自动控制原理第三章

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1、 3 3 自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式， 分析系统的稳定性、暂态响应和稳态精度。分析系统的稳定性、暂态响应和稳态精度。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法， 所以时域分析具有所以时域分析具有直观、准确直观、准确的优点。的优点。并且可以提供系统时间并且可以提供系统时间 响应的全部信息。响应的全部信息。 系统输出量的时域表示可由微分方程式得到，也可由传系统输出量的时域表示可由微分方程式得到，也可由传 递函数得到。在初值为

2、零时，一般都利用传递函数进行研究，递函数得到。在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究， 用传递函数间接的评价系统的性能指标。用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系具体是根据闭环系 统传递函数的统传递函数的极点极点和和零点零点来分析系统的性能来分析系统的性能。此时也称为。此时也称为复复 频域分析。频域分析。1、 什么是时域分析什么是时域分析? 传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点 零点零点传递函数分子多项式的根，称为系统的零点；传递函数分子多项式的根，称为系统的零点；( -z i ) 极点极点传递函数分母多项式的根，称为系统的极点。传递函数分母多项式的根，称为系统的极点。(

3、-pi ) 一般零点、极点可为实数，也可为共轭复数。一般零点、极点可为实数，也可为共轭复数。 公式中的公式中的 K称为放大系数。称为放大系数。 在一定初始条件下，高阶在一定初始条件下，高阶 方程与二阶方程的时间响应方程与二阶方程的时间响应 比较：比较：2. 在工程应用中微分方程求解法的局限性在工程应用中微分方程求解法的局限性（1）高阶方程求解困难。）高阶方程求解困难。（2）实际工程问题要求选择系统参数，改变系统结构。）实际工程问题要求选择系统参数，改变系统结构。（3）很难区分影响系统运动规律的主、次因素。很难区分影响系统运动规律的主、次因素。因此，从工程角度来看，准确求解没有必要。因此，从工程

4、角度来看，准确求解没有必要。 3、分析控制系统的任务、分析控制系统的任务 （1）判断系统是否稳定；）判断系统是否稳定； （2）分析系统动态性能的好坏。）分析系统动态性能的好坏。 比较三个随动系统当输入量变化时，系统的动态性能比较三个随动系统当输入量变化时，系统的动态性能受控量跟随输受控量跟随输入变化时间慢入变化时间慢 受控量变化快受控量变化快但不能及时停住但不能及时停住受控量能较受控量能较好地跟随输好地跟随输入量变化入量变化 3.1 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标3.3.1 对控制性能的要求对控制性能的要求 稳定、准确和快速三个方面。稳定、准确和快速三个方面。 3.3.2 自动控

5、制系统的典型输入信号自动控制系统的典型输入信号 1）阶跃函数）阶跃函数 其拉氏变换后的像函数为：其拉氏变换后的像函数为：A - 阶跃幅度，阶跃幅度，A=1 称为称为单位阶跃函数，记为单位阶跃函数，记为 2 2） 斜坡函数（速度阶跃函数）：斜坡函数（速度阶跃函数）：A=1时，称为单时，称为单位斜坡函数。位斜坡函数。其拉氏变换后的像函数为：其拉氏变换后的像函数为：3 3） 抛物线函数（加速度阶跃函数）：抛物线函数（加速度阶跃函数）： 其拉氏变换后的像函数为：其拉氏变换后的像函数为： 时，称为时，称为 单位抛物线函数单位抛物线函数。 4 4） 脉冲函数脉冲函数 脉冲函数定义脉冲函数定义： 脉冲函数是

