2023年中考数学压轴题30代数中的新定义问题（教师版含解析）

《2023年中考数学压轴题30代数中的新定义问题（教师版含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学压轴题30代数中的新定义问题（教师版含解析）（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专 题 3 0 代 数 中 的 新 定 义 问 题典例剖析._ 例 1 (2 0 2 2 重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ,若 N 能被它的各数位上的数字之和， 整除，则称N 是 ? 的 “ 和倍数” .例如：2 4 7 + (2 + 4 + 7 ) = 2 4 7 + 1 3 = 1 9 , ； . 2 4 7 是 1 3 的 “ 和倍数” .又如：；2 1 4 + (2 + 1 + 4 ) = 2 1 4 + 7 = 3 0 . . .4 , ； . 2 1 4 不 是 “ 和倍数” .( 1 ) 判断3 5 7

2、, 4 4 1 是否是“ 和倍数”？说明理由；(2 )三位数N 是 1 2 的 “ 和倍数” ，a , b, c 分别是数/ 其中一个数位上的数字，且 ab c . 在 “ , b, c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为尸(力)，最小的两位数记为GG4) ,若F (A)+ G (A)为整数, 求出满足条件的所有数1 6【 分析】( 1 ) 根 据 “ 和倍数”的定义依次判断即可；(2 )设力= a / ? c (a + / ? + c= 1 2 , a b c ) , 根据“ 和倍数”的定义表示/ (力)和G (4 ),尸 (4 )+ G (4 )代入- - - - - - - -

3、中，根据- - - - - - - 为整数可解答.1 6 1 6【 解答】解：(1 ) V 3 5 7 4 - (3 + 5 + 7 ) = 3 5 7 + 1 5 = 2 3 . . .1 2 ,，3 5 7 不 是 “ 和倍数” ；V 4 4 1 4 - (4 + 4 + 1 ) = 4 4 1 + 9 = 4 9 ,. . 4 4 1 是 9的 “ 和倍数” ；( 2 ) 设力(+ 力 + c= 1 2 , abc) ,由题意得：F ( A) = ab, G ( A) = cb,. 尸 (4 )+ G (A) abcb 1 0 a + b + 1 0 c+ 匕 1 0 (a + c)+

4、2 b1 6 - 1 6 1 6 1 6F ( A) +G ( A) , , , . a + c= 1 2 - 6 , 一23 为整数，1 6. F (4 )+ G G 4 ) 1 0 (1 2 。 )+ 2 b 1 2 0 8 b 1 1 2 + 8 - 8 匕 1- - - - - - - - - - =- - - - - - - - - - - - -=- - - - - - - - =- - - - - - - - - -= 7 + 31 6 1 6 1 6 1 6 2V l 6 9 ,: b= 3, 5 , 7 ,，a + c= 9 , 7, 5 ,a = 8 ( a = 7当力=

5、3 , a + c= 9 时， 匕= 3 (舍)， b = 3 ,c = 1 (c = 2则 / = 7 3 2 或 3 7 2 ；( a = 6当 6 = 5 , a + c= 7 时， b = 5 ,(c = 1则 /= 1 5 6 或 5 1 6 ；当b= 7, a + c= 5时，此种情况没有符合的值：综上，满足条件的所有数/ 为：7 3 2或3 7 2或1 5 6或5 1 6 .【 例2】 (2 0 2 2秋西城区校级期中)将个0或1排列在一起组成了一个数组， 记为Z = 5，松 ，G,其中，a ,，加都取o或1 ,称/ 是一个元完美数组(2且为整数).例如：(0 , 1 ), (1

6、 , 1 )都是2元完美数组，(0 , 0 , 1 , 1 ), (1 , 0 , 0 , 1 )都是4元完美数组，但(3 , 2 )不是任何完美数组. 定义以下两个新运算：新运算 1 ：对于x 和y , x*y= (x + y )新运算2 ：对于任意两个元完美数组/ =(X” X2 ,，x )和汽= ， / ),M N= Cx *y +x2*y2+-+xn*yn) ,例如：对于 3 元完美数组 M= (1 , 1 , I)和 N = (0 ,10 , 1 ),有 M0 N=三(0 + 0 + 2 ) = 1 .(1 )在(0 , 0 , 0 ), (2 , 0 , 1 ), (1 , 1 ,

7、 1 , 1 ), (1 , 1 , 0 )中是 3 元完美数组的有：(0 , 0 , 0 ), ( 1 , 1 , 0 )；(2 )设 / = (1 , 0 , 1) , B = (1 , 1 , 1 ),则 / 区8 = 2 ；(3 )已知完美数组/= (1 , 1 , 1 , 0 )求出所有4元完美数组N ,使得M 8 )N= 2 ；(4 )现有m个不同的2 0 2 2元完美数组，皿是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ,。满 足C =0, C、。中对应的元都不相等或C、。中对应的元都相等且为0, .C、。是不同的两个完美数组， C、。中对应的元都不相等，. ? 的最大值为2023,

8、当 。确定后，。中的对应元与C 中的不同,当 C (1, 0, 1, 0 , ，1 ) 则 。 (0, 1, 0, 1 , ，0).【 例 3】(2022秋茅箭区校级月考)对x, y 定义一种新运算T,规 定T( x, y)= 喙罗(其中 0, 6 是非零常数，且 x + y # 0 ),这里等式右边是通常的四则运算. 如：T (3, 1 )=ax32+ bxl2 9a+b 丁， 、 、 a m2+4 b3 + 1 3 + 1 m-216a+b( 1 ) 填空：7 (4 , - 1 ) = - ( 用含“ ，8 的代数式表示) ；-3 -( 2 ) 若 T ( - 2, 0) = - 2 ,

