或积事件积事件),记作记作A∩B(或或AB).(5)若若A∩B为为不可能不可能事件事件,(A∩B=∅∅),那么称事件那么称事件A与事件与事件B互互斥斥,其含义是其含义是:事件事件A与事件与事件B在任何一次试验中不会同时发在任何一次试验中不会同时发生生.(6)若若A∩B为为不可能不可能事件事件,A∪ ∪B为为必然必然事件事件,那么称事件那么称事件A与事与事件件B互为对立事件互为对立事件,其含义是其含义是:事件事件A与事件与事件B在任何一次试在任何一次试验中有且仅有一个发生验中有且仅有一个发生. (7)互斥事件概率的加法公式互斥事件概率的加法公式:如果事件如果事件A与事件与事件B互斥互斥,则则P(A∪ ∪B)=P(A)+P(B).特别地特别地,若事件若事件B与事件与事件A互为对立事件互为对立事件,则则P(A)=1-P(B). 考点陪练考点陪练 1.从从6个男生、个男生、2个女生中任选个女生中任选3人人,则下列事件中必然事件是则下列事件中必然事件是( )A.3个都是男生个都是男生 B.至少有至少有1个男生个男生C.3个都是女生个都是女生 D.至少有至少有1个女生个女生解析解析:因为只有因为只有2名女生名女生,所以选出的所以选出的3人中至少有人中至少有1名男生名男生.答案答案:B 2.某产品分一、二、三级某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品其中只有一级是正品.若生产中出现若生产中出现正品的概率是正品的概率是0.97,出现二级品的概率是出现二级品的概率是0.02,那么出现二那么出现二级品或三级品的概率是级品或三级品的概率是( )A.0.01 B.0.02C.0.03 D.0.04解析解析:““出现一级品出现一级品””这一事件的对立是这一事件的对立是““出现二级品或三级出现二级品或三级品品””,由对立事件概率之和为由对立事件概率之和为1即可得出答案即可得出答案.答案答案:C 3.(2010··山东青岛山东青岛2月月)为了了解学生遵守为了了解学生遵守《《中华人民共和国中华人民共和国交通安全法交通安全法》》的情况的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查部门在某学校进行了如下的随机调查调查:向被调查者提出两个问题向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币人员抛掷一枚硬币,如果出现正面如果出现正面,就回答第就回答第(1)个问题个问题;否则否则就回答第就回答第(2)个问题个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题的是哪一个问题,只需要回答只需要回答““是是””或或““不是不是””,因为只有因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答所以都如实做了回答. 结果被调查的结果被调查的600人人(学号从学号从1到到600)中有中有180人回答了人回答了““是是””,由此可以估计在这由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是人中闯过红灯的人数是( ) A.30 B.60C.120 D.150 解析解析:抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5,因此因此600个被调查的学生中大约有个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题个人回答了第一个问题,300个人回答了第二个问题个人回答了第二个问题,又因为学号是奇数和偶数的概率相又因为学号是奇数和偶数的概率相等等,都是都是0.5,故故300个回答第一个问题的学生中大约有个回答第一个问题的学生中大约有150人回答了人回答了““是是””,所以所以300个回答第二个问题的学生中有个回答第二个问题的学生中有180-150=30个回答了个回答了““是是””,即曾经闯过红灯即曾经闯过红灯,故在这故在这600人中闯过红灯的人数大约是人中闯过红灯的人数大约是60人人.