6、矩形脉动函数当其宽度脉冲函数是矩形脉动函数当其宽度 趋于零时的极限趋于零时的极限 ，这是一个宽度为零，幅值为无穷这是一个宽度为零，幅值为无穷大，面积为大，面积为A的极限脉冲。的极限脉冲。 脉冲函数的拉氏变换：脉冲函数的拉氏变换：在在 处的单位脉冲函数用处的单位脉冲函数用 来表示，它满足如下条件：来表示，它满足如下条件： 单位脉冲函数可看作单位阶跃函数的倒数，即单位脉冲函数可看作单位阶跃函数的倒数，即 反之，单位脉冲函数反之，单位脉冲函数 的积分就是单位阶跃函数。的积分就是单位阶跃函数。 单位脉冲函数：单位脉冲函数： 面积面积 A = 1 时脉冲函数，称为单位脉冲函数时脉冲函数，称为单位脉冲函数

7、 。 其拉氏变换后的像函数为其拉氏变换后的像函数为于是，强度为于是，强度为A的脉冲函数的脉冲函数 可表示为可表示为 单位脉冲函数单位脉冲函数上述几种典型函数有如下关系：上述几种典型函数有如下关系： 3.2 3.2 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应-3.3.1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型其闭环传递函数为：式中：式中： , , 称为时间常数。称为时间常数。 单位脉冲 函数单位阶跃函数单位斜坡函数单位抛物线 函数积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分3.2.2 单位阶跃响应函数单位阶跃响应函数：计算调节时间 ：解之得： 可见，可见，调节时间只与时间常数调节时间只与时间常数 有

8、关。有关。 这是一个单调上升的响应，见下图。瞬态性能指标只有调节时间这是一个单调上升的响应，见下图。瞬态性能指标只有调节时间T例例 3-1 （1）求调节时间）求调节时间 （2）若要求）若要求 ，求系统反馈系数应取多少？，求系统反馈系数应取多少？解解:（1）首先求传递函数：）首先求传递函数：（2）设满足）设满足 的反馈系数为的反馈系数为 3.3 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 如图所示为位置随动系统的原理图（原教材例题）如图所示为位置随动系统的原理图（原教材例题）本系统中设传动比本系统中设传动比 减速器减速器手柄手柄解：该系统的任务是控制有粘性摩擦力解：该系统的任务是控制有粘性摩擦力 和转

9、动惯量和转动惯量 的负载，的负载， 使其位置与输入手柄位置协调。使其位置与输入手柄位置协调。由上述分析可得如图所示的位置随动系统的结构图：由上述分析可得如图所示的位置随动系统的结构图： 系统的开环传递函数：系统的开环传递函数： 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：解：输入为：解：输入为： 输出为：输出为： 将上式转换成二阶系统闭环传递函数的标准形式将上式转换成二阶系统闭环传递函数的标准形式二阶系统传递函数的标准形式：二阶系统传递函数的标准形式：-如图所示为典型的单位反馈系统的结构图：如图所示为典型的单位反馈系统的结构图： 注意：当注意：当 不同时，特征根（极点）有不同的形式，不同时，特征根

10、（极点）有不同的形式， 其阶跃响应的形式也不同。阶跃响应有振荡其阶跃响应的形式也不同。阶跃响应有振荡 和非振荡两种情况。和非振荡两种情况。 3.3.1 典型二阶系统的暂态特性典型二阶系统的暂态特性系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：二阶系统的闭环传递函数为二阶系统的闭环传递函数为当 时，特征根： 1. 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。3.3.1.1 过阻尼（过阻尼（ ）的情况）的情况 特点：特点：由由 明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量明显看出，暂态响应曲线应由稳态分量和暂态分量 组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决

11、于指数的组成。暂态分量又包含两项衰减的指数项，衰减的快慢取决于指数的 大小。指大小。指 数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶数大者衰减快，对最终输出影响小，若将其忽略，二阶 系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时系统的暂态响应就近似为一阶系统。故此时电路的输出量为单调上电路的输出量为单调上 升曲线。升曲线。特征方程还可为:式中于是闭环传函为：这里 因此因此, , 过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同两个时间常数不同的惯性环节惯性环节 的串联，其单位阶跃响应为: 当 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为称为 欠阻尼系统欠阻尼系统，系统的阶跃响应为

