[工学]工程力学静力学与材料力学7A弯曲强度1剪力图与弯矩图

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1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN Qin-Shan s Education & Teaching Studio 范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室Tuesday, August 27, 2024Tuesday, August 27, 2024工程力学工程力学( (静力学与材料力学静力学与材料力学）清华大学清华大学清华大学清华大学 范钦珊范钦珊范钦珊范钦珊课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件(7)(7)返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 第第7 7章章A 弯曲强度弯曲强度

2、(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 工程力学工程力学（静力学与材料力学）（静力学与材料力学）第二篇第二篇 材料力学材料力学返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 杆杆杆杆件件件件承承承承受受受受垂垂垂垂直直直直于于于于其其其其轴轴轴轴线线线线的的的的外外外外力力力力或或或或位位位位于于于于其其其其轴轴轴轴线线线线所所所所在在在在平平平平面面面面内内内内的的的的力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用时时时时，其其其其轴轴轴轴线线线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成曲曲曲曲线线线线，这这这这种种种种受受受受力力力力与与与与变变变变形形形形形形形形式式式式称称称称为为为为弯弯弯弯

3、曲曲曲曲（bendingbending）。主主主主要要要要承承承承受受受受弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的杆杆杆杆件件件件称称称称为为为为梁梁梁梁（beambeam）。）。）。）。 在在在在外外外外力力力力作作作作用用用用下下下下，梁梁梁梁的的的的横横横横截截截截面面面面上上上上将将将将产产产产生生生生剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩两两两两种种种种内力。内力。内力。内力。 在在在在很很很很多多多多情情情情形形形形下下下下，剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩沿沿沿沿梁梁梁梁长长长长度度度度方方方方向向向向的的的的分分分分布布布布不不不不是是是是均匀的。均匀的。均匀的。均匀的。 对对对对梁

4、梁梁梁进进进进行行行行强强强强度度度度计计计计算算算算，需需需需要要要要知知知知道道道道哪哪哪哪些些些些横横横横截截截截面面面面可可可可能能能能最最最最先先先先发发发发生生生生失失失失效效效效，这这这这些些些些横横横横截截截截面面面面称称称称为为为为危危危危险险险险面面面面。弯弯弯弯矩矩矩矩和和和和剪剪剪剪力力力力最最最最大大大大的的的的横横横横截截截截面面面面就就就就是是是是首首首首先先先先需需需需要要要要考考考考虑虑虑虑的的的的危危危危险险险险面面面面。研研研研究究究究梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形和和和和刚刚刚刚度度度度虽虽虽虽然然然然没没没没有有有有危危危危险险险险面面面面的的的的问

5、问问问题题题题，但但但但是是是是也也也也必必必必须须须须知知知知道道道道弯弯弯弯矩矩矩矩沿沿沿沿梁梁梁梁长长长长度度度度方方方方向向向向是是是是怎样变化的。怎样变化的。怎样变化的。怎样变化的。 第第第第7 7 7 7章章章章A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 弯弯弯弯曲曲曲曲时时时时，由由由由于于于于横横横横截截截截面面面面上上上上应应应应力力力力非非非非均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布，失失失失效效效效当当当当然然然然最最最最先先先先从从从从应应应应力力力力最最最最大

6、大大大点点点点处处处处发发发发生生生生。因因因因此此此此，进进进进行行行行弯弯弯弯曲曲曲曲强强强强度度度度计计计计算算算算不不不不仅仅仅仅要要要要考考考考虑虑虑虑内内内内力力力力最最最最大大大大的的的的“ “危危危危险险险险截截截截面面面面” ”，而而而而且且且且要要要要考考考考虑虑虑虑应应应应力力力力最最最最大大大大的的的的点点点点，这些点称为这些点称为这些点称为这些点称为“ “危险点危险点危险点危险点” ”。 绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数细细细细长长长长梁梁梁梁的的的的失失失失效效效效，主主主主要要要要与与与与正正正正应应应应力力力力有有有有关关关关，剪剪剪剪应应应应力力力力的的的的影

7、影影影响响响响是是是是次次次次要要要要的的的的。本本本本章章章章将将将将主主主主要要要要确确确确定定定定梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上正正正正应应应应力力力力以以以以及及及及与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。 本本本本章章章章首首首首先先先先介介介介绍绍绍绍如如如如何何何何建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程；怎怎怎怎样样样样根根根根据据据据剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程绘绘绘绘制制制制剪剪剪剪力力力力图图图图与与与与弯弯弯弯矩矩

8、矩矩图图图图，讨讨讨讨论论论论载载载载荷荷荷荷、剪剪剪剪力力力力、弯弯弯弯矩矩矩矩之之之之间间间间的的的的微微微微分分分分关关关关系系系系及及及及其其其其在在在在绘绘绘绘制制制制剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图中中中中的的的的应应应应用用用用；然然然然后后后后应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡、变变变变形形形形协协协协调调调调以以以以及及及及物物物物性性性性关关关关系系系系，建建建建立立立立确确确确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲强度设计方法。定弯曲的应力和变形公式；最

9、后介绍弯曲强度设计方法。 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其

10、与外力的相互关系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY工程中可以看作梁的杆件是

11、很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: : : : 桥式吊车的大梁桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重的简支梁。在起吊重量量(集中力集中力FP)及大梁及大梁自身重量自身重量(均布载荷均布载荷q)的作用下的作用下,大梁将发生大梁将发生弯曲。弯曲。 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSIT

12、Y工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: : : : 石油、化工设备中各种直立式反应塔石油、化工设备中各种直立式反应塔石油、化工设备中各种直立式反应塔石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定底部与地面固定底部与地面固定底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。作用下，反应塔将发生弯曲变形。作用下，

13、反应塔将发生弯曲变形。作用下，反应塔将发生弯曲变形。 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: : : : 火车轮轴支撑在铁轨上，火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可铰链支座，因此，火车轮轴

14、可以简化为两端外伸梁。由于轴以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装自身重量与车厢以及车厢内装载的人与货物的重量相比要小载的人与货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。火车轮轴将发生弯曲变形。 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下

15、两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？边各开一个半圆孔可以吗？ 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？梁为什么做成变截面的？ 孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理孔开在哪里最合理? ?