答案答案:B 4.(2010··新创题新创题)一个家庭有两个小孩一个家庭有两个小孩,则所有可能的基本事件则所有可能的基本事件有有( )A.(男男,女女)(男男,男男)(女女,女女)B.(男男,女女)(女女,男男)C.(男男,男男)(男男,女女)(女女,男男)(女女,女女)D.(男男,男男)(女女,女女)解析解析:由于两个孩子有先后出生之分由于两个孩子有先后出生之分,故选故选C.答案答案:C 5.(2010··浙江台州浙江台州2月模拟月模拟)袋中装有编号为袋中装有编号为1､ ､2､ ､3､ ､4的四个球的四个球,四个人从中各取一个球四个人从中各取一个球,则甲不取则甲不取1号球号球,乙不取乙不取2号球号球,丙不丙不取取3号球号球,丁不取丁不取4号球的概率为号球的概率为( ) 解析解析:四人从袋中各取一球共有四人从袋中各取一球共有4×3×2×1=24种不同的取法种不同的取法,甲甲不取不取1号球号球,乙不取乙不取2号球号球,丙不取丙不取3号球号球,丁不取丁不取4号球有号球有9种种不同的取法不同的取法,所以其概率是所以其概率是答案答案:B 类型一类型一随机事件及概率随机事件及概率解题准备解题准备:(1)频率频率:在相同条件下重复进行在相同条件下重复进行n次试验次试验,观察某一观察某一事件事件A出现的次数出现的次数m,称为事件称为事件A的频数的频数,那么事件那么事件A出现的出现的频率频率fn(A)= 频率的取值范围为频率的取值范围为[0,1]. (2)概率概率:对于给定的随机事件对于给定的随机事件,如果随着试验次数的增加如果随着试验次数的增加,事件事件A发生的频率稳定在某个常数上发生的频率稳定在某个常数上,我们把这个常数记为我们把这个常数记为P(A),称为事件称为事件A的概率的概率.频率与概率有本质的区别频率与概率有本质的区别,不可混为一谈不可混为一谈,频率随着试验次数频率随着试验次数的改变而变化的改变而变化,概率却是一个常数概率却是一个常数,它是频率的科学抽象它是频率的科学抽象.当当试验次数越来越多时频率向概率靠近试验次数越来越多时频率向概率靠近.只要次数足够多只要次数足够多,所所得频率就近似地当做随机事件的概率得频率就近似地当做随机事件的概率. 【【典例典例1】】 (2010··海南模拟海南模拟)某市地铁全线共有四个车站某市地铁全线共有四个车站,甲甲､ ､乙两人同时在地铁第乙两人同时在地铁第1号车站号车站(首发站首发站)乘车乘车.假设每人自第假设每人自第2号车站开始号车站开始,在每个车站下车是等可能的在每个车站下车是等可能的.约定用有序实数约定用有序实数对对(x,y)表示表示““甲在甲在x号车站下车号车站下车,乙在乙在y号车站下车号车站下车””.(1)用有序实数对把甲用有序实数对把甲､ ､乙两人下车的所有可能的结果列举出乙两人下车的所有可能的结果列举出来来;(2)求甲求甲､ ､乙两人同在第乙两人同在第3号车站下车的概率号车站下车的概率;(3)求甲求甲､ ､乙两人在不同的车站下车的概率乙两人在不同的车站下车的概率. [解解] (1)用有序实数对用有序实数对(x,y)表示甲在表示甲在x号车站下车号车站下车,乙在乙在y号车号车站下车站下车,则甲下车的站号记为则甲下车的站号记为2,3,4共共3种结果种结果,乙下车的站乙下车的站号也是号也是2,3,4共共3种结果种结果.甲甲､ ､乙两人下车的所有可能的结果乙两人下车的所有可能的结果有有9种种,分别为分别为:(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).