12、，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。衰减的振荡过程。 特征根：其阶跃输入下的暂态响应：其阶跃输入下的暂态响应：具体步骤如下：具体步骤如下： 求阶跃输入下的暂态响应求阶跃输入下的暂态响应注意注意： 此时特征根此时特征根的负实部（的负实部（ ）决定了指数）决定了指数衰减的快慢，虚部衰减的快慢，虚部 是振荡频率，是振荡频率，称称 为阻尼振荡角频率。为阻尼振荡角频率。 特点：特点：此时特征方程有此时特征方程有两个共轭复数根。两个共轭复数根。输出输出 经短时经短时间的周期振荡后，最终趋于平衡。振荡的程度与阻尼比间的周期振荡后，最终趋于平衡。振荡的程度与阻尼比有关，有关， 值越小，振荡越强。值越小，振荡越强

13、。（ 暂态曲线和根的分布如下暂态曲线和根的分布如下：） 时，根的分布：时，根的分布：如图在如图在 的情况下，二阶系统暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的情况下，二阶系统暂态响应的暂态分量为一按指数衰减的简谐振动时间函数。下图为以的简谐振动时间函数。下图为以 为参变量的二阶系统暂态响应曲线：为参变量的二阶系统暂态响应曲线： 当当 时，特征方程时，特征方程有一对相等的负实根有一对相等的负实根，称为，称为临界阻尼临界阻尼 系统，系统的阶跃响应为系统，系统的阶跃响应为非振荡过程非振荡过程。当 时，由此，系统的暂态响应仍为一条上升曲线。由此，系统的暂态响应仍为一条上升曲线。阶跃响应曲线为：阶跃响应曲线为：

14、4 4、当、当 ， 特征方程特征方程有一对共轭的虚根有一对共轭的虚根，称为，称为零零( (无无) )阻阻 尼尼系统，系统的阶跃响应为系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡持续的等幅振荡。当 时，阶跃响应曲线为：阶跃响应曲线为： 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭纯虚根 3.3.2 二阶系统暂态特性指标二阶系统暂态特性指标1. 上升时间上升时间根据定义， 当 时， 在在 期间，期间，解得

15、：解得： 与与 对上升时间的影响：当对上升时间的影响：当 一定时，阻尼比一定时，阻尼比 越大，越大， 则上升时间则上升时间 越长；当越长；当 一定时，一定时， 越大，则越大，则 越短。越短。 峰值时间峰值时间 ：当 时，整理得：由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：3. 最大超调量最大超调量将峰值时间 代入故：故： 值越小，超 调量越大。 调节时间调节时间 根据调节时间的定义：当当 时，时， 忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05或或0.02时，过渡时，过渡过程即进行完毕。则有：过程即进行完毕。则有：由此求得调节时间为：由此求得调节时间为：注意事项

16、参考教材注意事项参考教材Page6667 。 振荡次数 ： 3.3.3 二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系 通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望系 统的 阻尼系数在01之间。而不希望处于过阻尼情况 ，此时 调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调量，（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于 情况。注意：注意：q阻尼比 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判 断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单 调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作 等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。总结总结 :q在欠阻

17、尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大， 振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。 注意到 只与 有关，所以一般根据 来选 择 。 q q为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8，则超调量 在25%1.5%之间。q 越大， （当 一定时）3.3.4 二阶工程最佳参数二阶工程最佳参数由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼比。 开环：开环：闭环：闭环：二阶系统的标准式：二阶系统的标准式：单位阶跃输入下的暂态性能指标如下：单位阶跃输入下的暂态性能指标如下：最大超调量：最大超调量：上升时间：上升时间：调节时间：调节时间：例题例题3 - 2如图所示为单