9、且 T (5, - 1) = 6 . 求 a 与 6 的值；若 T (3机-10, - 3机 )=T ( - 3m, 3m - 1 0 ),求 m 的值.【 分析】(1 ) 利用新运算的规定解答即可;(2 ) 利用新运算的规定得到关于。 ，6 的方程，解方程即可求得结论;利用新定义的规定列出关于， 的等式，再将解答即可.【 解答】解：(1) T (4, - 1)4 - 17 2a x V + b x J l ) ， 1 6 a + b3故 答 案 沏 誓(2) ： T ( -2, 0) = -2,. a x ( - 2 )2+ b x 021 *.- = -2- 2 + 01.V 7 (5,

10、- 1) =6,. ax52+ d x (-l)25- 1=6,，25a+b=24,M =24 - 25= - 1,，= 1, b - - 1.：7 (3/n - 10, - 3m) = T ( - 3 ? ，3m - 10),. lx(3m -10)2 + (-l)x(37n)2 lx(-3zn)2 + (-l)x(37n-10)2 =,3nl 10 37n 3T?I+3?71 109nr - 60/H+IOO - 9m2=9m2 - 9/?2+60/w - 100,； - 20m= - 200,: .m二可经检验，”蕤原方程的根，: m二可【 例 4】(2022安顺) 在平面直角坐标系中，

11、如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点. 例如：点(1, 1 ) ,(3 ：), (-V 2, - V 2 ) ,都是和谐点.( 1 ) 判断函数y = 2 x+ l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；( 2 ) 若二次函数yuaf+Gx+c (aW O )的图象上有且只有一个和谐点修，- ) .求a, c 的值；若 K W 机时，函 数 产 / + 6*+o+* (aW O)的最小值为- 1 , 最大值为3 , 求实数加的取值范围.【 分析】(1 ) 设函数y= 2 x+ l的和谐点为(x, x ) , 可得2 x + l= x ,求解即可；( 2 ) 将 点 (

12、 & , -)代入y=or2+6x+c,再由 M+Gx+cnx 有且只有一个根， =25 - 4ac= 0 , 两个方程联立即可求a、c 的值；由可知 y = - f+6x - 6= - (x - 3) 2+ 3 ,当 x = l 时， y = - l , 当 x=3 时， y = 3 ,当x = 5 时，y= - , 则 时 满 足 题 意 .【 解答】解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y = 2 x+ l的和谐点为(x, x), 2J V+ 1 x f解得X= - 1 ,. . 和谐点为(-1, - 1);(2 ) ；点 弓 ，| ) 是 二 次 函 数 尸 ax2+6x+c (a #

13、 0 )的和谐点，5-225-z+15+c,4 二次函数y=o?+6x+c （ HO） 的图象上有且只有一个和谐点，/.OX2+6X+C=X有且只有一个根， =25 - 4。 。 =0, _4 1 - 1 C=2一5甲由可知y= - f+6x - 6= - （x - 3） 2+3, . 抛物线的对称轴为直线x=3,当 x= 时，y = - 1,当 x=3 时，y=3,当 x=5 时，y = - 1, , 函数的最大值为3 , 最小值为-1；当 3加W5时，函数的最大值为3 , 最小值为-1.【 例 5】（2022南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于（ 2 0 ） 的点叫做这个函数图象

14、的“ 阶方点” . 例 如 ，点 （ ,1） 是函数y = x 图 象 的 阶 方 点 ” ；点（2,1）是 函 数 图 象 的 2 阶方点（1） 在 （-2, - 1 ）； （- 1, - 1）； （1, 1） 三点中，是反比例函数产招象的“ 1阶方点”的 有 （ 填序号） ；（2） 若y 关于x 的一次函数y = a x -3 a + l图象的“ 2 阶方点” 有且只有一个， 求 。的值；（3） 若y 关于x 的二次函数y= - （x - ）2 -2+1图象的“ 阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围.【 分析】（1）根据定义进行判断即可；（2） 在 以 。为中心，边长为4 的正方形/B

15、C D 中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“ 2 阶方点”有且只有一个，结合图象求a 的值即可；（3） 在以。为中心，边长为2的正方形4 8 8 中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y = - （x - ）2 -2+ 1图象的“ ”阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可.【 解答】解：（1） （-2, - 1 ） 到两坐标轴的距离分别是21, | a+ = a ( x - 3 ) + 1 ,函数经过定点( 3 , 1 ) ,在以。为中心，边长为4的正方形/ B C D中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象 的“ 2阶方点”有且只有一个，由图可知，C ( 2 , - 2

16、) , D ( 2, 2) , . 一次函数y = a x - 3 a + l图象的“ 2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，。 =3 ,此时图象的“ 2阶方点”有且只有一个，当直线经过点。时，a = - 1 ,此时图象的“ 2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或 。 = -1 ；( 3 )在以。为中心，边长为2的 正 方 形 中 ，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数了= - ( x - ) 2- 2 / 7 + 1图象的“ 阶方点” 一定存在，如图 2 ,当? ? 0 时，A ( / ? ) ，B ( n - n) , C ( - - w ) ,。 ( - 小 ) ,当抛

17、物线经过点。时， = -1 ( 舍 ) 或当抛物线经过点8时，= 1 ;时，二次函数y = - ( x - ) 2 - 2 + 1图象有“ 阶方点” ；4综上所述：i 1时，二 次 函 数 尸 一(2+ 】 图象的， ， “阶方点， ， 一定存在.1 . ( 2 0 2 2 渝中区校级模拟) 材料1 ：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2 ：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数机可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上的数字大2 ,则称加为“ 够二数” ; 将机的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为八F ( m) = 171- 喘