16、梁为什么可以开孔梁为什么可以开孔梁为什么可以开孔梁为什么可以开孔？ 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY

17、工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 第

18、第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 应用平衡的概念和截面法

19、，不仅可以确定梁上应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上应用平衡的概念和截面法，不仅可以确定梁上任意横截面上的内力任意横截面上的内力任意横截面上的内力任意横截面上的内力剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确剪力和弯矩，而且可以确定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。定剪力和弯矩沿梁长度方向的变化规律。 平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。平衡包括：整体平衡和局部平衡。第第第第7 7 7 7章章章章A A

20、 A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 刚刚体体平平衡衡概概念念的的扩扩展展和和延延伸伸：总总体体平平衡衡，则则其其任任何何局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1

21、)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 刚刚体体平平衡衡概概念念的的扩扩展展和和延延伸伸：总总体体平平衡衡，则则其其任任何何局部也必然是平衡的。局部也必然是平衡的。总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念总体平衡与局部平衡的概念 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TS

22、INGHUA UNIVERSITY应用截面法可以确定杆件任意横截面上的应用截面法可以确定杆件任意横截面上的应用截面法可以确定杆件任意横截面上的应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量内力分量内力分量内力分量 用假想截面从所要求用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部的截面处将杆截为两部分分 考察其中任意一部分考察其中任意一部分的平衡的平衡 由平衡方程求得横截由平衡方程求得横截面的内力分量面的内力分量FQM 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯

23、曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上应用截面法和平衡的概念，不难证明：当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。突变时，剪

24、力和弯矩的变化规律也将发生变化。 所所所所谓谓外力突外力突外力突外力突变变，是指有集中力、集中力偶作用，是指有集中力、集中力偶作用，是指有集中力、集中力偶作用，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布以及分布以及分布以及分布载载荷荷荷荷间间断或分布断或分布断或分布断或分布载载荷集度荷集度荷集度荷集度发发生突生突生突生突变变的情形。的情形。的情形。的情形。 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪

25、力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；上的外力相平衡； 在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；律变化； 杆件内力变化的一般规律杆件内力变化的一般规律杆件内力变化的一般规律杆件内力变化的一般规律 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪

26、力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 根据以上分析，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论：根据以上分析，不难得到结论： 杆杆杆杆件件件件各各各各截截截截面面面面上上上上内内内内力力力力变变变变化化化化规规规规律律律律随随随随着着着着外外外外力力力力的变化而改变。的变化而改变。的变化而改变。的变化而改变。 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)

27、(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外变化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段力作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段力作用点之间的梁上没有

28、其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方梁所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。程或者同一图线描述。 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY描述内力

29、变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法：描述内力变化规律有两种方法： 1. 1. 1. 1. 数学方程数学方程数学方程数学方程剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程；剪力方程与弯矩方程； 2. 2. 2. 2. 图形图形图形图形剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。两种描述方法都要：两种描述方法都要：两种描述方法都要：两种描述方法都要： 1. 1. 1. 1. 确定变化区间；确定变化区间；确定变化区间；确定变化区间； 2. 2. 2. 2. 遵循正负号规则。遵循正负号规则。遵循正负号规则。遵循正负号规则。 梁的内

30、力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 根根据据以以上上分分析析，在在一一段段杆杆上上，内内力力按按某某一一种种函函数数规规律律变变化化，这这一一段段杆杆的的两两个个端端截截面面称称为为控控制制面面（control cross-section）。）。据此，下列截面均可为控制面：据此，下列截面均可为控制面： 集中力作用点的两侧截面；

31、集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。 变化区间变化区间变化区间变化区间控制面控制面控制面控制面 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力、集中力偶集中力、集

32、中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。 变化区间变化区间变化区间变化区间控制面控制面控制面控制面 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩剪力与弯矩的正负号规则的正负号规则的正负号规则的正负号规则 剪剪剪剪力力力力F FQQ( (F FQQy y或

33、或或或F FQQz z) ) ) )的的的的确确确确定定定定：使使使使截截截截开开开开部部部部分分分分杆杆杆杆件件件件产产产产生生生生顺顺顺顺时时时时针针针针方方方方向向向向转转转转动动动动者者者者为为为为正正正正；逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向转转转转动者为负。动者为负。动者为负。动者为负。 FQFQ 弯弯弯弯矩矩矩矩MM( ( ( (MMy y或或或或MMz z) ) ) )的的的的确确确确定定定定：使使使使梁梁梁梁产产产产生生生生上上上上凹凹凹凹、下下下下凸凸凸凸变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负。变形的弯矩为正；反之为负。 梁的内力及

34、其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYFNFNFQFQ 梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系梁的内力及其与外力的相互关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSI

35、NGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程 指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立 第第第第7 7 7 7章章章章A

36、A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 指定横截面上弯矩和剪力的确定指定横截面上弯矩和剪力的确定 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯应用截面法确定某一指定横截面上的剪力和弯矩，首先，需要用假想横截

37、面从指定横截面处将梁矩，首先，需要用假想横截面从指定横截面处将梁截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，截为两部分。然后，考察其中任意一部分的受力，由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。由平衡条件，即可得到该截面上的剪力和弯矩。 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7

38、 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPll例例例例 题题题题 1 1ABCD 一一一一端端端端固固固固定定定定另另另另一一一一端端端端自自自自由由由由的的的的梁梁梁梁 ， 称称称称 为为 悬悬悬悬 臂臂臂臂 梁梁梁梁 ( (cantilever cantilever beambeam) )。梁梁梁梁承承承承受受受受集集集集中中中中力力力力F FP P及及及及集集集集中力偶中力偶中力偶中力偶MMO O的的的的作用。作用。作用。作用。MO=2FPl 试试确确确确定定定定: :截截截截面面面面

39、C C及及及及截截截截面面面面D D上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩。C C、D D截截截截面面面面与与与与加力点无限接近。加力点无限接近。加力点无限接近。加力点无限接近。 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPFPllABCDMO=2FPl 解解解解：1. 1. 应应应应用用用用静静静静力力力力学学学学平平平平衡衡衡衡方方方方程确定程

40、确定程确定程确定固定端固定端固定端固定端的约束力。的约束力。的约束力。的约束力。 2. 2. 应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定C C截截截截面面面面上上上上的内力分量的内力分量的内力分量的内力分量 用用用用假假假假想想想想截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁C C截截截截面面面面处处处处截截截截开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。 因因因因为为为为外外外外力力力力与与与与梁梁梁梁轴轴轴轴线线线线都都都都在在在在同同同同一一一一平平平平面面面面内内内内，而而而而且且且且没没没没有有有有沿沿沿沿杆杆杆杆件件件件