(2)设甲设甲､ ､乙两人同时在第乙两人同时在第3号车站下车的事件为号车站下车的事件为A,则则P(A)= (3)设甲设甲､ ､乙两人在不同的地铁站下车的事件为乙两人在不同的地铁站下车的事件为B,则结果有则结果有:(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共共6种结果种结果,故故 [反思感悟反思感悟] 在解决此类问题时在解决此类问题时,首先分清所求事件是由哪些首先分清所求事件是由哪些基本事件组成的基本事件组成的,即明确基本事件总数即明确基本事件总数N和这个具体事件包和这个具体事件包含的基本事件数含的基本事件数M,由由 计算概率计算概率. 类型二类型二互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件与对立事件的区别和联系解题准备解题准备:“互斥事件互斥事件”和和“对立事件对立事件”都是就两个事件而言都是就两个事件而言的的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立的事件而对立的事件是其中必有一个要发生的互斥事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此因此,对立事件必须互对立事件必须互斥斥. 【【典例典例2】】 (2010··烟台月考烟台月考)某城市有甲某城市有甲､ ､乙两种报纸供居民乙两种报纸供居民们订阅们订阅,记事件记事件A为为““只订甲报纸只订甲报纸””,事件事件B为为““至少订一种至少订一种报纸报纸””,事件事件C为为““至多订一种报纸至多订一种报纸””,事件事件D为为““不订甲不订甲报纸报纸””,事件事件E为为““一种报纸也不订一种报纸也不订””.判断下列每对事件判断下列每对事件是不是互斥事件是不是互斥事件;如果是如果是,再判断它们是不是对立事件再判断它们是不是对立事件.(1)A与与C;(2)B与与E;(3)B与与D;(4)B与与C;(5)C与与E. [解解] 根据互斥事件根据互斥事件､ ､对立事件的定义来判断对立事件的定义来判断.(1)由于事件由于事件C““至多订一种报纸至多订一种报纸””中有可能中有可能““只订甲报纸只订甲报纸””,即事件即事件A与事件与事件C有可能同时发生有可能同时发生,故故A与与C不是互斥事件不是互斥事件.(2)事件事件B““至少订一种报纸至少订一种报纸””与事件与事件E““一种报纸也不订一种报纸也不订””是是不可能同时发生的不可能同时发生的,故故B与与E是互斥事件是互斥事件.由于事件由于事件B发生可发生可导致事件导致事件E一定不发生一定不发生,且事件且事件E发生会导致事件发生会导致事件B一定不一定不发生发生,故故B与与E还是对立事件还是对立事件. (3)事件事件B““至少订一种报纸至少订一种报纸””中有可能中有可能““只订乙报纸只订乙报纸””,即有即有可能可能““不订甲报纸不订甲报纸””,即事件即事件B发生发生,事件事件D也可能发生也可能发生,故故B与与D不是互斥事件不是互斥事件.(4)事件事件B““至少订一种报纸至少订一种报纸””中有这些可能中有这些可能:““只订甲报纸只订甲报纸””､ ､““只订乙报纸只订乙报纸””､ ､““订甲订甲､ ､乙两种报纸乙两种报纸””,事件事件C““至多订一至多订一种报纸种报纸””中有这些可能中有这些可能:““什么报纸也不订什么报纸也不订””､ ､““只订甲报只订甲报纸纸””､ ､““只订乙报纸只订乙报纸””,由于这两个事件可能同时发生由于这两个事件可能同时发生,故故B与与C不是互斥事件不是互斥事件. (5)由由(4)的分析的分析,事件事件E““一种报纸也不订一种报纸也不订””只是事件只是事件C的一种的一种可能可能,故事件故事件C与事件与事件E有可能同时发生有可能同时发生,故故C与与E不是互斥不是互斥事件事件. [反思感悟反思感悟] 根据互斥事件根据互斥事件､ ､对立事件的定义是判断两事件是对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件否是互斥事件､ ､对立事件的一种最有效对立事件的一种最有效､ ､最简便的基本方法最简便的基本方法.