第26讲矩形菱形正方形

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1、第第26讲讲矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 矩形矩形 矩形矩形定定义有一个角是有一个角是_的平行四的平行四边形叫做矩形形叫做矩形矩形矩形的的性质性质对称性对称性矩形是一个矩形是一个轴对称称图形，它有两条形，它有两条对称称轴矩形是中心矩形是中心对称称图形，它的形，它的对称中心就是称中心就是对角角线的交点的交点定理定理(1)(1)矩形的四个角都是矩形的四个角都是_角；角；(2)(2)矩形的矩形的对角角线互相平分并且互相平分并且_推论推论在直角三角形中，斜在直角三角形中，斜边上的中上的中线等于等于_的一半的一半直角直角 直直相等相等

2、 斜边斜边 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦矩形的判定矩形的判定(1)(1)定定义法法(2)(2)有三个角是直角的四有三个角是直角的四边形是矩形形是矩形(3)(3)对角角线_的平行四的平行四边形是矩形是矩形形拓展拓展(1)(1)矩形的两条矩形的两条对角角线把矩形分成四把矩形分成四个面个面积相等的的等腰三角形；相等的的等腰三角形；(2)(2)矩形的面矩形的面积等于两等于两邻边的的积相等相等 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 菱形菱形 菱形菱形定定义有一有一组_相等的平行四相等的平行四边形是菱形形是菱形菱形的菱形的性性质对称性称性菱形是菱形是轴对称称图形，两条形，两条对角角线所在所在的直

3、的直线是它的是它的对称称轴菱形是中心菱形是中心对称称图形，它的形，它的对称中心称中心是两条是两条对角角线的交点的交点定理定理(1)(1)菱形的四条菱形的四条边_；(2)(2)菱形的两条菱形的两条对角角线互相互相_平平分，并且每条分，并且每条对角角线平分平分_邻边邻边 相等相等 垂直垂直 一组对角一组对角 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦菱形的菱形的判定判定(1)(1)定定义法法(2)(2)四条四条边_的四的四边形是菱形形是菱形(3)(3)对角角线互相互相_的平行四的平行四边形是形是菱形菱形菱形面菱形面积(1)(1)由于菱形是平行四由于菱形是平行四边形，所以菱形的形，所以菱形的面面积底底高高(2)

4、(2)因因为菱形的菱形的对角角线互相垂直平分，所互相垂直平分，所以其以其对角角线将菱形分成将菱形分成4 4个全等三角形，个全等三角形，故菱形的面故菱形的面积等于两等于两对角角线乘乘积的的_._.相等相等 垂直垂直一半一半 考点考点3 3 正方形正方形 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦正方形的正方形的定定义有一有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行相等，且有一个角是直角的平行四四边形叫做正方形形叫做正方形正方形的正方形的性性质(1)(1)正方形正方形对边_(2)(2)正方形四正方形四边_(3)(3)正方形四个角都是正方形四个角都是_(4)(4)正方形正方形对角角线相等，互相相等，互相_，每条，每条

5、对角角线平分一平分一组对角角(5)(5)正方形既是正方形既是轴对称称图形也是中心形也是中心对称称图形，形，对称称轴有四条，有四条，对称中心是称中心是对角角线的交点的交点正方形的正方形的判定判定(1)(1)有一有一组邻边相等的矩形是正方形相等的矩形是正方形(2)(2)有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形平行平行 相等相等 直角直角 垂直平分垂直平分 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦判定正方形的思路图：判定正方形的思路图：考点考点4 4 中点四边形中点四边形 第第26讲讲 考点聚焦考点聚焦定定义顺次次连接四接四边形各形各边中点所得的四中点所得的四边形，我形，我们称之称之为中中点四

6、点四边形形常常见结论顺次次连接四接四边形各形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是形是平行四平行四边形形顺次次连接矩形各接矩形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是形是_顺次次连接菱形各接菱形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是形是_顺次次连接正方形各接正方形各边中点所得到的四中点所得到的四边形是形是_顺次次连接等腰梯形各接等腰梯形各边中点所得的四中点所得的四边形是形是_顺次次连接接对角角线相等的四相等的四边形各形各边中点所得到的四中点所得到的四边形形是是_顺次次连接接对角角线互相垂直的四互相垂直的四边形所得到的四形所得到的四边形是形是_菱形菱形 矩形矩形 正方形正方形 菱形菱形 菱形菱形矩