41、轴轴轴轴线线线线方方方方向向向向的的的的外外外外力力力力作作作作用用用用，所所所所以以以以横横横横截截截截面面面面上上上上没没没没有有有有轴轴轴轴力力力力和和和和扭扭扭扭矩矩矩矩，只只只只有有有有剪剪剪剪力和弯矩两种内力分量。力和弯矩两种内力分量。力和弯矩两种内力分量。力和弯矩两种内力分量。MA0AClFPMA0TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FQCMCFP

42、MA0FPllABCDMO=2FPl 解解解解： 2. 2. 应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定C C截截截截面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量CAFPlMA0 假假假假设设设设截截截截开开开开横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩均均均均为为为为正正正正方方方方向向向向。根根根根据据据据截截截截开开开开的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：所所所所得得得得结结结结果果果果均均均均为为为为正正正正值值值值，这这这这表表表表明明明明所所所所假假假假设设设

43、设的的的的C C截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的正方向是正确的。正方向是正确的。正方向是正确的。正方向是正确的。TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解解解： 3. 3. 应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定D D截截截截面上的内力分量面上的内力分量面上

44、的内力分量面上的内力分量AFPMA0llMO=2FPlD 用用用用假假假假想想想想截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁D D截截截截面面面面处处处处截截截截开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。开，以左边部分为平衡对象。TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解解解解： 3. 3. 应应应

45、应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定D D截截截截面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量面上的内力分量 假假假假设设设设截截截截开开开开横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩均均均均为为为为正正正正方方方方向向向向。根根根根据据据据截截截截开开开开的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：因因因因为为为为D D截截截截面面面面无无无无限限限限接接接接近近近近B B截截截截面面面面，所所所所以式中以式中以式中以式中MDFQDAFPMA0llMO=2FPlDTSINGHUA UNIVE

46、RSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 解：解：解：解： 4. 4. 讨论讨论讨论讨论 本本本本例例例例中中中中所所所所选选选选择择择择的的的的研研研研究究究究对对对对象象象象都都都都是是是是C C、 D D截截截截面面面面以以以以左左左左部部部部分分分分梁梁梁梁，因因因因而而而而需需需需要要要要首首首首先先先先确确确确定定定定左左左左端端端端的的的的约约约约束束束束力力力力。如如如如果果果果

47、以以以以C C、 D D截截截截面面面面以以以以右右右右部部部部分分分分梁梁梁梁作作作作为为为为平平平平衡衡衡衡对对对对象象象象，则则则则无无无无需需需需确确确确定定定定约约约约束束束束力力力力，计算过程会更简单。计算过程会更简单。计算过程会更简单。计算过程会更简单。FPMA0FPllABCDMO=2FPl例例例例 题题题题 1 1TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程和弯矩方程的建立剪力方程和弯矩方程的建立 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪

48、力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 为为了建立剪力方程和弯矩方程，必了建立剪力方程和弯矩方程，必了建立剪力方程和弯矩方程，必了建立剪力方程和弯矩方程，必须须首先建立首先建立首先建立首先建立OxyOxy坐标系，坐标系，坐标系，坐标系，其中其中其中其中O O为为为为坐标原点，坐标原点，坐标原点，坐标原点，x x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O O一般取一般取一般取一般取在梁的左端，在梁的左端，在梁的左端，在梁的左端，x x坐标轴的正方向自左至右，坐标

49、轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，y y坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。 建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程时时，需要根据梁上的外力，需要根据梁上的外力，需要根据梁上的外力，需要根据梁上的外力( ( ( (包括包括包括包括载载荷和荷和荷和荷和约约束力束力束力束力) ) ) )作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方

50、程。及分几段建立剪力方程和弯矩方程。及分几段建立剪力方程和弯矩方程。及分几段建立剪力方程和弯矩方程。 确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这设这一横截面的坐一横截面的坐一横截面的坐一横截面的坐标为标为x x；然后从然后从然后从然后从这这一横截面一横截面一横截面一横截面处处将梁截开，并假将梁截开，并假将梁截开，并假将梁截开，并假设设所截开的横截面上的剪力所截开的横截面上的剪力所截开的横截面上的剪力所截开的横截面上的剪力F FQQ(

51、(x x) )和弯矩和弯矩和弯矩和弯矩MM( (x x) )都是正方向；最后都是正方向；最后都是正方向；最后都是正方向；最后分分分分别应别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力F FQQ( (x x) )和弯矩和弯矩和弯矩和弯矩MM( (x x) )的表达式，的表达式，的表达式，的表达式，这这就是所要求的剪力方程就是所要求的剪力方程就是所要求的剪力方程就是所要求的剪力方程F FQQ( (x x) )和弯矩方和弯矩方和弯矩方和弯矩方程程程程MM( (x x)

52、 )。 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程建立剪力方程和弯矩方程的的的的方法方法方法方法与与与与过过程程程程，实际实际上与前面所介上与前面所介上与前面所介上与前面所介绍绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和的确定指定横

53、截面上的剪力和弯矩的方法和过过程是相似的，所程是相似的，所程是相似的，所程是相似的，所不同的，不同的，不同的，不同的，现现在的指定横截面是坐在的指定横截面是坐在的指定横截面是坐在的指定横截面是坐标为标为x x的横截面。的横截面。的横截面。的横截面。 需需需需要要要要特特特特别别别别注注注注意意意意的的的的是是是是，在在在在剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程中中中中，x x是是是是变变变变量量量量，而而而而F FQQ( (x x) )和和和和MM( (x x) )则是则是则是则是x x的函数的函数的函数的函数。 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与

54、弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 例例例例 题题题题 2 2 悬悬悬悬臂臂臂臂梁梁梁梁在在在在B B、C C两两两两处处处处分分分分别别别别承承承承受受受受集集集集中中中中力力

55、力力F FP P和和和和集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶MM2 2 2 2F FP Pl l 的的的的作用。梁的全长为作用。梁的全长为作用。梁的全长为作用。梁的全长为2 2l l。 试写出：试写出：试写出：试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。梁的剪力方程和弯矩方程。梁的剪力方程和弯矩方程。梁的剪力方程和弯矩方程。 FPllABC CMO=2FPlTSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图