18、818, 例如：机= 8 42 4,：8 +4+2 +4= 1 8 = 9 X 2 , 4 - 2 = 2 , 8 42 4 是“ 够二数” ， F ( 8 42 4) = 8 4 2 4 - + 1 8 1 8 = 6( 1 )判 断 1 31 4, 6 536 是否是“ 够二数” ， 请说明理由,如果是“ 够二数” ,请计算尸( ? )的值；( 2 ) 若一个四位正整数n = 温是“ 够二数” ，且 三 为 5 的倍数，请求出所有的“ 够F ( n)二数”的值.【 分析】( 1 ) 根据新定义“ 够二数”进行解答便可；( 2 ) 根据新定义“ 够二数”及数学推理解.【 解答】解：( 1 )

19、1 31 4是 “ 够二数” ，6 536 不 是 “ 够二数” .理由如下：l+3+l+4= 9 = 9 X l, 3-1 = 2 ,.1 31 4 是 “ 够二数” ,；6 +5+3+6 = 2 0 = 9 X 2 +2 ,.6 536 不 是 “ 够二数” , 4) J3 1 4 -4 1 3 1 + 1818999( 2 ) . .一个四位正整数 =a b e d 是 “ 够二数” ，.a+b+c+d= 9x,其中 x 是正整数，且 x WO, 贝 ij b -c = 2 ,： .h = c+2,则 l c 7 ,:n = dcbaf.厂/ 、几 九 +1 8 1 8F =-9 9 9

20、 -_ abcd dcba= 1818= 9 9 9_ 1 0 0 0 a +1 0 0 b +1 0 c +d -1 0 0 0 d -1 0 0 c -1 0 b -a +1 8 1 8= 9 9 9_ 999Q+9 0 b - 9 0 c -9 9 9 d +1 8 1 8二 9 9 9_ llla +1 0 b -1 0 c -llld 4-2 0 2= m 将b= c+2代入，F ( )llla -llld +2 2 21 1 1= a - d +2 ,F ( n) a-d+2 一 ”其中y 是整数,.c= 5, h = l,： . a-d+2 = 5 y(Q + 2 c + 2 +

21、 d = 9 %/ Ca - d+2) y 1 , ？是整数，: ,a - d +2 = l,即 a = d - 1 或 4 = - 3,当 a = d - 1 ,Q- 其中x W O , 且是整数,la + d + 1 2 = 9 %,.+d +1 2 = 9 x, a， d 是整数,当 x = 2 时，g：t； 2 = 1 8 解得,5-27-2=adrII.n) ,记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为RG n) ,令 G ( m) = 翦，当 G ( 心)能被3 整除时，求出满足条件的所有“ 倍和数” m【 分析】根据新概念判断即可【 解答】( 1 )m = 1 0 47 ,；1

22、+7 = 2 X ( 0 +4),； .1 O 47 是 0 ”倍和数“5 = 46 57 ,V 4 + 7 2 X ( 6 +5),.46 57 不是”倍和数“( 2 )设 “ 倍和数”切=a b ( 4 - 6 )( 8 - a ) , ( 其中 0 W 6 W 4 且 a , 为整数).： .F ( z n) = 2a - 8 | , R ( m) = 2b - 4| , G ( m) = ： n千位数上的数字与个位上的数不相等， : G ( 阳)能被3 整除，: G ( 川)=!? 1 ! = 3k ( 攵为整数)，由 一 2 |，0 V | a -4| W 4,加 4| = 3,或

23、7 ,： .K b-2 = ,： . b-2 = f或 3,故满足条件的所有“ 倍和数”m 为：1 1 37 , 1 31 7 , 7 1 31 , 7 31 13. ( 2 0 2 2 两江新区模拟)材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4 倍，则称这个两位数为“ 巧数” .材料二：一个四位数N=丽满足各个数位数字都不为0 , 且它的千位数字与百位数字组成的两位数标，以及十位数字与个位数字组成的两位数万均为“ 巧数” ，则称这个四位数 为 “ 双巧数” .若p = _ b d , q= a d -b e ,则 记 ? ( N) = q -p .( 1 )请任意写出两个“ 巧数” ，并

24、证明任意一个“ 巧数”的个位数字是十位数字的2 倍；( 2 ) 若 s, / 都是“ 双巧数” ，其中 s=3010+100x+lQy+z, Z= 1100/n+400+10n+2r, (IWx,z, W9, lWyW8, lWznW5, lW rW 4,且 x, y, z, m, w, r 均为整数)，规定 K (s, f)= 奥，当 F (s) +F (?) = 1 2 时，求 K (s, t ) 的最大值.【 分析】( 1 ) 设出两位数，根据这个两位数是“ 巧数”得出y = 2 x ,最后根据这个两位数是完全平方数，即可得出结论：( 2 ) 先根据这个两位数是“ 巧数”得出机= 2 ，

25、进而表示出新的两位数和三位数，再根据这个三位数与这个两位数的差为一个完全平方数得出10 (9 c+ a)是完全平方数，即可得出结论.【 解答】解：( 1 ) 设两位数的个位数字为乃 十位数字为x, (1WXW9, 1W/9),则这个两位数为(IOx+y), 这个两位数是“ 巧数” ，/.4 (x+y) = 10x+y,y 2xt即：这个两位数为10x+y=10x+2x=12x,当x = 2 时，y = 4 ,这个两位数是24；当x = 3 时，y 6 ,这个两位数为36；(2) 5= 3010+100x+1 Oy+ z=3000+100.r+10 ( 八1) +z,p = (30+y+l) -

26、 ( lOx+z) =31+y-10x-z,qi= (30+z) - ( 1 Ox+H-1) =29+z - lOx -y,f (S) = q - p = (29+z-10x-y) - (31+y-10x-z) = - 2+2z - 2y；t 1100/w+400+10n+2； =1000/?j+100 (4+w) +10/2+2r,pi= ( 1 Om+n) - (40+10阳+2r)= n - 40 - 2r,qi (10m+2r) - (40+1 Om+n) = 2r - 40 - n,f (r) = qi - P2= ( 2r - 40 - w) - (/? - 40 - 2r) =