由对立事件的定义可知由对立事件的定义可知,对立事件首先要是互斥事件对立事件首先要是互斥事件,并且并且其中一个一定要发生其中一个一定要发生,因此两个对立事件一定是互斥事件因此两个对立事件一定是互斥事件,但两个互斥事件却不一定是对立事件但两个互斥事件却不一定是对立事件,解题时一定要搞清两解题时一定要搞清两种事件的关系种事件的关系. 类型三类型三互斥事件与对立事件的概率互斥事件与对立事件的概率解题准备解题准备:1.互斥事件的概率加法公式互斥事件的概率加法公式:若事件若事件A与与B互斥互斥,则则P(A∪ ∪B)=P(A)+P(B);2.对立事件的概率公式对立事件的概率公式:若事件若事件A的对立事件为的对立事件为 则则P( )=1-P(A). 【【典例典例3】】 (2010··江西五校联考江西五校联考)下表为某班英语及数学成绩下表为某班英语及数学成绩的分布的分布.学生共有学生共有50人人,成绩分成绩分1~5五个档次五个档次.例如表中所示例如表中所示英语成绩为英语成绩为4分分､ ､数学成绩为数学成绩为2分的学生为分的学生为5人人.将全班学生将全班学生的姓名卡片混在一起的姓名卡片混在一起,任取一张任取一张,该卡片对应学生的英语成该卡片对应学生的英语成绩为绩为x,数学成绩为数学成绩为y.设设x,y为随机变量为随机变量.(注注:没有相同姓名的没有相同姓名的学生学生) (1)x=1的概率为多少的概率为多少?x≥3且且y=3的概率为多少的概率为多少? (2)a+b等于多少等于多少? [反思感悟反思感悟] 本题主要是用计数方法求出事件包含的基本事本题主要是用计数方法求出事件包含的基本事件数件数,再用公式再用公式 求解求解;而求而求P(x=2)时时,因为因为a,b未知未知,所所以考虑它的对立事件以考虑它的对立事件,即即““x=1””和和““x≥3””,而事件而事件““x=2””､ ､““x=1””､ ､““x≥3””彼此互斥彼此互斥,P(x=1)+P(x≥3)+P(x=2)=1. 错源一错源一混淆事件与基本事件混淆事件与基本事件【【典例典例1】】 指出下列哪些是基本事件指出下列哪些是基本事件.(1)先后抛掷两枚硬币先后抛掷两枚硬币,都出现正面都出现正面;(2)先后抛掷两枚硬币先后抛掷两枚硬币,都出现反面都出现反面;(3)抛掷一次骰子抛掷一次骰子,出现偶数点出现偶数点;(4)先后抛掷两枚硬币先后抛掷两枚硬币,出现一个正面一个反面出现一个正面一个反面. [错解错解] (1),(2),(3),(4)都是基本事件都是基本事件.[剖析剖析] 错解没有把握住基本事件的本质错解没有把握住基本事件的本质,混淆了事件与基本混淆了事件与基本事件事件.[正解正解] (1),(2)为基本事件为基本事件. [评析评析] 事件是随机事件的简称事件是随机事件的简称,是随机试验的结果是随机试验的结果.基本事件基本事件是指在随机试验中所有可能发生的基本结果是指在随机试验中所有可能发生的基本结果,是随机试验中是随机试验中不能再分的最简单的随机事件不能再分的最简单的随机事件.基本事件具有两个特点基本事件具有两个特点:(1)基本事件是随机试验中不能再分的最简单的随机事件基本事件是随机试验中不能再分的最简单的随机事件,在一在一次试验中只能产生一个基本事件次试验中只能产生一个基本事件;(2)任何事件都可以用基任何事件都可以用基本事件来描绘本事件来描绘.“抛掷一次骰子抛掷一次骰子,出现偶数点出现偶数点”这一事件中包这一事件中包含了含了“出现出现2点点”､ ､“出现出现4点点”､ ､“出现出现6点点”三个基本事件三个基本事件;“先后抛掷两枚硬币先后抛掷两枚硬币,出现一个正面一个反面出现一个正面一个反面”包含了包含了“先先正后反正后反”和和“先反后正先反后正”两个基本事件两个基本事件. 错源二错源二混淆了频率与概率混淆了频率与概率【【典例典例2】】 判断下列命题的真假判断下列命题的真假.(1)将一枚骰子掷将一枚骰子掷60次次,出现出现1点的频率为点的频率为 则在试验中出现则在试验中出现了了10次点数为次点数为1.