机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页 第一章第一章 实变函数初步实变函数初步 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页 第一节第一节 直线上点集的勒贝格测度与可测函数直线上点集的勒贝格测度与可测函数•勒贝格测度与勒贝格可测集勒贝格测度与勒贝格可测集•可测函数可测函数测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广•可测函数列的极限问题可测函数列的极限问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页 一、点集的勒贝格测度与可测集一、点集的勒贝格测度与可测集1. 几个特殊点集的测度几个特殊点集的测度(1)设设E为直线为直线R上的有限区间上的有限区间[a,b](或或(a,b)或或[a,b)或或(a,b]), 则其测度定则其测度定义为：义为：m(E)=m([a,b])=b-a.(2) 设设E为平面上有界闭区域为平面上有界闭区域D, 则其测度定义为则其测度定义为: m(E)=SD(4) 若若E = ，则定义，则定义m(E)=m( )= 0(3) 设设E为空间上有界闭区域为空间上有界闭区域 , 则其测度定义为则其测度定义为:m(E)=V (6) 若若E为一随机事件，则为一随机事件，则定义定义m(E)=P(E) (古典概率）古典概率）(5) 若若E={x}是单点集是单点集，则定义，则定义m(E)=0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页2. .直线上非空直线上非空有界开集有界开集与与有界闭集有界闭集的测度的测度定义定义1 设设E R非空点集，非空点集，a R.(1) 设设 >0, 称开区间称开区间(a , a + )=O(a, )为为a 的的 邻域邻域。
直线上包含直线上包含a的任一开区间的任一开区间( , )均可称为点均可称为点a的的邻域邻域(2) 设设a E, 若存在若存在a的一个邻域的一个邻域(, ),使得使得( , ) E，则称，则称a是是E的的内点内点；；定义定义2 设设E R非空点集非空点集. 如果如果E中的所有点都是内点，则称中的所有点都是内点，则称E是是开集开集；；定义定义3 设设G是直线是直线R上的一个有界开集如果开区间上的一个有界开集如果开区间( , ) 满足条件满足条件: 1) ( , ) G 2) G, G则称则称( , )为开集为开集G 的一个的一个构成区间构成区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页定义定义4 设设G为直线为直线R上的有界开集上的有界开集(即即 (a,b) G), (ai,bi)(i I)为为G的构成区的构成区间，则定义间，则定义 m(G)= (bi–ai) (0
使非空数集 （（1））如果存在一个实数如果存在一个实数 ，满足：，满足： 1）） x A ，有，有x ；； 2）） >0, x0> − 则称则称 为为A的的上确界上确界, 记作：记作：（（2）如果存在一个实数）如果存在一个实数 ，满足：，满足： 1）） x A ，有，有x ；； （（2）） >0, x0< + ,则称则称 为为A的的下确界下确界, 记作：记作：注注注注: : : :如果如果a为数集为数集A的上（下）确界，则存在数列的上（下）确界，则存在数列{xn} A, 使得使得 定理定理2（（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界 3.直线上直线上一般有界点集一般有界点集的勒贝格（的勒贝格（Lebesgue)测度测度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页3.直线上直线上一般有界点集一般有界点集的勒贝格（的勒贝格（Lebesgue)测度测度定义定义7 设设E R为任一有界集为任一有界集.(1)称一切包含称一切包含E的有界开集的测度的下确界为的有界开集的测度的下确界为E的的L外测度外测度，记为，记为m*(E), 即即m*(E)=inf { m(G)| G为有界开集为有界开集, E G }(2) 称一切包含于称一切包含于E的有界集的测度的上确界为的有界集的测度的上确界为E的的L内测度内测度，记为，记为m (E), 即即m (E)= sup{m(F)| F为有界闭集为有界闭集, F E}(3) 如果如果m (E)=m (E), 则称则称E的内测度与外测度的共同值为的内测度与外测度的共同值为E的的L测度测度，记为，记为m(E), 即即这时这时, 也称也称E是是勒贝格可测集勒贝格可测集(简称简称L可测集可测集) m(E)=m*(E)=m (E) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页注注:1)对于有界开集对于有界开集G, 有有m(G)=m*(G)2)对于有界闭集对于有界闭集F, 有有m(F)=m (F)3)对于任一非空有界集对于任一非空有界集E, 有有m (E) m*(E) (根据定义根据定义) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页定理定理3 设设X=(a,b)是基本集是基本集(有界有界), E, Ei X (i=1,2,…)均为有界可测集均为有界可测集, 则则有有EC=X-E、、E1 E2、、E1 E2、、E1-E2、、 Ei、、 Ei均可测，且均可测，且1) m(E) 0, 且且E= 时时, m(E)=0 (非负性非负性) 3) m(E1 E2) m(E1)+m(E2) (次可加性次可加性) 2)若若E1 E2, 则则 m(E1) m(E2) (单调性单调性) m(E2–E1)=m(E2)-m(E1) 4.