27、4r - 2n, K C _ 一 2+2z-2y _ z -y -l&l ) /(t) - 4r-2n - 2r-n ： f (S) + /( ， ) = 1 2 ,即 -2+ 2z- 2y+ 4r- 2 = 1 2 ,解得 2r - =7 - z+y,都 是 “ 双巧数” ,AlO (JH-1) +z= 4 ( 尸4 + z ),解得 2八2=z, K Q _ / ( s) _ z - y T _ 2y+2- y - l _ y + l _ 6K (s, t) _ f ( 7 _ z + y _ 7 _ 2 y _ 2 + y _ 5 _ y _ T + ?若要使K （s , 力最大，则其分

28、母最小，分子最大.,TWzW9,； .lW y W 3 ,且） ， 为正整数，取 3,： .K （s , 力的最大值为2.4. （2022大足区模拟）对任意一个四位正整数相，如果机的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2 倍与个位数字之和，那么称这个数m为 “ 和谐数” .例 如 ：加= 7 4 3 1 ,满 足 1+3=4, 2X 34-1=7,所 以 7431是 “ 和谐数” .例 如 ：m= 6 4 1 3 ,满 足 1 + 3 = 4 ,但 2X 1+3=5W 6,所以6413不是和谐数.（1） 判断8624和 9582是不是“ 和谐数” ，并说明理由;（2）

29、 若 机 是 “ 和谐数” ，且 加 与 22的和能被13整除，求满足条件的所有“ 和谐数”【 分析】（ 1）根 据 “ 和谐数”的定义直接进行判断即可；（ 2） 设7的个位数为,十位数为b , 根 据 用 是 “ 和谐数” ，则 ， 的百位数为“+ b ,千位数为2 H a ,再根据用与2 2 的和能被13整除，即可解答.【 解答】解：（1） 冽=8624, 6=2+4, 8 = 2 X2+4,.8642是 “ 和谐数” ；Vw=9582, 5关8+2,.9582不 是 “ 和谐数” ；（2） 设加的个位数为a, 0W aW 9,十位数为6, 0W 6W 9,且 。 、6 为整数， . 加是

30、“ 和谐数” ，的百位数为 a+b （0Wa+bW9）, 千位数为 26+。（ 0+a） +100 （ a+b） +10/+a= 1 lOla+2110ft,: 加 与 22 的和能被13整除，.1101。 + 2110fr+22= 13 （84+1626） +9a+4b+22 能被 13 整除,： .9a+4 b+22 能被 13 整除，：2什a W 9 ,且 a、6 为整数，a 只能取0, 1, 2, 3, 4,. 力= 1 时 , ，a= 0 或 b=2 时，a = l 或 b=3 时，a= 2 或 b=4, a= 3 或 b=5, a = 4 或 b= 6, a= 5 （ 不合题意舍去

31、）或b= 7, a= 6 （ 不合题意舍去）或 6=8, a= 7 （ 不合题意舍去）或 6 = 9 ,。 =8 （ 不合题意舍去） ，.a+h = 1, 2b+a=2 或 a+6=3, 2b+a=5 或 a+6=5, 2b+a=8 或 a+b=7, 2b+a= 11 （ 不合题意舍去）或 a+6=9, 2b+a 4 （ 不合题意舍去） ，：.m 的值为 2110 或 5321 或 8532.5. (2021 北倍区校级模拟) 定义一种新运算：对于实数x、y , 有 (x, y) =ax+by ( 其中a, 6 均为非零常数) ，由这种运算得到的数称之为线性数，记为L (x, y ) , 其中

32、x, y 叫做线性数的一个数对，若实数x, y 都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x, y 叫做正格线性数的正格数对.3 1 1( 1 )若 L (x, y) =2x+7y,则 L (3, - 2) = - 8 , L (-, -1 )L1 go 2( 2 ) 已知 A ( 5 , - ) =畔 ，L (2, -) =8.3 3 5 若 L ( 机-1, m +2)为正格线性数，求满足66 A (w - 1, 机 +2) 9 9 的正格数对有哪些？若正格线性数 (x ,y ) = 5 5 ,满足这样的正格数对中， 有满足问题的数对吗， 若有，请找出；若没有，请说明理由.【 分析】(

33、1)将所求中的x、y 分别代入/ (x, y) =2x+7y,即可求解；3 1(2 )列出二元一次方程组并求出L (x, y) =3x+”，再由所给条件求出7-即可求出满足条件的m ,即可确定正格数对；结合分别求出满足条件的小y 的值，再与中的正格数对进行比较即可.【 解答】解：(1) ,:L (x, y) =2x+1y,：.L (3, - 2) =2X3+7X ( - 2) = - 8,3 i 3 i iL ( 一 , - 5) =2x -x +7X ( - -y) = -5 ,2 2 2 2 2故答案为： - 8 , - 4；1 so 2(2) ,：L (5, 一) =亭 ，L (2, -

34、 ) =8,3 3 55038=bb1-32-5. (a = 3*U = 5，:L (x, y) =3x+5y, . , ( ？ - 1 ,加+ 2 ) 为正格线性数,V66Z (m - 1, m+2) 99,A663 (w - 1) +5 (m+2) 99,3 1:7 O w 0 的整数，.x 5 或 x=10 或 x=15,； .y=8 或y=5 或y=2,. 没有满足问题的数对.6. (2022秋岳麓区校级期中) 对x 定义一种新运算E , 规定 (x) = (a 2 ) (26x-3),其中 a, 6 是非零常数. 如：当 a = l, 8=1 时 .，E (x) = (x+2) (2