18、位反馈随动系统，如图所示为单位反馈随动系统，已知：已知：求求（1） （2） （3） （4）如果）如果 ，应怎样改变，应怎样改变 值？值？ 例题例题3 - 3 在上题中，为改善系统暂态响应，满足单位阶跃输入在上题中，为改善系统暂态响应，满足单位阶跃输入下系统超调量下系统超调量 的要求，加入了微分负反馈的要求，加入了微分负反馈 求微分时间求微分时间 3.3.5 零极点对二阶系统暂态性能的影响零极点对二阶系统暂态性能的影响 3.3.5.1 具有零极点的二阶系统的暂态特性分析具有零极点的二阶系统的暂态特性分析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，( 和 不变)。其闭环传递函数为：闭环传递函数为

19、：零点为：零点为： 显然，系统的闭环传递函为具有零点显然，系统的闭环传递函为具有零点 的二阶系统。的二阶系统。其等效结构图为：其等效结构图为：输出的拉氏变换为：输出的拉氏变换为：其中：其中：故故:具有零点的二阶系统阶跃响应为：具有零点的二阶系统阶跃响应为：闭环零极点在闭环零极点在S S平面上的分布平面上的分布 为极点与零点间的距离，为极点与零点间的距离，如图可确定其位置。如图可确定其位置。闭环零极点在闭环零极点在S S平面上的分布平面上的分布图中： 求得典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃暂态响应如下：求得典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃暂态响应如下：分析分析结论结论： 当阻尼比当阻尼比 为定

20、值时，为定值时， 值越小，即零点越靠近虚轴，值越小，即零点越靠近虚轴， 值就越大，振荡性越强；反之，如值就越大，振荡性越强；反之，如 值越大，即零点离值越大，即零点离虚轴越远，则虚轴越远，则 值值 越小。越小。 总之，闭环传递函数零点的存在，总之，闭环传递函数零点的存在， 使系统振荡性增强。使系统振荡性增强。由上图可看出：由上图可看出： 使得使得 比比 响应迅速且有较大超调量响应迅速且有较大超调量。2. 二阶系统加极点的暂态响应二阶系统加极点的暂态响应闭环传递函数的标准形式如下：闭环传递函数的标准形式如下：其中其中 是负实是负实数极点数极点 与共与共轭复数极点的负实部轭复数极点的负实部之比。之

21、比。结论结论（1）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即）三阶系统的暂态响应由三部分组成，即 稳态分量稳态分量 由极点由极点 构成的指数函数项构成的指数函数项 由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量由共轭复数极点构成的二阶系统暂态响应分量 （2）当）当 时，系统的暂态特性主要由时，系统的暂态特性主要由 和和 决决 定，系统呈现二阶系统的特性。定，系统呈现二阶系统的特性。 当当 时，系统的暂态特性主要由时，系统的暂态特性主要由 决定，决定， 系统呈现一阶系统特性。系统呈现一阶系统特性。 （3）一般情况下，）一般情况下， ，因此具有负实数极点的，因此具有负实数极点的 三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱

22、，而三阶系统，其暂态特性的振荡性减弱，而 和和 增长，增长， 减小，相当于系统的惯性增加了。减小，相当于系统的惯性增加了。 三阶系统的极点分布图三阶系统的极点分布图第五节第五节 系统的稳定性和系统的稳定性和 代数稳定判据代数稳定判据 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部 一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发 散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统

23、稳定的措如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措 施，是自动控制理论的基本任务之一。施，是自动控制理论的基本任务之一。3.5.1 3.5.1 线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件稳定的充要条件和属性一、线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件 1、 稳定的基本概念：稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下， 离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时 间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定 的系统 。否则为不稳定的系统。 2、线性系统稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根（即传

24、递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。稳定的充要条件和属性 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长；单调增长； 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定不稳定的。 如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭纯虚根，它对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界稳定状态临界稳定状态和随遇平衡状

25、态随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定S平面平面充要条件说明注意：注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。点有关，与零点无关。 对于一阶系统，对于一阶系统， 只要只要 都大都大于零，系统是稳定的。于零，系统是稳定的。 对于二阶系统对于二阶系统，只有只有 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）负） 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了对于三阶或以上