56、剪力图与弯矩图 解：解：解：解：1 1确定控制面和分段确定控制面和分段确定控制面和分段确定控制面和分段 本本本本例例例例将将将将通通通通过过过过考考考考察察察察截截截截开开开开截截截截面面面面的的的的右右右右边边边边部部部部分分分分平平平平衡衡衡衡建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，因因因因此此此此可可可可以以以以不不不不必必必必确确确确定定定定左左左左端端端端的的的的约约约约束束束束力。力。力。力。 2 2建立建立建立建立OxyOxy坐标系坐标系坐标系坐标系 以以以以梁梁梁梁的的的的左左左左端端端端A A为为坐坐坐坐标标原原原原点点点点，

57、建立建立建立建立OxyOxy坐坐坐坐标标系系系系。 由由由由于于于于梁梁梁梁在在在在固固固固定定定定端端端端A A处处处处作作作作用用用用有有有有约约约约束束束束力力力力、自自自自由由由由端端端端B B处处处处作作作作用用用用有有有有集集集集中中中中力力力力、中中中中点点点点C C处处处处作作作作用用用用有有有有集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶，所所所所以以以以，截截截截面面面面A A、B B、C C均均均均为为为为控控控控制制制制面面面面。因因因因此此此此，需需需需要要要要分分分分为为为为ACAC和和和和CBCB两两两两段段段段建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力和和和和弯矩方程。弯矩方程。弯矩

58、方程。弯矩方程。 FPllABMO=2FPlC CO Oy yx xTSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 解解解解：3 3建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩方程矩方程矩方程矩方程FPllABMO=2FPlO Oy yx xC Cx x1 1x x2 2 在在在在ACAC和和和和CBCB两两两两段段段段分分分分别别别别以以以以坐坐坐坐

59、标标标标为为为为x x1 1和和和和x x2 2的的的的横横横横截截截截面面面面将将将将梁梁梁梁截截截截开开开开，并并并并在在在在截截截截开开开开的的的的横横横横截截截截面面面面上上上上，假假假假设设设设剪剪剪剪力力力力F FQQ( (x x1 1) )、F FQQ( (x x2 2) )和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩MM( (x x1 1) )、MM( (x x2 2) )都都都都是是是是正正正正方方方方向向向向，然然然然后后后后考考考考察察察察截截截截开开开开的的的的右右右右边边边边部部部部分分分分梁梁梁梁的的的的平平平平衡衡衡衡，由由由由平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程即即即即可可可可确确确确

60、定定定定所所所所需需需需要要要要的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程和弯矩方程。程和弯矩方程。程和弯矩方程。程和弯矩方程。 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 解解解解：3 3建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩方程矩方程矩方程矩方程F FQQ( (x x) )MM( (x x) ) 对对对对于于于于ACAC段段段段梁梁梁梁的的的的剪

61、剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，在在在在x x1 1处处处处截截截截开开开开后后后后，考考考考察察察察右右右右边边边边部分的平衡。部分的平衡。部分的平衡。部分的平衡。FPllABMO=2FPlO Oy yx xC CFPMO=2FPll2l x1C CB 根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程 x x1 1TSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪

62、力图与弯矩图 解解解解：3 3建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩方程矩方程矩方程矩方程得到得到得到得到ACAC段段段段的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程： F FQQ( (x x1 1) )MM( (x x1 1) )FPMO=2FPll2l x1C CBTSINGHUA UNIVERSITY 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯

63、矩图 F FQQ( (x x2 2) )MM( (x x2 2) ) 解解解解：3 3建建建建立立立立剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩方程矩方程矩方程矩方程得到得到得到得到CBCB段段段段的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程的剪力方程与弯矩方程： FPllABMO=2FPlO Oy yx xC CFP2l x2B 上上上上述述述述结结结结果果果果表表表表明明明明，ACAC段段段段和和和和CBCB段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程是是是是相相相相同同同同的的的的；弯弯弯弯矩矩矩矩方程不同，但都是方程不同，但都是方程不同，但都是方程不同，但都

64、是x x的线性函数。的线性函数。的线性函数。的线性函数。 对对对对于于于于CBCB段段段段梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，在在在在x x2 2处处处处截截截截开开开开后后后后，考考考考察察察察右右右右边边边边部分的平衡。部分的平衡。部分的平衡。部分的平衡。 根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程根据平衡方程 x x2 2TSINGHUA UNIVERSITY 一一一一端端端端为为为为固固固固定定定定铰铰铰铰链链链链支支支支座座座座、另另另另一一一一端端端端为为为为辊辊辊辊轴轴轴轴支支支支座座座座的的的的梁梁梁梁，称称称称为为为为简简简简支支支支梁梁梁梁(

65、 ( ( (simple simple supported supported beambeam) ) ) )。梁梁梁梁上上上上承承承承受受受受集集集集度度度度为为为为q q的的的的均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，梁的长度为梁的长度为梁的长度为梁的长度为2 2 2 2l l。 试写出：试写出：试写出：试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。该梁的剪力方程和弯矩方程。该梁的剪力方程和弯矩方程。该梁的剪力方程和弯矩方程。 ql ll lBAC例题例题例题例题 3 3 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯

66、曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：1 1确定约束力确定约束力确定约束力确定约束力l ll lBACqF FR RB BF FR RA A 因因因因为为为为只只只只有有有有铅铅铅铅垂垂垂垂方方方方向向向向的的的的外外外外力力力力，所所所所以以以以支支支支座座座座A A的的的的水水水水平平平平约约约约束束束束力力力力等等等等于于于于零零零零。又又又又因因因因为为为为梁梁梁梁的的的的结结结结构构构构及及及及受受受受力力力力都都都都是是是是对对对对称称称称的的的的，故故故

67、故支支支支座座座座A A与与与与支支支支座座座座B B处处处处铅铅铅铅垂方向的约束力相同。垂方向的约束力相同。垂方向的约束力相同。垂方向的约束力相同。 于是，根据平衡条件不难求得：于是，根据平衡条件不难求得：于是，根据平衡条件不难求得：于是，根据平衡条件不难求得： 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYO Oy yx x解：解：解：解：2 2确定控制面和分段确定控制

68、面和分段确定控制面和分段确定控制面和分段 因因因因为为为为梁梁梁梁上上上上只只只只作作作作用用用用有有有有连连连连续续续续分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷( (载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度没没没没有有有有突突突突变变变变) )，没没没没有有有有集集集集中中中中力力力力和和和和集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶的的的的作作作作用用用用，所所所所以以以以，从从从从A A到到到到B B梁梁梁梁的的的的横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩可可可可以以以以分分分分别别别别用用用用一一一一个个个个方方方方程程程程描描描描述述述述，因因因因而而而而无无无无需需需