35、x- 3) = 2x2+x - 6.( 1 ) 当 a, 6 满足( a - 2 +依+ 6| = 0时，计算E (x )；( 2 ) 已知E(2 3x) = | /一 2x - 学 ，请求出， 的值；(3) 若当。 =3, 6 = 2 时，关于x 的不等式组E(x) 2x(6% + 3) 2k4E(2 + x ) - E(2x - 1) 0, | 什6|0,1二4 -2 = 0 ，6+6=0, Q = 21 , b = -6u,1AF(x) = (x + 2)(-12x - 3)= - 6)- - 24x - 6= -6 x2 - 苧 6；(2) ,:E (2 -3x) = a (2 - 3

36、x) +22b (2 - 3x) -3= 18x2- 3a (4/) -3 ) +6b (2+2a) x+ (2+2。 )( 4 6 -3 )= lSabx2 - (24ab - 9a+ i2b) x+ (8M - 6 +8b - 6),，18a6=|, - (24ab - 9a+ 2b) = - 2, 8az - 6a+83 - 6 = - 竽 ，： .a b = ,： .2 - 9 + 1 2力= 2 ,，- 9。 +1 2 6 = 0 ,，3a = 4 b . _a 4 =一 .b 3( 3) 当 a = 3, 6 = 2 时，E ( x ) = ( 3x + 2 ) ( 4 x - 3

37、) = 1 2 ? *6,. * . ( x ) - 2x ( 6 x + 3) = - 7 x - 6 . 当。= 3, 6 = 2 时，4 E ( 2 + x ) - ( 2 x - 1 ) = 2 38 x + 1 5 3,原不等式组可化为：7x-6W2k,解得竽W X V患 , . . 不等式组恰好有5个整数解，： . l l W k y ,求 T ( 4 , x ) - T ( 4 , y )的值.【 分析】( 1 )由题意可得T ( ?+ , - 1 ) =m2+ i + l = 6 ,求出m的值即可;( 2 )由题意可得 x 4 , y 0, / + 1 - 1 ,T ( m2+

38、 l , - 1 ) = / n2+ l + l = 6 ,解得m 2或m = - 2,故答案为：2或- 2 ；( 2 )： .x4 , y4 ,： .T ( 4 , x) - T ( 4 , y) = 4 +x - ( 4 - y) = x+y, y= 8 ,： .T ( 4 , x ) - T ( 4 , y) = 8 .8 . ( 2 0 2 2春巴中期末) 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1 ,我们就称这两个方程为 “ 美好方程” . 例 如 ：方程2 x - 1 = 3和 卅=0为 “ 美好方程” .（1）请判断方程4 x - （ 户5） = 1与方程- 2y - y = 3 是

39、否互为“ 美好方程” ：X（2）若关于x 的方程： ；+加= 0 与方程3x-2= x+ 4是 “ 美好方程” ，求?的值；21 1 1（ 3） 若关于x 方程1 = 0 与= :y + l= 3 x + Z 是 “ 美好方程” ， 求关于歹的方程工不2022 2022 7 2022（ y+2 ） +1 = 3y+k+6 的 角 星 .【 分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“ 美好方程”的定义进行判断即可；（2）分别求得两个方程的解，利 用 “ 美好方程”的定义列出关于2 的方程解答即可；1 1（3）求得方程1 = 0 的解，利 用 “ 美好方程”的定义得到方程一二x+l=3x+%的20

40、22 2022解，将关于y 的方程 J=（ 2） +1=3叶衣+ 6 变形，利用同解方程的定义即可得到y+2的值，从而求得方程的解.【 解答】解：（1）方程4x- （ x+5） = 1 与方程-2 y -y = 3 是互为“ 美好方程” ，理由：解方程4x - （ x+5） = 1得：x=2,方 程 - 2y - y = 3 的解为：y = - 1Vx+y=2 - 1 = 1,方程4 x - （ 壮5） = 1 与方程-2 y -y = 3 是互为“ 美好方程” ；x（ 2）关丁， x 的方程一+ ， = 0 的解为：x = - 2m,2方程3 x - 2 = / 4 的解为：x=3,X关于x

41、 的方程5 + 加 = 0 与方程3x - 2=x+4是 “ 美好方程” ，- 2 计 3 = 1, * / w = 1 ；（ 3）方程 一X- 1 = 0 的解为：x=2022,20221 1V 关于x方程- 1=0 - - x l = 3 x k是 “ 美好方程）2022 20221方程- - - - x+l=3x+k 的解为：x = - 2021.20221 1二关于y 的方程 （ y+-2） +1 =3尹攵+ 6 就是： 二一 （ 八2） +1=3 （ y+2） + ，2 0 22 2 02 2Ay+2= -2021, y = - 2023.1； 关于y 的方程茄叁（ 产2） +1=3

42、产6 的解为：y = - 2023.9 . ( 2 02 2 春岳麓区校级期末) 对 ，b 定义一种新运算7 , 规7 E： T ( a ,力 )= ( 2 a - b) ( a x- b y )( 其中x , 歹均为非零实数) . 例如：T ( 1 , 1 ) = x - y.( 1 ) 已知关于x , y 的方程组F ( l 3 ) = a + 3, 若 。 一 , 求 2 x - y 的取值范围；( 7 ( 2 , 0) = 8 a( 2 ) 在 ( 1 ) 的条件下，已知平面直角坐标系上的点A ( x , 落在坐标轴上，将线段OA沿 x轴向右平移2个单位，得线段O A,坐标轴上有一点B

43、满足三角形8 0 4 的面积为 1 5 ,请直接写出点8的坐标.【 分析】( 1 ) 应用新运算7定义建立方程组，解关于X 、y 的方程组可得1Q+a2-3=Xy进而得出( 4 + 1 ) = 第 7, 再运用不等式性质即可得出答案；3 32 2 2( 2 ) 根据题意得力( a, - a + 1 ) ,由平移司得力 ( a + 2 , - a + 1 ) ,根据点Z ( a , a + 1 )3 3 3落在坐标轴上，且 4W-1, 分类讨论即可.【 解答】解：( 1 ) 由题意得：=。+ 3 ,得2 4 2x - y= 2a - ( a + 1 ) = 可- 1 ,4-37-4aa4-3*.