可可可可测集的性质测集的性质4) 若若E1 E2= , 则则m(E1 E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性有限可加性) 5) 若若Ei Ej= (i j, i,j=1,2,…), 则则m( Ei)= m(Ei)(可列可加性可列可加性) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页1) 若若E1 E2 … Ek …, 则则E= Ek可测可测, m(E)=lim m(Ek)定理定理4 设设X=(a,b)是基本集是基本集, {Ek}是是X上的可测集列。
上的可测集列2) 若若E1 E2 … Ek …, 则则E= Ek可测可测, m(E)=lim m(Ek)定理定理5 设设E R有界有界, 则则E 可测可测存在开集存在开集G和闭集和闭集F,使使 F E G, 且且m(G-F)< 证证:“” E可测可测 m(E)= m*(E)=m (E)“” >0, 开集开集G和闭集和闭集F,使使F E G, 且且m(G-F)< >0, 开集开集G E 和闭集和闭集F E,使使m(F) m (E) m (E) m(G) m (E)-m (E)
有理点集合无力点集都是非开非闭集证：应用证：应用“可列可加性可列可加性”.（（3））[0, 1]中的无理点集虽然是不可列集中的无理点集虽然是不可列集, 但它是但它是L可测集，且其测度为可测集，且其测度为1. 证：应用证：应用“有限可加性有限可加性”或或“闭记的定义闭记的定义”(2) [0, 1]中的有理点集是可列集，因而是中的有理点集是可列集，因而是L可测集，且其测度为零可测集，且其测度为零. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页5.几个值得注意的问题几个值得注意的问题1）关于无界集的测度问题）关于无界集的测度问题定义定义4 设设E R为任一无界点集，如果对为任一无界点集，如果对 x>0, 有界集有界集(-x, x) E可测可测, 则称则称E是可测的是可测的. 并记并记注注:1)无界点集的测度可能是有限值无界点集的测度可能是有限值, 也可能是无穷大也可能是无穷大. 例如例如, 有理数集有理数集Q是无界的零测集是无界的零测集, E=(0,+ )是测度为是测度为+ 的可测集的可测集.2)对于无界集对于无界集, 上述定理上述定理3的结论也成立的结论也成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页2））L可测集类与波赖尔可测集类与波赖尔(Borel)集集定义定义5 (1) R中所有中所有L可测集构成的集合称为可测集构成的集合称为L可测集类可测集类.(2) 对对R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到的集合称为的集合称为波赖尔波赖尔(Borel)集集. 所有所有波赖尔波赖尔(Borel)集都是集都是L可测集可测集.注：注：大多数集合都是大多数集合都是L可测集，但可测集，但L不可测集确实存在不可测集确实存在. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页 二、点集上的勒贝格可测函数二、点集上的勒贝格可测函数1.可测函数的定义可测函数的定义定义定义6 设设E R为任一可测集（有界或为任一可测集（有界或无界）无界）, f(x)为定义在为定义在E上的实值函数上的实值函数.若若 R, E的子集的子集 E(f )={x|f(x) , x E}都是都是L有限可测集有限可测集, 则称则称f (x)是是E上的上的L可测函数可测函数 E(f )=[x1,x2] [x3,b]E(f > )=[x4,x5]xof (x)abx1x2x3x4x5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页2. 