69、需分分分分段段段段建建建建立立立立剪剪剪剪力方程和弯矩方程。力方程和弯矩方程。力方程和弯矩方程。力方程和弯矩方程。 l ll lBACqF FR RB BF FR RA A 3 3建立建立建立建立OxyOxy坐标系坐标系坐标系坐标系 以以以以梁梁梁梁的的的的左左左左端端端端A A为为坐坐坐坐标标原原原原点点点点，建立建立建立建立OxyOxy坐坐坐坐标标系系系系， 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 T

70、SINGHUA UNIVERSITYx xx xF FR RA AF FQQ( (x x) )MM( (x x) )O Oy yx xl ll lBACqF FR RB BF FR RA A 解解解解：4 4确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩方程矩方程矩方程矩方程由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 以以以以A A、B B之之之之间间间间坐坐坐坐标标标标为为为为x x的的的的任任任任意意意意截截截截面面面面为为为为假假假假想想想想截截截截面面面面，将将将将梁梁梁梁截截截截开开开开，取取取取左左左左段段段段为为为为研研研研究究究

71、究对对对对象象象象，在在在在截截截截开开开开的的的的截截截截面面面面上上上上标标标标出出出出剪剪剪剪力力力力F FQQ( (x x) )和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩MM( (x x) ) ) )的正方向。的正方向。的正方向。的正方向。 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYO Oy yx xl ll lBACqF FR RB BF FR RA A 解解解解：4 4确确确

72、确定定定定剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩方程矩方程矩方程矩方程 由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 得到梁的剪力方程和弯矩方得到梁的剪力方程和弯矩方得到梁的剪力方程和弯矩方得到梁的剪力方程和弯矩方 程分别为程分别为程分别为程分别为 这这这这一一一一结结结结果果果果表表表表明明明明，梁梁梁梁上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程是是是是x x的的的的线线线线性性性性函函函函数数数数；弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程是是是是x x的二次函数。的二次函数。的二次函数。的二次函数。 x xF FQQ( (x x) )MM( (x x)

73、 )F FR RA A 剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程剪力方程与弯矩方程第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 载荷集度、剪力、弯矩之间的载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 绘绘绘绘制制制制剪剪剪剪

74、力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图有有有有两两两两种种种种方方方方法法法法：第第第第一一一一种种种种方方方方法法法法是是是是：根根根根据据据据剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程，在在在在F FQQ-x-x和和和和M-xM-x坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中首首首首先先先先标标标标出出出出剪剪剪剪力力力力方方方方程程程程和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程定定定定义义义义域域域域两两两两个个个个端端端端点点点点的的的的剪剪剪剪力力力力值值值值和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值值值值，得得得得到到到到相相相相应应应应的的的的点点点点；然然然然后后后后

75、按按按按照照照照剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩方方方方程程程程的的的的类类类类型型型型，绘绘绘绘制制制制出出出出相相相相应应应应的的的的图图图图线线线线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。便得到所需要的剪力图与弯矩图。便得到所需要的剪力图与弯矩图。便得到所需要的剪力图与弯矩图。 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA

76、 UNIVERSITY 绘绘绘绘制制制制剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图的的的的第第第第二二二二种种种种方方方方法法法法是是是是：先先先先在在在在F FQQ- - - -x x和和和和MM- - - -x x坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中标标标标出出出出控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值，然然然然后后后后应应应应用用用用载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度、剪剪剪剪力力力力、弯弯弯弯矩矩矩矩之之之之间间间间的的的的微微微微分分分分关关关关系系系系，确确确确定定定定控控控控制制制制面面面面之之之之间间间间的的的的

77、剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图线线线线的的的的形形形形状状状状，因因因因而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 根根根根据据据据相相相相距距距距d

78、 d d dx x x x的的的的两两两两个个个个横横横横截截截截面面面面截截截截取取取取微微微微段段段段的的的的平平平平衡衡衡衡，可可可可以以以以得得得得到到到到载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度、剪剪剪剪力力力力、弯弯弯弯矩矩矩矩之之之之间间间间存存存存在在在在下下下下列列列列的的的的微分关系：微分关系：微分关系：微分关系： 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪

79、力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY将将将将F FQQ( (x x) )对对对对x x求一次导数，将求一次导数，将求一次导数，将求一次导数，将MM( (x x) )对对对对x x求一次和二次导数，得到求一次和二次导数，得到求一次和二次导数，得到求一次和二次导数，得到 O Oy yx xl ll lBACqF FR RB BF FR RA A 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1

80、)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY式式式式中中中中等等等等号号号号右右右右边边边边的的的的负负负负号号号号，是是是是由由由由于于于于作作作作用用用用在在在在梁梁梁梁上上上上的的的的均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷是是是是向向向向下下下下的的的的。因因因因此此此此规规规规定定定定：对对对对于于于于向向向向上上上上的的的的均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷，微微微微分分分分关关关关系系系系式式式式中中中中的的的的载载载载荷荷荷荷集度集度集度集度q q为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度为正

81、值；对于向下的均布载荷，载荷集度为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度q q为负值为负值为负值为负值。 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 上上上上述述述述微微微微分分分分关关关关系系系系，也也也也说说说说明明明明剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图图图图图线线线线的的的的几何形

82、状与作用在梁上的载荷集度有关。几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪剪剪剪力力力力图图图图的的的的斜斜斜斜率率率率等等等等于于于于作作作作用用用用在在在在梁梁梁梁上上上上的的的的均均均均布

83、布布布载载载载荷荷荷荷集集集集度度度度；弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。在某一点处的斜率等于对应截面处剪力的数值。 如如如如果果果果一一一一段段段段梁梁梁梁上上上上没没没没有有有有分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，即即即即q q0 0，这这这这一一一一段段段段梁梁梁梁上上上上剪剪剪剪力力力力的的的的一一一一阶阶阶阶导导导导数数数数等等等等于于于于零零零零，弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的一一一一阶阶阶阶导导导导数数数数等等等等于于于于常常常常数数数数，因因因因此此此此，