44、 2 x - y OB x =6.08=60,： .B (0, 6 0 )或 (0, - 60)；综上所述，点 8 的坐标为8 (0, 6 0 )或 ( 0, - 60).10. (2022春遵义期末) 我们规定. 关于x, y 的二元一次方程ax+ 6y= c,若满足a+b=c,则称这个方程为 幸福”方程. 例如：方程2x+3y=5,其中a= 2, b= 3, c = 5 ,满足a+6= c , 则方程2x+3y=5是 “ 幸福”方程，把 两 个 “ 幸福”方程合在一起叫“ 幸 福 ” 方程组. 根据上述规定，回答下列问题，(1 )判断方程3x+5尸 8 是 “ 幸福”方 程 ( 填 “ 是

45、”或 “ 不是” ) ；( 2 ) 若关于x, y 的二元一次方程h + ( k- 1) = 9 是 “ 幸福”方程，求人的值； 若 仁 Z . 关 于 x, y 的 “ 幸福”方程组产T 的 解 ,求4 P+7q的值.【 分析】( 1 ) 根 据 “ 幸福”方程的定义判断即可；( 2 ) 关于x, y 的二元一次方程( 八 1) y = 9 是 “ 幸福”方程，贝 IJA+左 - 1 = 9 , 解出k即可;( 3 ) 根 据 “ 幸福”方程组的定义可得|巾雪+ 1 = ” - 1 , 解出由和 ，然后代入x 和y的值求出代数式的值即可.【 解答】解： V 3+5=8,方程3x+5y=8是

46、“ 幸福”方程.故答案为：是.(2) . 关于x, 的二元一次方程云+ ( 衣7 ) y = 9 是 “ 幸福”方程，： .k+k- 1=9,解得k= 5,. / 的值是5；(3) . . . 方 程 组 产 弋 ?1 + A = - 1是 “ 幸福”方程组，( mx + 2my = n. ( m 4-m + l = n - 1* * bn 4- 2 m = n解得m，原 方 程 组 为 二 :，%二 是 关 于 ”的 “ 幸福”方 程 组 像 设；2 厂1的解，. 0 p + 3q = 512P + 4q = 6+ 得，4k7g=11.即 4p+lq的值为II.11. (2022秋开福区校级

47、期中) 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2 倍的点，则把该函数称为“ 青一函数” ，该点称为“ 青一点” ，例如：“ 青一函数 y = x + l,其 “ 青一点”为(1, 2).( 1 ) 判断：函数y=2x+3 不是 “ 青一函数”( 填 “ 是”或 “ 不是” ) ；函数y = 9的图象上的青一点是 (2, 4 ) 或 (-2, - 4)；( 2 ) 若抛物线y = (rn - 1 ) / + mx +/ 山上有两个“ 青一点” ，求机的取值范围；( 3 ) 若函数y 二 / + 一 4 + 2) + 守 -称的图象上存在唯一的一个“ 青一点” ，且当-1W?W3时，的最小值为左

48、，求人的值.【 分析】(1)根 据 “ 青一函数”的定义直接判断即可导出结论；( 2 ) 根据题意得出关于x 的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论；(3 ) 根据题意得出关于x 的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论.【 解答】解：(1)令2x+3=2x,方程无解，二函数y=2x+3不 是 “ 青一函数” ；令y = g = 2 x ,解得x = 2 或 x = -2 ,二函数y = 1 的图象上的青一点是(2, 4 ) 或(-2, -4 )；故答案为：不是： (2, 4 ) 或(-2, -4 )；( 2 ) 由题意可知，(m -l)x 2 + mx + ni= 2x,整理得，(

49、 ? - 1 ) ) + (zn - 2) x+J?=0, . 抛物线y = (m - l)x2 + + 上有两个“ 青一点” ，: 卜=(/W - 2) 2 - 4x 1 (m - 1) 0 且加- IWO,解得m V1且阳W1 .( 3 ) 由题意可知，%2 4- (m - fc 4- 2)x + 7 _ 5 =Xfo=-2-n一4X+7LA-o n k，A = (m - k) 2 - 4 ( - - - ) =0,4 2整理得， =(7 M k) ?+2k ( - 1加 W3),对称轴为直线m =k ,此时n的最小值为2k；根据题意需要分类讨论： 尸 皖 I， 2k k： .k= 0；

50、? 3 ,无解；U m i = （ 3 - k） 2 + 2k = k砂J 2U m i n = （ -1 - k ）2 + 2k = k. = 弓 匹 或 / = 弓 匹 （ 舍去） .综上，k的值为0或二3y.1 2 . （ 2 0 2 2 秋雨花区期中）2 0 2 2 年 1 0 月 1 6 日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点” 加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“ 高水平” ， 即“ 构建高水平社会主义市场经济体制” 和 “ 推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点/ （ X 1 ，） 、B（ X 2

51、, ”）（ X 1# X 2 ） ，满足纵坐标相等，即y i = ，则称点工 、8为这个函数的一对“ 高水平点” ，称这个函数为“ 高水平函数” .（ 1 ）若点P （ 2 0 2 2 , p ）和点。 ，2 0 2 3 ）为 “ 高水平函数 y =|x + l |图象上的一对“ 高水平点” ，求回令的值；（ 2 ）关于x的函数（ k、6为常数）是 “ 高水平函数”吗？如果是，指出它有多少 对 “ 高水平点” ，如果不是，请说明理由；（ 3 ）若点 （ 1 , 机） 、N （ 3 , ） 、尸（ x o, y o）都在关于x的 “ 高水平函数 y u H + f ot + c（ a 、6 、c