函数可测的充分必要条件函数可测的充分必要条件定理定理4 f(x)在可测集在可测集E上的可测函数，即上的可测函数，即E(f )可测可测, R, E(f< )={x|f(x)< , x E}可测可测 R, E(f= )={x|f(x)= , x E}可测可测R, E(f< )={x|f(x)< , x E}可测可测R, E(f)={x|f(x), x E}可测可测R, E(f> )={x|f(x)> , x E}可测可测 证证:(1) E(f< )=E(f)-E(f)可测可测 E(f)= E(f< +n)(5) E(f= )=E(f )-E(f > )(4) E(f< )=E-E(f)(3) E(f)=E-E(f> )= {f< +1/n}(2) E(f> )= E(f+1/n), E(f)= E(f> －－1/n) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页例例5 定义在定义在R上连续函数都是上连续函数都是L可测函数可测函数. f(x)连续连续x0 E(f> ) R, f(x)f(x0) (xx0)O(x0, ), 使使 x O(x0, ), 有有f(x)> ，即，即x E(f> ) (极限保号性）极限保号性）证：证： x0 E(f> )f(x0)> (只要证明只要证明R, 集集E(f> )是开集是开集, 则它一定是可测集则它一定是可测集)f(x)是可测函数是可测函数O(x0, ) E(f> )x0 是是E(f> )的内点，的内点， E(f> )是开集是开集E(f> )是可测集是可测集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页例例6 区间区间[0,1]上的狄里克来函数上的狄里克来函数D(x)是是L可测函数可测函数.证证:D(x)=1, x为为[0,1]中的有理数中的有理数0, x为为[0,1]中的无理数中的无理数当当 >1时时, E(D> )= 是可测集是可测集, 当当0时时, E(D> )=[0,1]是可测集是可测集. 因此因此, D(x)是是L可测函数可测函数当当0<1时时, E(D> )={x| x为为[0,1]中的有理数中的有理数}是可测集是可测集, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页例例7 定义在零测集定义在零测集E上的任何函数上的任何函数f(x)都是都是L可测函数可测函数.证证: R, E(f> )={x|f(x)> , x E} E f(x)是可测函数是可测函数m(E(f> ))=0m(E(f> )) m(E)=0E(f> )也是零测集也是零测集 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页例例8 集集E的特征的特征函数函数 E(x)是是R上的可测函数上的可测函数.证证: E(x)=1, x E0, x E定理定理6 f(x)、、g(x)是是E上的上的可测函数可测函数 kf(x)、、f(x)±g(x)、、f(x)·g(x)、、f(x)/g(x)(g(x) 0)、、及及 f(x) 都都E上的可测函数上的可测函数当当 >1时时, E( E)= 是可测集是可测集, 当当0时时, E( E)=R是可测集是可测集当当0<1时时, E( E )=E是可测集是可测集 (x)是是L可测函数可测函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页 三、函数列的收敛性问题函数列的收敛性问题1 函数列的处处收敛性与一致收敛性概念函数列的处处收敛性与一致收敛性概念定义定义7 设设{fn(x)}是定义在点集上的一个函数列，是定义在点集上的一个函数列，f(x)是定义是定义 在上的一个函数在上的一个函数.(1) {fn(x)}在点集在点集E上上处处收敛处处收敛于于f(x) (2) {fn(x)}在点集在点集E上上一致收敛一致收敛于于f(x)记作记作 fn(x) f(x) (n) >0, x E, N=N( ), 当当n>N时时, 有有 fn(x)-f(x) < 。
记作记作 fn(x)f(x) (n)>0, x E, N=N(x, ),当当n>N时时, 有有 fn(x)-f(x) < 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页1) 在处处收敛的定义中在处处收敛的定义中, N=N(x, )不但与不但与 有关有关, 而且与而且与x点有关，即便对点有关，即便对于同一个于同一个 , 当当x不同时不同时, 求出的求出的N也不相同也不相同. 注注:2) 在一致收敛的定义中在一致收敛的定义中, N=N( )只只与与 有关有关, 而与而与x点位置无关点位置无关. 一致收敛一致收敛的几何意义如下：的几何意义如下： 在几何上在几何上表示表示: 当当n>N时时, 曲曲线列线列{fn(x)}的图形都在曲线的图形都在曲线 f(x)的的 带形邻域内带形邻域内.f(x)fn(x)oxyab fn(x) f(x) (n) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页fn(x)=xnoxyx11x2n=1n=2n=10n=20x (0,1)时时, fn(x)=xn0 (n)fn(x)=xn 0 (n)N既与既与 有关有关,又与又与x有关有关,要使曲线要使曲线fn(x)=xn上的对应点落到极限函数上的对应点落到极限函数f(x)=0的的 带形邻域内带形邻域内,在在x1处处,只要只要 n 2即可即可,而在而在x2处处,则要则要n 10才行才行3) {fn(x)}一致收敛于一致收敛于f(x){fn(x)}一处处敛于一处处敛于f(x), 反之不然。