84、这这这这一段梁的剪力图为平行于一段梁的剪力图为平行于一段梁的剪力图为平行于一段梁的剪力图为平行于x x轴的水平直线；弯矩图为斜直线。轴的水平直线；弯矩图为斜直线。轴的水平直线；弯矩图为斜直线。轴的水平直线；弯矩图为斜直线。 如如如如果果果果一一一一段段段段梁梁梁梁上上上上作作作作用用用用有有有有均均均均布布布布载载荷荷荷荷，即即即即q q常常常常数数数数，这这一一一一段段段段梁梁梁梁上上上上剪剪剪剪力力力力的的的的一一一一阶阶导导数数数数等等等等于于于于常常常常数数数数，弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的一一一一阶阶导导数数数数为为x x的的的的线线性性性性函函函函数数数数，因因因因此，此，此，此，这这

85、一段梁的剪力一段梁的剪力一段梁的剪力一段梁的剪力图为图为斜直斜直斜直斜直线线；弯矩；弯矩；弯矩；弯矩图为图为二次抛物二次抛物二次抛物二次抛物线线。 弯弯弯弯矩矩矩矩图图二二二二次次次次抛抛抛抛物物物物线线的的的的凸凸凸凸凹凹凹凹性性性性与与与与载载荷荷荷荷集集集集度度度度q q的的的的正正正正负负有有有有关关关关：当当当当q q为为正正正正( (向向向向上上上上) )时时，抛抛抛抛物物物物线线为为凹凹凹凹曲曲曲曲线线，凹凹凹凹的的的的方方方方向向向向与与与与MM坐坐坐坐标标正正正正方方方方向向向向一一一一致致致致，：当当当当q q为为负负( (向向向向下下下下) )时时，抛抛抛抛物物物物线线为

86、为凸凸凸凸曲曲曲曲线线，凸凸凸凸的的的的方方方方向向向向与与与与MM坐坐坐坐标标正方向一致。正方向一致。正方向一致。正方向一致。 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)

87、剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 作作作作用用用用在在在在梁梁梁梁上上上上的的的的平平平平面面面面载载载载荷荷荷荷如如如如果果果果不不不不包包包包含含含含纵纵纵纵向向向向力力力力，这这这这时时时时梁梁梁梁的的的的横横横横截截截截面面面面上上上上只只只只有有有有剪剪剪剪力力力力F FQQ和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩MM两两两两种种种种内内内内力力力力分分分分量量量量。表表表表示示示示剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩沿沿沿沿梁梁梁梁轴轴轴轴线线线线方方方方向向向向变变变变化化化化的的的的图图图图形形形形，分分分分别别别别称

88、称称称为为为为剪剪剪剪力力力力图图图图（diagram diagram of of shearing shearing forcesforces）和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图（diagram diagram of of bending momentbending moment）。）。）。）。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪剪剪剪力力力力图图图图与与与与弯弯弯弯矩矩

89、矩矩图图图图的的的的绘绘绘绘制制制制方方方方法法法法与与与与轴轴轴轴力力力力图图图图和和和和扭扭扭扭矩矩矩矩图图图图大大大大体体体体相相相相似，但略有差异。主要步骤如下：似，但略有差异。主要步骤如下：似，但略有差异。主要步骤如下：似，但略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值( (假假假假定定定定剪

90、剪剪剪力力力力和弯矩都为正方向和弯矩都为正方向和弯矩都为正方向和弯矩都为正方向) )。 建建建建立立立立F FQ Q - - x x 和和和和M M x x 坐坐坐坐标标标标系系系系，并并并并将将将将控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩值标在相应的坐标系中。矩值标在相应的坐标系中。矩值标在相应的坐标系中。矩值标在相应的坐标系中。 应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡微微微微分分分分方方方方程程程程确确确确定定定定各各各各段段段段控控控控制制制制面面面面之之之之间间间间的的的的剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图的

91、形状，进而画出剪力图与弯矩图。图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYFA简简简简支支支支梁梁梁梁受受受受力力力力的的的的大大大大小小小小和和和和方方方方向向向向如如如如图图图图所示。所示。所示。所示。例例例例 题题题题 4 41kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m 试试

92、试试画画画画出出出出：其其其其剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图, , , ,并并并并确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩绝绝绝绝对对对对值值值值的最大值。的最大值。的最大值。的最大值。 解解解解：1 1确定约束力确定约束力确定约束力确定约束力求得求得求得求得A A、B B 两处的约束力两处的约束力两处的约束力两处的约束力 F FR RA A0.89 0.89 kNkN , , F FR RF F1.11 1.11 kNkN F FR RA AF FR RF F根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩

93、图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 解解解解：2 2确定控制面确定控制面确定控制面确定控制面 在在在在集集集集中中中中力力力力和和和和集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用处处处处的的的的两两两两侧侧侧侧截截截截面面面面以以以以及及及及支支支支座座座座反反反反力力力力内内内内侧侧侧侧截截截截面面面面均均均均为为为为控控控控制制制制面面面面，即即即即A A、B B、C C、D D、E E、F

94、F各截面均为控制面。各截面均为控制面。各截面均为控制面。各截面均为控制面。 3 3建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系 建建建建立立立立F FQQ- - x x和和和和M M - - x x坐坐坐坐标标标标系。系。系。系。 x xF FQQ/ /kNkNOx xMM/ /kN.mkN.mOB BC CD DE EFA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RF FF FR RA A 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)

95、剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线 因因因因为为为为梁梁梁梁上上上上无无无无分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，所所所所以以以以剪剪剪剪力力力力F FQQ图图图图形形形形均均均均为平行于为平行于为平行于为平行于x x轴的直线。轴的直线。轴的直线。轴的直线。x xF FQQ/ /kNkNOx xMM/ /kN.mkN.mO 解解解解：4 4应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪

96、力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值值值值，并并并并将将将将其其其其标标标标在在在在F FQQx x和和和和MMx x坐坐坐坐标标标标系中。系中。系中。系中。1.111.11f f0.890.89d d d,ed,e 1.665 1.665f f0 0b b1.3351.3351.111.11e eb b0.890.89,c ,ca a0 0a a0.890.89FA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RF FB BC CD DE EF FR RA A 弯弯弯弯矩矩矩矩MM图图图图形形形形均均均均为为为为斜斜斜斜直直直直线线线线。于于于于是是

