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1、曲线和曲面上的积分Gauss公式1内容提要Gauss公式：Rn中n-1维双侧闭曲面S的(第二型)曲面积分和S所围区域上的积分之间的关系及其对有界区域的推广2Gauss定理设WRn中的有界闭区域 其边界W由有限多个分片光滑双侧曲面组成. F是定义在W上的光滑向量场. W的方向指向区域外侧,则下列Gauss公式成立其中 称作向量场F的散度.3Gauss定理示意图4Gauss定理的证明Gauss定理的一般证明与Green定理的证明类似, 将W分成满足下列形式的小区域Wk:的并, 先在每一个Wk上证明定理, 然后将结果加起来. 5Gauss定理的证明(续)这里仅对上面特殊区域证明定理. 设由公式右端出
2、发, 对每个 ,6Green定理证明(续1)有微积分基本定理和第二型曲面积分的定义7Gauss定理证明(续2)对i由1到n求和, 就得到Gauss公式8Gauss公式例1设S为Rn中的球面|x|=r, 向量场F(x)=x, 计算F关于S外侧的第二型曲面积分.解: div F = n, 因此9Gauss公式例2计算： 其中S为四面体: x+y+z1, x0, y0, z0表面的外侧.解: 向量场F=(x+1,y,1)的散度div F=2, 及四面体为W. 由Gauss公式10Green公式是Gauss公式平面上逆时针方向的简单闭曲线的切向量T=(T1,T2)与外法向量N=(N1,N2)的关系: N1=-T2, N2=-T1(P,Q)T=(Q,-P)N11n维分部积分公式设W是Rn中的有界分片光滑闭区域(即W分片光滑), F是W上的光滑向量场, g是W上的光滑实值函数, 则其中n(x)是W的单位外法向量场.12n维分部积分公式(续)特别F=(x)ek, 我们就得到分部积分公式13