52、 为常数，且 a 0 ）的图象上，点 M、尸为该函数的一对“ 高水平点” ，且满足m n c ,若存在常数w,使得式子：w + 空 一 也 （） 2 + 2 恒成立，求 w的取值范围.【 分析】（ 1 ）根据定义可得p = 2 0 2 3 , 再 由 20 23 = | + 1 | , 求 出q = - 20 24 , 即可求p+q的值；（ 2）分两种情况讨论：当 * = 0 时，函数了=6 + 6 是 “ 高水平函数” ，有无数组“ 高水平点“ ； 当&# 0时 , ， 由于人叫=履2 （ 衣0 ） ， 则有内=也， 这与4 （ x i ， f c c i + 6 ） 、 B （ X 2,

53、kx2+b）是两个不同的点矛盾，此时，y = b + 6 不 是 “ 高水平函数” ；（ 3 ）由题意求出2 V x o 3 , 再由八=一 就 一 与 + 2 = （ x + 2） 2+ 3 , 求出力的取值范围为苧 h 就 % （） + 2恒成立，可 知 . + 1 , 即可求心一孑【 解答】解：（1）由题意可知， = 泄 ，即p=2023,将 点 。 （ 夕 ，2023）代入函数7 = *+ ” ,/.2023 = |4-1| （qW2022）,解得 q= - 2024, p+夕=2023+ （ - 2024） = 一 1；（2）当A = 0时，函数是“ 高水平函数” ，有无数组“ 高水

54、平点J当人# 0时，不 是 “ 高水平函数” ，若存在高水平点，设一组高水平点为力（x i，kxi+b）、B （ 工2，kx2+b）,:kx +b=kxz+b （ 左HO）,:kx=kx2 （ 攵WO）,，xi=X2，这与力（x i，kxi+b）、B （ 必kxi+h）是两个不同的点矛盾， 当左W 0时，歹=后力不是“ 高水平函数” ；（3） :m=a+b+c, = 9a+3b+c, m nc,a+Z?4-c9a+36+c 0 ）,解得4 V V 3 ,即3 V 2 V 4,a a , 点M、尸为该函数的一组“ 高水平点” ，纵坐标相等，由抛物线对称性包土 = 一2,得：2XO 彳 %Q %

55、o + 2恒成“设/t = -彳 XQ XQ + 2 =不（x+2 ） 2+3,13 , 谭 h v+ w Z 1,40 vv? -13. （2022秋惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数歹=41工2+6工+ 口（ W0, Q, b l，c i是常数）与y = 2x2+b2x+C2（ 2WO, Q2，历，C2是常数）满 足 。1+。2 = 0，b l= b 2 ,。1+。2 = 0 ,则这两个函数互为“ 旋转函数” . 求函数歹=27-3% +1的 “ 旋转函数” .小组同学是这样思考的，由函数y = 2 , - 3%+1可知， 田 =2 ,加 = -

56、3 ,。1 = 1 ,根据m+2=0, h = b l，Cl+C2 = 0，求出42，历，C2就能确定这个函数的“ 旋转函数” .请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y =，-4x+3的 “ 旋转函数”是 ）, = - / - 4x - 3 ；（2）若函数y = 5 f + （ 阳- 1） x+n与） ， =- 5x2 - nx - 3互 为 “ 旋转函数” ，求 （ 阳 + ）20 22的值；( 3 )已知函数y =2 ( x - 1 ) G + 3 )的图象与x轴交于4 B两点、 ,与歹轴交于点C ,点A, B ,。关于原点的对称点分别是小，B , Ci ，试求证：经过点小，Bi，

57、。 的二次函数与y =2 ( x - 1 ) ( x + 3 )互 为 “ 旋转函数” .【 分析】( 1 )由二次函数的解析式可得出m ，历，c i的值，结 合 “ 旋转函数”的定义可求出4 2，bz，C2的值，此问得解；( 2)由函数y =5 ，+ ( 加+ 1 ) x +与y= - 5 / - 3互 为 “ 旋转函数” ，可求出加，的值，将其代入( 加+ )2 0 2 1即可求出结论；( 3 )利用二次函数图象匕点的坐标特征可求出点4 B ,。 的坐标，结合对称的性质可求出点彳1 , B ,。 的坐标，由点小，Bi, Ci的坐标，利用交点式可求出过点小，Bi，。 的二次函数解析式，由 两

58、 函 数 的 解 析 式 可 找 出bi，c i , ai,历，C2的值， 再由m+ 2=0 , b = b2, c i + 0 2=0可证出经过点4 , Bi,。 的二次函数与函数y =2 ( x - 1 ) ( x + 3 )互 为 “ 旋转函数” .【 解答】 解: 由函数歹=工2 - 4 x + 3知，ai = L加 = -4 , c i =3 ,1 +。2 = 0 ，b = b2, Cl + C2 = o ， 4 2=- 1 ，历 = -4 , C2=- 3 ,/ . y = - x2 - 4 x - 3 ,故答案为：y= - x2 - 4 x - 3 ；( 2)解：根据题意得： 1

