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1、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x
2、(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:目录 上页 下页 返回 结束 求电容器两两极板间电压 例例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .解解: 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t) , 自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板上 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 目录
3、上页 下页 返回 结束 串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得目录 上页 下页 返回 结束 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 (二阶线性微分方程)例例1例例2 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理定理1.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的
4、通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为
5、0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关相关(证明略)线性无关目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为则目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解, 又Y 中含
6、有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解目录 上页 下页 返回 结束 常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线
7、性无关 . (反证法可证)目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 目录 上页 下页 返回 结束 *四、常数变易法四、常数变易法复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: 设的解为 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:目录 上页 下页 返回 结束 令于是将以上结果代入方程 : 得故, 的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 积分得:
8、代入 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明说明: 将的解设为 只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件, 方程的引入是为了简化计算.方程3 方程, 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2. 仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解: 方程3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.的通解为 的通解.解解: 将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组: 故所求通解为积分得 目录 上页 下页 返回 结束 解上述可降阶微分方程,可得通解:例例6.的通解.解解: 对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得故原方程通解为 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P331 题1, 3, 4 (2), (5) 作业作业 P 331 *6, *8 第七节