97、是是，顺顺顺顺序序序序连连连连接接接接F FQQx x和和和和MMx x坐坐坐坐标标标标系系系系中中中中的的的的a a、b b、c c、d d、e e、f f各各各各点点点点，便便便便得得得得到到到到梁梁梁梁的的的的剪剪剪剪力图与弯矩图。力图与弯矩图。力图与弯矩图。力图与弯矩图。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 c c0.3350.335TSINGHUA UNIVERSITYx xF FQQ/ /kNkNOx

98、xMM/ /kN.mkN.mO1.111.11f f0.890.89d d d,ed,e 1.665 1.665f f0 0b b1.3351.3351.111.11e eb b0.890.89,c ,ca a0 0a a0.890.89FA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RF FB BC CD DE EF FR RA Ac c0.3350.335 5 5确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的最最最最大绝对值大绝对值大绝对值大绝对值 从从从从图图图图中中中中不不不不难难难难得得得得到到到到剪剪剪剪力力力力与与与

99、与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值的的的的最最最最大大大大值值值值分别为分别为分别为分别为 ( ( ( (发发生在生在生在生在EFEFEFEF段段段段) ) ) ) ( ( ( (发发生在生在生在生在D D、E E截面上截面上截面上截面上) ) ) ) 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 从从从从所所所所得得得得到到到到的的的的剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和

100、弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图中中中中不不不不难难难难看看看看出出出出ABAB段段段段与与与与CDCD段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力相相相相等等等等，因因因因而而而而这这这这两两两两段段段段内内内内的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图具具具具有有有有相相相相同同同同的斜率。的斜率。的斜率。的斜率。 此此此此外外外外，在在在在集集集集中中中中力力力力作作作作用用用用点点点点两两两两侧侧侧侧截截截截面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力是是是是不不不不相相相相等等等等的的的的，而而而而在在在在集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶作作作作用用用用处处处处两两两两侧侧侧侧截截截截面面面面上上上上的的的的弯弯弯弯

101、矩矩矩矩是是是是不不不不相相相相等等等等的的的的，其其其其差差差差值值值值分分分分别别别别为为为为集集集集中中中中力力力力与与与与集集集集中中中中力力力力偶偶偶偶的的的的数数数数值值值值，这这这这是是是是维维维维持持持持DEDE小小小小段段段段和和和和BCBC小小小小段段段段梁的平衡所必需的。梁的平衡所必需的。梁的平衡所必需的。梁的平衡所必需的。 建议大家自行验证。建议大家自行验证。建议大家自行验证。建议大家自行验证。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪

102、力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 x xF FQQ/ /kNkNOx xMM/ /kN.mkN.mO1.111.11f f0.890.89d d d,ed,e 1.665 1.665f f0 0b b1.3351.3351.111.11e eb b0.890.89,c ,ca a0 0a a0.890.89FA1kN.m1kN.m2kN2kN1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mF FR RF FB BC CD DE EF FR RA Ac c0.3350.335TSINGHUA UNIVERSITY例例例例 题题题题 5 5qBAD Da a4 4a aqaqaF FAyA

103、yF FByBy 梁梁梁梁由由由由一一一一个个个个固固固固定定定定铰铰链链支支支支座座座座和和和和一一一一个个个个辊辊轴轴支支支支座座座座所所所所支支支支承承承承，但但但但是是是是梁梁梁梁的的的的一一一一端端端端向向向向外外外外伸伸伸伸出出出出，这这种种种种梁梁梁梁称称称称为为外外外外伸伸伸伸梁梁梁梁( (overhanging overhanging beambeam) )。梁梁梁梁的的的的受受受受力力力力以以以以及及及及各各各各部部部部分分分分尺寸尺寸尺寸尺寸均示于均示于均示于均示于图图中。中。中。中。 试试试试画画画画出出出出：其其其其剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图图

104、图图, , , ,并并并并确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩绝绝绝绝对对对对值值值值的最大值。的最大值。的最大值。的最大值。 解：解：解：解：1 1确定约束力确定约束力确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得求得求得A A、F F 两处的约束力两处的约束力两处的约束力两处的约束力 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSIN

105、GHUA UNIVERSITYqBAD Da a4 4a aqaqaF FAyAyF FByByCO Ox xF FQQO Ox xMM 解解解解：2 2确定控制面确定控制面确定控制面确定控制面 由由由由于于于于ABAB段段段段上上上上作作作作用用用用有有有有连连连连续续续续分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷，故故故故A A、B B两两两两个个个个截截截截面面面面为为为为控控控控制制制制面面面面，约约约约束束束束力力力力F FByBy右右右右侧侧侧侧的的的的C C截截截截面面面面，以以以以及及及及集集集集中中中中力力力力qaqa左左左左侧侧侧侧的的的的D D截截截截面面面面，也都是控制面。也都是

106、控制面。也都是控制面。也都是控制面。 3 3建立坐标系建立坐标系建立坐标系建立坐标系 建建建建立立立立F FQQx x和和和和MMx x坐坐坐坐标系标系标系标系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYqaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF FByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqac cqaqaa ab,cb,cqaqa2

107、 2 解解解解：4 4确确确确定定定定控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值值值值，并并并并将将将将其其其其标标标标在在在在F FQQx x和和和和MMx x坐标系中。坐标系中。坐标系中。坐标系中。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 O Ox xF FQQO Ox xMMd dTSINGHUA UNIVERSITYqaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF

108、FByBy 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对对对对于于于于剪剪剪剪力力力力图图图图：在在在在ABAB段段段段上上上上，因因因因有有有有均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为一一一一斜斜斜斜直直直直线线线线，于于于于是是是是连连连连接接接接a a、b b两两两两点点点点，即即即即得得得得这这这这一一一一段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力图图图图；在在在在CDCD段段段段，因因因因无无无无分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，故故故故剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为平平平平行行行行于于于于x x

109、轴轴轴轴的的的的直直直直线线线线，由由由由连连连连接接接接c c、d d二二二二点点点点而而而而得得得得，或或或或者者者者由由由由其其其其中中中中任任任任一一一一点点点点作作作作平平平平行行行行于于于于x x轴轴轴轴的的的的直直直直线线线线而而而而得得得得到。到。到。到。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqac cqaqaa ab,cb,cq