26、系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。以下描述的代数稳定性判据。充要条件说明3.5.2 劳斯判据劳斯判据 这一判据是根据代数方程的各项系数，来确定方程具这一判据是根据代数方程的各项系数，来确定方程具 有有负实部根的数目负实部根的数目，同时还可以指出方程的，同时还可以指出方程的右半平面根的右半平面根的 个数个数的一种代数方法。的一种代数方法。劳斯判据劳斯判据1、劳斯表、劳斯表 劳斯表的前两行由特征方程的劳斯表的前两行由特征方程的系数组成系数组成第一行为第一行为1，3，5，项系数组成，项系数组成，第二行为第二行为2，4，6，项系数组成。项系数组成。劳斯表中各项的计算式为：劳斯判

27、据依次类推。可求得这一计算过程一直进行到行，且计算到每行其余的系数全部为零止。、劳斯判据的内容、劳斯判据的内容（1）特征方程的根都位于）特征方程的根都位于S平面左半部的平面左半部的充分必要件充分必要件： 劳斯表的第一列系数全部是正数。劳斯表的第一列系数全部是正数。（2）由劳斯表可得特征方程右半平面根的个数：）由劳斯表可得特征方程右半平面根的个数： 它等于劳斯表中第一列各元素符号改变的次数。它等于劳斯表中第一列各元素符号改变的次数。 例例3-4 系统的特征方程为：系统的特征方程为： 请问结论是什么？请问结论是什么？劳斯表第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个根在s的右半平面。补

28、充例题补充例题 1 方法二：方法二：方法一：方法一： 两种方法有什么不同？由此你得出什么结论？两种方法有什么不同？由此你得出什么结论？结论结论: 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性。用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性。劳斯表第一列有负数，系劳斯表第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个根在化两次，表示有两个根在s的右半平面。的右半平面。3、劳斯表的特殊情况、劳斯表的特殊情况例例 第一列劳斯表中某一行系数为零，而其余系数不全为零。第一列劳斯表中某一行系数为零，而其余系数不全为零。 处理办法处理办法：用很小的用很小的正数正数 代替零的那

29、一项，然后据此计代替零的那一项，然后据此计算出劳斯表中的其它项。若算出劳斯表中的其它项。若 与其上项或下项的符号相反，计与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。作一次符号变化。令 则 故第一列不全为正，系统不稳定；第一列各项的符号改变两次，s右半平面有两个根。劳斯表中劳斯表中 上面一行的首列和上面一行的首列和 下面一行的首列符号下面一行的首列符号相同，表明方程有一对纯虚根存在。相同，表明方程有一对纯虚根存在。例例 有特征方程：有特征方程：显然：显然：即即 劳斯表某行系数全为零的情况劳斯表某行系数全为零的情况表明表明 ： 特征方程具有大小相等，且特征方程具有大小相等，且位置位置对称于原点的根

30、。对称于原点的根。至少下述几种情况之一出现：至少下述几种情况之一出现： 如：如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚 根，或对称于虚轴的两对共轭复根。根，或对称于虚轴的两对共轭复根。处理办法 1）可将不为零的最后一行的系数组成可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程；辅助方程； 2）就此辅助方程式对就此辅助方程式对s求导，所得方程的系数用来求导，所得方程的系数用来 代替全零的行。大小相等，位置相反的根可以代替全零的行。大小相等，位置相反的根可以 通过求解辅助方程得到。通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数。辅助方程应为偶次数。 例例3-5 辅助方

31、程为： ，求导得：或： ，用1，3代替全零行即可。 此时系统是临界稳定临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。 从第一列各元素都大于零可见，好象系统是稳定的。注意此时还 要计算大小相等、位置相反的根后再来判稳。由辅助方程求得：1 6 81 6 81 3 03 8 01 33 81/3 8 4.利用劳斯判据分析一阶、二阶、三阶系统的充分必要条件利用劳斯判据分析一阶、二阶、三阶系统的充分必要条件三阶系统：三阶系统：（2）三阶系统：）三阶系统：特征方程所有系数均为正，且特征方程所有系数均为正，且一阶一阶系统：系统：二阶二阶系统：系统：（1）一阶、二阶系统：）一阶、二阶系统：特征方程所有系数均为正特征方