例如反之不然例如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页在点集在点集E上上, 函数列函数列{fn(x)}一致收敛于一致收敛于f(x)例例 证明函数列证明函数列在在E=[0.1]上一致收敛于上一致收敛于0.证证:定理定理6 (柯西定理柯西定理) x E, {fn(x)}是基本列是基本列 >0, x E, N=N( ), 当当m, n>N时时, 有有 fm(x)-fn(x) < 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页定理定理7 (连续性连续性) 设设{fn(x)}是是E上的上的连续函数列连续函数列. 如果如果{fn(x)}在在E上一致收敛于上一致收敛于f(x),则则极限极限函数函数f(x)也也在在E上上连续连续.2 函数列一致收敛的性质函数列一致收敛的性质定理定理8（可积性）设（可积性）设{fn(x)}是区间是区间[a,b]上的上的连续函数列连续函数列. 如果如果{fn(x)}在在[a,b]上一致收敛于上一致收敛于f(x), 则则极限极限函数函数f(x)在在E上区间上区间[a,b]上上可积可积, 且且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页推论推论 设设{fn(x)}是区间是区间[a,b]上的上的可积函数列可积函数列. 如果如果{fn(x)}在在[a,b]上一致上一致收敛于收敛于f(x), 则则极限极限函数函数f(x)在区间在区间[a,b]上上可积可积. 且且3）求极限与求微分（求导）可以交换次序）求极限与求微分（求导）可以交换次序注注: 函数序列一致收敛时函数序列一致收敛时, 有有1）函数序列的连续性、可积性都）函数序列的连续性、可积性都 可以传递给极限函数可以传递给极限函数2）求极限与求积分可以交换次序）求极限与求积分可以交换次序 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页3 可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛及近一致收敛可测函数列的几乎处处收敛、依测度收敛及近一致收敛定义定义8 设设{fn(x)}是可测集是可测集E上的上的可测函数列可测函数列，，f(x)是定义是定义 在在E上的函数上的函数. 则则 {fn(x)}在集在集E上上几乎处处收敛几乎处处收敛于于f(x)定理定理9 设设{fn(x)}是可测集是可测集E上的上的可测函数列可测函数列, 且且 lim fn(x)=f(x) (a.e.), 则则f(x)也是也是E上的上的可测可测函数函数. 记作：记作：fn(x)f(x) (a.e.)(n) E0 E，，m(E0)=0, 且当且当x E\E0时时, fn(x)f(x) (n) m({x limfn(x) f(x), x E})=0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页>0, lim m(E{x fn(x)-f(x)})=0{fn(x)}在集在集E上上依测度收敛依测度收敛于于f(x)>0, >0, N, 当当n>N时时, 有有m(E( fn(x)-f(x)))< 定义定义9 设设{fn(x)}是可测集是可测集E上的可测函数列，上的可测函数列，f(x)是定义是定义 在在E上的可测函数上的可测函数. 则则定义定义10 设设{fn(x)}是可测集是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列上的几乎处处有限的可测函数列, 如果如果>0, 可可测子集测子集E E, 使使m(E-E )< , 且且fn(x)在在E 上一致收敛于上一致收敛于f(x), 则称则称fn(x)在在E上上近近一致收敛一致收敛于于f(x) .m记作记作 fn(x)f(x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页定理定理10 设设{fn(x)}是可测集是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列上的几乎处处有限的可测函数列, f(x)是定义在是定义在E上上的几乎处处有限的可测函数的几乎处处有限的可测函数, 且且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 则则定理定理11 (Riesz定理定理) 设设m(E)< , 则则 fn(x)在在E上依测度收敛于上依测度收敛于f(x) 子列子列{fnk(x)} {fn(x)}, 使使fnk(x)f(x) (a.e.) (k)(2) fn(x)在在E上依测度收敛于上依测度收敛于f(x). (勒贝格定理勒贝格定理) (1)fn(x)在在E上近一致收敛于上近一致收敛于f(x). (叶果洛夫定理叶果洛夫定理) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页{fn(x)}几乎处处收敛于几乎处处收敛于f(x){fn(x)}近一致收敛于近一致收敛于f(x){fn(x)}依测度收敛于依测度收敛于f(x){fn(x)}中存在几乎处处收敛于中存在几乎处处收敛于f(x)的子列的子列{fnk(x)}{fn(x)}处处收敛于处处收敛于f(x){fn(x)}一致收敛于一致收敛于f(x)4 函数列的各种收敛之间的关系函数列的各种收敛之间的关系 。