(2)某彩票的中奖率为某彩票的中奖率为1%,则某人买了则某人买了103张彩票张彩票,其中至少有其中至少有一张彩票中奖一张彩票中奖.(3)一同学抛掷一枚硬币一同学抛掷一枚硬币10次次,结果结果6次正面向上次正面向上,这说明在抛这说明在抛掷硬币过程中有时正面向上的概率为掷硬币过程中有时正面向上的概率为0.6. [错解错解] (1),(2),(3)都是真命题都是真命题.[剖析剖析] 错解混淆了频率与概率错解混淆了频率与概率.[正解正解] (1)真真;(2)假假;(3)假假.[评析评析] 频率是一个随试验次数变化而变化的量频率是一个随试验次数变化而变化的量.在进行大量在进行大量重复试验时重复试验时,频率会在某一常数附近摆动频率会在某一常数附近摆动,这个常数就是事这个常数就是事件件A的概率的概率.概率在数值上给出了事件概率在数值上给出了事件A发生的可能性的大发生的可能性的大小小,它是一个常数它是一个常数,它不随试验次数的变化而变化它不随试验次数的变化而变化.频率与概频率与概率的关系可以概括为率的关系可以概括为““在进行大量重复试验时在进行大量重复试验时,概率是频率概率是频率的稳定值的稳定值,频率是概率的近似值频率是概率的近似值””. 错源三错源三混淆互斥事件与对立事件混淆互斥事件与对立事件【【典例典例3】】 进行抛掷一枚骰子的试验进行抛掷一枚骰子的试验,有下列各组事件有下列各组事件:(1)““出现出现1点点””与与““出现出现2点点””.(2)““出现奇数点出现奇数点””与与““出现偶数点出现偶数点””.(3)““出现大于出现大于3的点的点””与与““出现大于出现大于4的点的点””.其中是对立事件的组数是其中是对立事件的组数是( )A.0 B.1C.2 D.3 [错解错解] C[剖析剖析] 错解混淆了互斥事件与对立事件错解混淆了互斥事件与对立事件,误将互斥事件当作误将互斥事件当作了对立事件了对立事件.只有只有(2)““出现奇数点出现奇数点””与与““出现偶数点出现偶数点””是对是对立事件立事件,而而(1)““出现出现1点点””与与““出现出现2点点””是互斥事件并非对是互斥事件并非对立事件立事件,(3)““出现大于出现大于3的点的点””与与““出现大于出现大于4的点的点””不是互不是互斥事件斥事件,所以它不是对立事件所以它不是对立事件.[正解正解] B[评析评析] 对立事件一定是互斥事件对立事件一定是互斥事件,而互斥事件却不一定是对而互斥事件却不一定是对立事件立事件. 技法一技法一分类讨论思想分类讨论思想【【典例典例1】】 把一颗骰子投掷把一颗骰子投掷2次次,观察出现的点数观察出现的点数,并记第一次并记第一次出现的点数为出现的点数为a,第二次出现的点数为第二次出现的点数为b,已知方程组已知方程组解答下列各题解答下列各题.(1)求方程组只有一个解的概率求方程组只有一个解的概率;(2)求方程组只有正解的概率求方程组只有正解的概率. [解题切入点解题切入点] 列出基本事件列出基本事件,建立概率模型建立概率模型. 包含的事件有包含的事件有13个个:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6).因此所求的概率为因此所求的概率为 技法二技法二转化思想转化思想【【典例典例2】】 如图所示如图所示,在一个体积为在一个体积为64 cm3的正方体木块表的正方体木块表面涂上红漆面涂上红漆,然后锯成体积为然后锯成体积为1 cm3的小正方体的小正方体,从中任取一从中任取一块块,求这一块至少有一面涂有红漆的概率求这一块至少有一面涂有红漆的概率. [解解] 直接求直接求“至少有一面涂有红漆至少有一面涂有红漆”的概率比较困难的概率比较困难,可以可以转化为求其对立事件的概率转化为求其对立事件的概率,即求即求“未涂红漆未涂红漆”的小木块的的小木块的概率概率,经分析知未涂红漆的小木块有经分析知未涂红漆的小木块有(4-2)3=8(个个),故至少一故至少一面涂有红漆的小木块有面涂有红漆的小木块有64-8=56(个个),所以所求事件的概率所以所求事件的概率 。