32、程所有系数均为正胡尔维茨判据3.5.3 胡尔维茨判据胡尔维茨判据设 系统的特征方程式为： 则 系统稳定的充要条件是 ，且由特征方程系数 构成的胡尔维茨行列式的各阶主子行列式全部为正。胡尔维茨行列式：胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 为止，然后在每一列内从上到下按下标递减的顺序填入其他系数，最后用零补齐。胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 为止，然后在每一列内从上到下按下标递减的顺序填入其他系数，最后用零补齐。胡尔维茨判据以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：胡尔维茨行列式为：稳定的充要条件是：胡尔维茨判据例例：系统

33、的特征方程为： 试用胡尔维茨定理判断。 解：系统的特征方程为： 列胡尔维茨行列式如下：列胡尔维茨行列式如下：故：系统是稳定的。故：系统是稳定的。3.5.4 讨论系统参数对稳定性的影响讨论系统参数对稳定性的影响目的目的应用代数稳定判据，分析系统参数变化对系统稳应用代数稳定判据，分析系统参数变化对系统稳 定性的影响，从而定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。给出使系统稳定的参数范围。 若讨论的参数为开环放大系数若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定，则使系统稳定 的最大的最大K值，称为临界放大系数值，称为临界放大系数例例1 ：已知系统的闭环传递函数如下：已知系统的闭环传递函数如下其中其中

34、为系统的开环放大系数。为系统的开环放大系数。 系统的特征方程式为：系统的特征方程式为：根据根据三阶系统三阶系统稳定的充分必要条件：稳定的充分必要条件：特征方程所有系数均为正，且满足：特征方程所有系数均为正，且满足：即：即：且：且：方程两边同除方程两边同除所以所以整理得：整理得：故：故：第一种情况，若取第一种情况，若取 则：则： 得得 （系统稳定的临界放大系数（系统稳定的临界放大系数) 则：则： (系统稳定的临界放大系数系统稳定的临界放大系数)第二种情况，若取第二种情况，若取 结论：将各时间常数的数值错开，系统可允许较大的开环结论：将各时间常数的数值错开，系统可允许较大的开环 放大倍数。放大倍数

35、。例题例题2：已知系统结构图，求参数：已知系统结构图，求参数 的稳定范围的稳定范围解：列出系统的闭环传递函数如下解：列出系统的闭环传递函数如下式中：式中：系统的特征方程为：系统的特征方程为： 由劳斯判据计算知，其第一列的由劳斯判据计算知，其第一列的 行出现负数，所以系统行出现负数，所以系统不稳定。不稳定。调整调整 ，可将特征方程变形如下：，可将特征方程变形如下：胡尔维茨行列式为：胡尔维茨行列式为：系统稳定的条件是：系统稳定的条件是：即：即：故有：故有：3.5.5 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量 所谓相对稳定性或稳定裕量所谓相对稳定性或稳定裕量是指系统距离稳定是指系统距离稳定 边界的余

36、量。边界的余量。 定义方法一：定义方法一：用闭环特征方程式每一对复数根的用闭环特征方程式每一对复数根的 阻尼比阻尼比 的大小。的大小。 定义方法二：用每一根的负实部的大小。定义方法二：用每一根的负实部的大小。检验系统是否具有检验系统是否具有 的稳定裕量的方法：的稳定裕量的方法：相当于把纵坐相当于把纵坐标轴向左位移距离标轴向左位移距离 ，然后判断其稳定性。，然后判断其稳定性。系统的特征方式为系统的特征方式为 举例如下举例如下（ 见见教材教材Page82 ）补充例题：补充例题： 已知系统的结构图，为使系统特征方程的根的 实数 部分不大于 -1，试确定k值的取值范围。解：闭环特征方程为： 劳斯表：劳