7、形矩形 第第26讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一矩形的性质及判定的应用类型之一矩形的性质及判定的应用 命题角度：命题角度：1. 矩形的性质；矩形的性质；2. 矩形的判定矩形的判定例例1 1 20122012扬州州如如图261，在四在四边形形ABCD中，中，ABBC，ABCCDA90，BEAD，垂足，垂足为E.求求证：BEDE.图261第第26讲讲 归类示例归类示例 解析解析 本本题综合考合考查全等三角形的判定与性全等三角形的判定与性质、矩形、矩形的判定与性的判定与性质，通，通过添加添加辅助助线构造全等三角形，根据构造全等三角形，根据“全等三角形的全等三角形的对应边相等相等”加以加

8、以证明明作作 CFBECFBE于于 F F， 得得 RtBCFRtBCF和和 矩矩 形形 FEDCFEDC， 先先 证 明明ABEBCFABEBCF，得得BEBECFCF，再再根根据据矩矩形形的的性性质说明明DEDECFCF即可即可第第26讲讲 归类示例归类示例证明：如图，作证明：如图，作CF BE于于F，BFCCFE90. BE AD，AEBBED90.ABEA90.而而ABEFBC90，AFBC.又又ABBC，ABEBCF(AAS)，BECF.在四边形在四边形FEDC中，中，BEDCFECDE90，四边形四边形FEDC是矩形，是矩形，CFDE.又又BECF，BEDE.第第26讲讲 归类示例

9、归类示例变式式题 20132013包包头如如图262，矩形矩形ABCD中，点中，点O是是BC中点，中点，AOD90，矩形，矩形ABCD的周的周长为20 cm，则AB的的长为() 图262D 第第26讲讲 归类示例归类示例 解析解析 ABCDABCD是矩形，是矩形，B BC C9090，ABABDC.DC.又又O O是是BCBC的中点，的中点，BOBOCOCO，ABODCOABODCO，AOAODO.DO.AODAOD9090，OADOADODAODA4545，BAOBAOAOBAOB4545，ABABOB.OB.设ABABx x，则BCBC2x2x，2(x2(x2x)2x)2020， 矩矩形形

10、是是特特殊殊的的平平行行四四边形形，它它具具有有平平行行四四边形形的的所所有有性性质，同同时也也具具有有特特殊殊的的性性质；同同时，判判定定矩矩形形的的方方法法也也是是多多样的的，可可以以先先判判定定这个个四四边形形是是平平行行四四边形，然后判定是矩形，也可以直接判定是矩形形，然后判定是矩形，也可以直接判定是矩形第第26讲讲 归类示例归类示例 类型之二类型之二菱形的性质及判定的应用菱形的性质及判定的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 菱形的性质；菱形的性质；2. 2. 菱形的判定菱形的判定第第26讲讲 归类示例归类示例 例例2 2 2012南通南通菱形菱形ABCD中，中，B60，点，点E在在

11、边BC上，点上，点F在在边CD上上(1)如如图263，若，若E是是BC的中点，的中点，AEF60，求，求证：BEDF；(2)如如图263，若，若EAF60，求，求证：AEF是等是等边三三角形角形图26263 3第第26讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1)(1)根据菱形的性根据菱形的性质证得得ABCABC是等是等边三角三角形，运用等腰三角形的性形，运用等腰三角形的性质和判定，通和判定，通过证明角相明角相等来等来证明明线段段CECE，CFCF相等，最相等，最终证明明BEBEDFDF；(2)(2)由由于于EAFEAF6060，要，要证AEFAEF是等是等边三角形，先要三角形，先要证明是等腰三角形

12、，要明是等腰三角形，要证两条两条边相等可以相等可以证它它们所在所在的两个三角形全等的两个三角形全等第第26讲讲 归类示例归类示例解：解：(1)连接连接AC，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ABBC.B60，ABC是等边三角形是等边三角形E是是BC的中点，的中点，AE BC.AEF60，FEC906030.C180B120，EFC30，FECEFC，CECF. BCCD，BCCECDCF，即，即BEDF.第第26讲讲 归类示例归类示例 在在证明明一一个个四四边形形是是菱菱形形时，要要注注意意判判别的的条条件件是是平平行行四四边形形还是是任任意意四四边形形若若是是任任意意四四边形形，则需需证四