110、aqa2 2O Ox xF FQQO Ox xMMd dTSINGHUA UNIVERSITY 5 5根根根根据据据据微微微微分分分分关关关关系系系系连连连连图图图图线线线线 对对对对于于于于弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图：在在在在ABAB段段段段上上上上，因因因因有有有有均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，图图图图形形形形为为为为二二二二次次次次抛抛抛抛物物物物线线线线。又又又又因因因因为为为为q q向向向向下下下下为为为为负负负负，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图为为为为凸凸凸凸向向向向MM坐坐坐坐标标标标正正正正方方方方向向向向的的的的抛抛抛抛物物物物线线线线。于于于于是是是是，ABAB

111、段段段段内内内内弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图的的的的形形形形状状状状便便便便大大大大致致致致确确确确定定定定。为为为为了了了了确确确确定定定定曲曲曲曲线线线线的的的的位位位位置置置置，除除除除ABAB段段段段上上上上两两两两个个个个控控控控制制制制面面面面上上上上弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值外外外外，还还还还需需需需要要要要确确确确定定定定在在在在这这这这一一一一段段段段内内内内二二二二次次次次抛抛抛抛物物物物线线线线有有有有没没没没有有有有极极极极值值值值点点点点，以以以以及及及及极极极极值值值值点点点点的的的的位位位位置置置置和和和和极极极极值值值值点点点点的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数

112、值值值值。从从从从剪剪剪剪力力力力图图图图上上上上可可可可以以以以看看看看出出出出，在在在在e e点剪力为零。点剪力为零。点剪力为零。点剪力为零。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 e ee eE EqaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF FByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqac cqaqaa ab,cb,cqaqa2 2O Ox xF FQQO Ox

113、 xMMd dTSINGHUA UNIVERSITYqA AE ExE 6 6确确确确定定定定弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图极极极极值值值值点点点点的位置的位置的位置的位置8181qaqa2 2/32/32 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 e ee eE EqaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF FByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqac cqaqaa ab

114、,cb,cqaqa2 2O Ox xF FQQO Ox xMMd dTSINGHUA UNIVERSITY 7 7确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的最最最最大绝对值大绝对值大绝对值大绝对值 从从从从图图图图中中中中不不不不难难难难得得得得到到到到剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值的的的的最最最最大大大大值值值值分别为分别为分别为分别为 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图

115、与弯矩图剪力图与弯矩图 8181qaqa2 2/32/32e ee eE EqaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF FByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqac cqaqaa ab,cb,cqaqa2 2O Ox xF FQQO Ox xMMd dTSINGHUA UNIVERSITY 注注注注意意意意到到到到在在在在右右右右边边支支支支座座座座处处，由由由由于于于于有有有有约约束束束束力力力力的的的的作作作作用用用用，该该处处剪剪剪剪力力力力图图有有有有突突突突变变（支支支支座座座座两两两两侧侧截截截截面面面面剪剪剪剪力力力力不不不不

116、等等等等），弯弯弯弯矩矩矩矩图图在在在在该该处处出出出出现现折折折折点点点点（弯弯弯弯矩矩矩矩图图的的的的曲曲曲曲线线段段段段在在在在该该处处的的的的切切切切线线斜斜斜斜率率率率不不不不等于斜直等于斜直等于斜直等于斜直线线cdcd的斜率）。的斜率）。的斜率）。的斜率）。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 8181qaqa2 2/32/32e ee eE EqaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF F

117、ByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqac cqaqaa ab,cb,cqaqa2 2O Ox xF FQQO Ox xMMd dTSINGHUA UNIVERSITYxQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq 例例例例 题题题题 6 6 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYqqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2

118、FQqq例例例例 题题题题 7 7 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYqqFQ例例例例 题题题题 8 8 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 剪力图与弯矩图

119、的绘制方法小结：剪力图与弯矩图的绘制方法小结：剪力图与弯矩图的绘制方法小结：剪力图与弯矩图的绘制方法小结： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值( (假假假假定定定定剪剪剪剪力力力力和弯矩都为正方向和弯矩都为正方向和弯矩都为正方向和弯矩都为正方向) )。 建建建建立立立立F FQQ一一一一x x和和和和MM一一一一x x

120、坐坐坐坐标标标标系系系系，并并并并将将将将控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值标在相应的坐标系中。值标在相应的坐标系中。值标在相应的坐标系中。值标在相应的坐标系中。 应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡微微微微分分分分方方方方程程程程确确确确定定定定各各各各段段段段控控控控制制制制面面面面之之之之间间间间的的的的剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图

121、第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷

122、集度之间微分关系的证明 关于弯曲内力的几点关于弯曲内力的几点关于弯曲内力的几点关于弯曲内力的几点重要结论重要结论重要结论重要结论 平衡微分关系的灵活应用平衡微分关系的灵活应用平衡微分关系的灵活应用平衡微分关系的灵活应用 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩 第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 一个重要概念一个重

123、要概念一个重要概念一个重要概念 三个微分方程三个微分方程三个微分方程三个微分方程 一套方法一套方法一套方法一套方法 关于弯曲内力的几点关于弯曲内力的几点关于弯曲内力的几点关于弯曲内力的几点重要结论重要结论重要结论重要结论 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎确定控制面上剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值

124、？ 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 将力系简化方法用于确定控制面上的剪力和弯矩将力系简化方法用于确定控制面上的剪力和弯矩F FP PaaFQ= FPM= FP aM= FM= FP P a aF FQQ= = F FP PF FP

125、 PF FP PF FP P a aM= FP aFQ= FP简化的直接结果简化的直接结果简化的直接结果简化的直接结果简化的间接结果简化的间接结果简化的间接结果简化的间接结果 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYdxxFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)考察考察 dx 微段的受力与平衡微段的受力与平衡 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷

126、集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 Oxydx 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITYFy=0:MC=0: 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 FQFQ+ dFQMM+d Mq(x)dxCOxy 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7

127、7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY略去高阶项，得到略去高阶项，得到 此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。的变化规律。Fy=0:MC=0: 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关

128、系的证明 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。的变化规律。 例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有平行于平行于x轴的直线轴的直线斜直线斜直线 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯

129、矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力F FQQ 、MM 的变化规律。的变化规律。的变化规律。的变化规律。 例如，如果两个相邻控制面之间作用有均

130、匀分布载荷，例如，如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，例如，如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，例如，如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，则有则有则有则有斜直线斜直线斜直线斜直线抛物线抛物线抛物线抛物线 剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论第第第第7 7 7 7章章章章A A A A 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度(1)(1)(1)(1)剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 TSINGHUA UNIVERSITY返回总目录返回总目录返回返回