37、斯表：现以 代入上式，得要使系统稳定，必须系数皆大于0，劳斯表第一列皆大于0所以，此时k的取值范围为定义：在稳态条件下，输出量的期望值与稳态值定义：在稳态条件下，输出量的期望值与稳态值 之间存在的误差。之间存在的误差。分类：分类：扰动误差扰动误差用来衡量恒值系统的稳态品质。用来衡量恒值系统的稳态品质。 给定误差给定误差用来衡量随动系统的稳态品质。用来衡量随动系统的稳态品质。 3.6 稳态误差稳态误差+ 如图为第二章如图为第二章 图图2-42当当 称称 为误差传递函数。为误差传递函数。根据拉氏变换的终值定理，求得扰动作用下的稳态误差：根据拉氏变换的终值定理，求得扰动作用下的稳态误差：3.6.1

38、扰动稳态误差扰动稳态误差-+终值定理要求 和 可拉氏变换； 存在；并且除在原点处可以有极点外， 的所有极点都在 s平面的左半平面。即即只有稳定的系统，才可计算稳态误差只有稳定的系统，才可计算稳态误差。系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量系统扰动误差决定于系统的误差传递函数和扰动量 对于恒值系统，典型的扰动量为单位阶跃函数，对于恒值系统，典型的扰动量为单位阶跃函数，即：即： ， 求得扰动作用下的稳态误差：求得扰动作用下的稳态误差：分析：考虑给定量分析：考虑给定量 时，以扰动量时，以扰动量 为输入量化简

39、结构图：为输入量化简结构图：故：故： 例题如图例题如图3-27： 给出了一个具有给出了一个具有比例调节器比例调节器的的速度负反馈速度负反馈系统的动态系统的动态 结构图。结构图。解：1）求扰动误差的拉氏变换解：1）求扰动误差的拉氏变换当负载为阶跃函数时，当负载为阶跃函数时， ，则转速的稳态误差为：，则转速的稳态误差为： 显然，显然， 越大，则稳态误差越小，因此提高越大，则稳态误差越小，因此提高 是这一是这一系统减小稳态误差的主要方法系统减小稳态误差的主要方法 而而 的值决定于调节器的比例系数的值决定于调节器的比例系数 和速度反馈系数和速度反馈系数 等参量，因此提高等参量，因此提高 或增加速度反馈

40、强度都可以减或增加速度反馈强度都可以减 小稳态误差。但小稳态误差。但 太大也容易使系统不稳定。太大也容易使系统不稳定。 若要将上述有差系统转换为无差系统，若要将上述有差系统转换为无差系统， 可将系统中的比例调节器换成积分调节器可将系统中的比例调节器换成积分调节器将图将图3-28中的中的 换成换成 ，得：，得： 则此时系统的速度误差为：则此时系统的速度误差为：式中：式中： 当负载电流当负载电流 作阶跃变化时，有作阶跃变化时，有 由此可知，具有积分调节器的速度负反馈系统，当扰动量由此可知，具有积分调节器的速度负反馈系统，当扰动量为阶跃函数时，其稳态误差为零，是无差系统。因此，在开环为阶跃函数时，其

41、稳态误差为零，是无差系统。因此，在开环传递函数中，串联积分环节，可以消除阶跃扰动的稳定误差。传递函数中，串联积分环节，可以消除阶跃扰动的稳定误差。3.6.2 给定稳定误差和误差系数给定稳定误差和误差系数 1、误差的定义、误差的定义1）定义一）定义一 2）定义二）定义二 取系统输出量的实际值与期望值之差为误差。取系统输出量的实际值与期望值之差为误差。2、 的影响因素的影响因素 由定义一由定义一 可得误差传递函数为：可得误差传递函数为：-若单位反馈系统的开环放大系数可表示为：若单位反馈系统的开环放大系数可表示为：式中式中 为开环传递函数中串联的积分环节的阶次。为开环传递函数中串联的积分环节的阶次。