13、四条条边都都相相等等；若若是是平平行行四四边形形，则需需利利用用对角角线互相垂直或一互相垂直或一组邻边相等来相等来证明明第第26讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 正方形的性质及判定的应用正方形的性质及判定的应用 例例3 3 20132013黄黄冈 如如图264，在正方形，在正方形ABCD中，中，对角角线AC、BD相交于点相交于点O，E、F分分别在在OD、OC上，且上，且DECF，连接接DF、AE，AE的延的延长线交交DF于点于点M.求求证：AMDF. 解析解析 根据根据DEDECFCF，可得出，可得出OEOEOFOF，继而而证明明AOEDOFAOEDOF，得出，得出OAEOAEODFO

14、DF，然后利用等角代，然后利用等角代换可得出可得出DMEDME9090，即可得出，即可得出结论第第26讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 正方形的性质的应用；正方形的性质的应用；2. 正方形的判定正方形的判定图26264 4第第26讲讲 归类示例归类示例第第26讲讲 归类示例归类示例 正方形是特殊的平行四正方形是特殊的平行四边形，形，还是特殊是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些些图形的所有性形的所有性质；正方形的判定方法有两条；正方形的判定方法有两条道路：道路：(1)先判定四先判定四边形是矩形，再判定形是矩形，再判定这个个矩形是菱形；矩形是

15、菱形；(2)先判定四先判定四边形是菱形，再判形是菱形，再判定定这个菱形是正方形个菱形是正方形 类型之四特殊平行四边形的综合应用类型之四特殊平行四边形的综合应用 例例4 4 20132013娄底娄底 如如图264，在矩形，在矩形ABCD中，中，M、N分分别是是AD、BC的中点，的中点，P、Q分分别是是BM、DN的中点的中点(1)求求证：MBANDC；(2)四四边形形MPNQ是什么是什么样的特殊四的特殊四边形？形？请说明理由明理由第第26讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2. 矩形、菱形、正方形的关系转化矩形、菱

16、形、正方形的关系转化图26264 4第第26讲讲 归类示例归类示例第第26讲讲 回归教材回归教材中点四边形中点四边形 回归教材回归教材教材母题教材母题江苏科技版八上江苏科技版八上P102例例1 如如图266，在四在四边形形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是是AB、BC、CD、DA的中点四的中点四边形形EFGH是平行四是平行四边形形吗？为什什么？么？图266第第26讲讲 回归教材回归教材解：四解：四边形形EFGHEFGH是平行四是平行四边形形连接接AC.AC.在在ABCABC中，中，因因为E E、F F分分别是是ABAB、BCBC的中点，的中点，即即EFEF是是ABCABC的中位的中位线所以

17、所以EFACEFAC，EFEF0.5AC.0.5AC.理由是：理由是：“三角形的中位三角形的中位线平行于第三平行于第三边，并且等于它的一半，并且等于它的一半”在在ADCADC中，中，同理可以得到同理可以得到HGACHGAC，HGHG0.5AC.0.5AC.所以所以EFHGEFHG，EFEFHG.HG.所以四所以四边形形EFGHEFGH是平行四是平行四边形形理由是：理由是：“一一组对边平行且相等的四平行且相等的四边形是平行四形是平行四边形形”第第26讲讲 回归教材回归教材 点析点析顺次次连接四接四边形各形各边中点所得到的新四中点所得到的新四边形形的形状与原四的形状与原四边形形对角角线的关系的关系(相等、垂直、相等且垂相等、垂直、相等且垂直直)有关有关 20132013邵阳邵阳 在四在四边形形ABCD中，中，E、F、G、H分分别是是AB、BC、CD、DA的中点，的中点，顺次次连接接EF、FG、GH、HE.(1)请判断四判断四边形形EFGH的形状，并的形状，并给予予证明；明；(2)试添添加加一一个个条条件件，使使四四边形形EFGH是是菱菱形形(写写出出你你所所添添加加的条件，不要求的条件，不要求证明明)第第26讲讲 回归教材回归教材图26265 5中考变式第第26讲讲 回归教材回归教材