42、系统的稳态误差取决于以下因素：系统的稳态误差取决于以下因素： 1）给定量（输入信号的形式）；）给定量（输入信号的形式）； 3）积分环节）积分环节 的数目。的数目。2）开环增益）开环增益 值的大小；值的大小；结论：结论：3、系统的类型、系统的类型 通常，系统按它的开环传递函数中所含通常，系统按它的开环传递函数中所含积分环节积分环节 的个数的个数分类。分类。N=0 ，0 型系统；型系统；N=1 ，1 型系统；型系统；N=2 ，2 型系统。型系统。4、典型输入情况下系统的给定稳态误差分析、典型输入情况下系统的给定稳态误差分析（1） 令位置误差系数令位置误差系数 为为故以下分析不同类型系统的以下分析不

43、同类型系统的 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。 稳态误差为零的系统称为无差系统无差系统，为有限值的称为有差有差系统系统。在单位阶跃作用下， 的系统为有差系统， 的系统为无差系统。（2）式中速度稳态误差系数：式中速度稳态误差系数： 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 根据 计算的稳态误差是系统在跟踪速度输入时 位置上的误差。（2） 当输入为 时（单位加速度函数）式中： 称为加速度误差系数； 不同类型系统的稳态误差：不同类型系统的稳态误差： 根据 计算的稳态误差是系统在跟踪加速

44、度阶跃输入时 位置上的误差。当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即当系统的输入信号由位置，速度和加速度分量组成时，即 的大小反映了系统在抛物线输入下的稳态精度。 越 大， 越小。所以说 反映了系统跟踪抛物线输入的能力。给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同形式的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益有关；对有差系统， ，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。小结：小结： 由此可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。 各型系统在不同输入情况下各型系统在不

45、同输入情况下 的稳态误差系数和给定稳态误差汇总表的稳态误差系数和给定稳态误差汇总表 1 t 系统 0 型 型 型目的：目的：减小给定作用减小给定作用 的稳态误差。的稳态误差。 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：3.6.3 减小稳态误差的方法减小稳态误差的方法一、引入输入补偿一、引入输入补偿 方法：方法：由输入端引入由输入端引入 作为补偿矫正装置，对系统作为补偿矫正装置，对系统进行开环控制环节。工程上称进行开环控制环节。工程上称 为前馈控制器。为前馈控制器。 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：变换结构图变换结构图又：又：二、引入扰动补偿二、引入扰动补偿目的：目的：减小扰动作用减小扰动

46、作用 的稳态误差。的稳态误差。 方法：方法：由扰动输入端由扰动输入端 通过通过 引入补偿这一控引入补偿这一控 制环节。此时，系统的扰动误差就是给定量为制环节。此时，系统的扰动误差就是给定量为 零时系统的输出量。若此时全补偿就是希望零时系统的输出量。若此时全补偿就是希望 为零。为零。变换结构图变换结构图-+令令相加点相加点 前移前移 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：若若 随动系统的补偿实例：随动系统的补偿实例：补偿前结构图补偿前结构图误差传递函数误差传递函数输入函数为输入函数为开环传递函数开环传递函数速度误差系数速度误差系数系统的稳态误差系统的稳态误差补偿后结构图补偿后结构图变换结构变换

47、结构相加点相加点前移前移+闭环传递函数闭环传递函数误差传递函数误差传递函数若取若取输入函数为输入函数为则则系统的稳态误差系统的稳态误差此时，原来的此时，原来的型系统提高为型系统提高为型系统，其等效开环传递函数型系统，其等效开环传递函数- 本章小结本章小结练习：练习：1、设某温度计的动态特性可用一惯性环节、设某温度计的动态特性可用一惯性环节 来描述。用该温度计测量容器内的水温，发现来描述。用该温度计测量容器内的水温，发现1min 后温度计的示值为实际水温的后温度计的示值为实际水温的98%。若给容器加热，。若给容器加热， 使水温以使水温以10/min的速度线性上升，试计算该温度计的速度线性上升，试计算该温度计 的稳态指示误差。的稳态指示误差。