59、 1311Gn,解 得:1 2,( m+ ) 20 22=( 3 - 2) 20 22=1 ；( 3 )证明：化简y =2( X - 1 ) ( x + 3 ) y= 2x2+4 x-6,贝i j /、B、C三点的坐标分别为/ ( 1 , 0 ) , 8 ( - 3 , 0 ) , C ( 0 , - 6 ) ,： .A, B、C三点关于原点对称的点坐标分别为由( -1 . 0 ) , B ( 3 , 0 ) , Ci ( 0 , 6 ) , 经 过 山 、8 1、。 三点的函数解析式为y= - 2.+4 .丫 +6 ,. . . y = - 2f + 4 x + 6与原函数y =2 ( x

60、- 1 ) ( x + 3 )是旋转函数.1 4 . ( 20 22秋长沙期中) 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“ 一中点” , 例 如 点 1 , 3 ) , (2 , 6) , (V 3 - 1 , 3 V 3 - 3 ) ,都是一中点” . 例 如 ：抛物线4上存在两个“ 一中点” P i (4 , 1 2 ) ,2(- 1 ，T ) .(1 )在下列函数中， 若函数图象上存在“ 一中点” ， 请在相应题目后面的括号中打“ J ” ，若函数图象上不存在“ 一中点”的 打“ X” .d ) y = 2 x - 1 V ； y= x2- - J ；y = / +4

61、X .12 2( 2 ) 若抛物线( 记+ 3) x- m2 - w+1上存在“ 一中点” ，且与直线y = 3 x 相交于点力 (xi，y )和 5 (必 ” ) ，令E=XJ+X2 2 ,求 ， 的最小值；( 3 ) 若 函 数 产 # + (6-c+ 3) x+ a+ c-2的图象上存在唯一的一个“ 一中点” ，且 当 -1W6W2时，a 的最小值为以 求 c 的值.【 分析】(1 ) 根据定义进行判断即可；12 2( 2 ) 由定义可得3x=- / + (-m+3) x-ni2 - ni+1 , 再由判别式A = 7 - 1 0 , 求出MW2 3 91 , 根据根与系数的关系可得仁5

62、 (加一 2 -去 当加= 1 时，f 有最小值g;( 3 ) 山定义可得 x?+ (b - c+3) x+a+c - 2= 3x, ill题意可知 = (.b - o) - a - c+2=0,得到a = (b - c) 2 - c+ 2 ,当 -1WCW 2时，b = c时， a 有最小值求出c的值； 当 c 2 2 时，当b = 2时，a有最小值求出c的值；当 c - 1 时，当 b= - 1 时，a有最小值，求 出 c的值.【 解答】解：(1)当3x=2x- 1 , 解得x= - 1,. . 点( -1, - 3 ) 在y= 2x- 1 上，； .y=2x - 1 存在一中点”( -1

63、, -3 ),故答案为： V； 当 3 x = - - l ,解得 = 封 烂 或 x = 匕 烂 ， , 点(3 + y n3-/T3 9-3V13)在 、 =x2- 上,-*.y=x2- l 上存在两个“ 一中点故答案为： V ； 当3X= 7 + 4时，V A = 9 - 16.a (b - c) - c+2当-1WCW2时，6 = c 时，a 有最小值2 -c = c ,当 c22 时，(2 - c) 2 - c+ 2 c,解得。 = 3 + 8 或 。 =3 - b (舍) ；当 cW - 1 时，( -1 - c) 2 - c+ 2 c,整理得c2= -3 ,.c 无解；综上所述：

64、c 的值为1或 3+遮.15. (2022春雨花区校级月考, ) 定义：若关于x 的一元二次方程/ +法+。 =0 (aW O )的两个实数根为XI，X2如 (X1 3 ) 的图象上？若有，请求出6, c 的值；若没有，请说明理由.【 分析】(1)解方程, - 3 x = 0 后，根据定义即可求M 点坐标；( 2 ) 求出方程的解为x = l 或 x=5， ，再分情况讨论：当 5， 2 1 时 , ，此 时 M (l, 5/)：当 0W 5W l时，此时Af(5m, 1 ) , 当 5机 X2=3,： .M （ 0, 3 ） , , 该方程的衍生点M的 坐 标（ 0, 3 ） ；（ 2 ） x

65、2 - （ 5加+1） x +5m = 0 的解为x= 1 或 、 =5朋，当5用2 1时，加之.此时 A / （ 1 , 5m） 9由题意可得1 = 5 ? ，解得m= 1 ；1当 0W 5W l 时，O W m w g ,此时 M （ 5m, I） ,5m = 1 J.*./= r ；当 5? v o 时，M （ 5川，1 ） ,此 时1 = - 5m,解得m= - 1 ；综上所述： 的值为; 或T ；5 5（ 3 ）存在6, c满足条件，理由如下： y= kx+2 （ R 3） = kx+2k+6= k （ 户2 ） +6,二直线经过定点（- 2 , 6） ,二方程x 2 +b x +c

66、 = 0的衍生点M为（ - 2 , 6） ,: .b= - （ - x i +x 2 ）= - 4 , c= xix2= - 1 2 .1 6. （ 2 02 2秋如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“ 1倍点” ，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“ 2倍 点 例 如 ，点 （-1 , - 1 ）是函数y = 4 x +3图象的“ 1倍点” ，点 （ 一| ,- 3 ）是函数y = 4 x +3图象的“ 2倍点” .（ 1 ）函数8的图象上是否存在“ 2倍点” ？如果存在，求 出“ 2倍点” ；（ 2 ）若抛物线y =

67、/ +5x +c上有且只有一个“ 1倍点” E ,该抛物线与x轴交于M、N两点 （ 点M在点N的左侧） . 当 。 1时，求：c的取值范围；直接写出NE MN的度数.【 分析】（ D根 据“2倍点”的概念直接作答即可；（ 2）根据有且只有一个“1倍点”求出与。的数量关系，根据a的取值范围求出c的取值范围；先求点 的坐标，然后求点用和点N的坐标，然后比较线段长度，最后求出NEMN的度数.【 解答】解：（ 1）存在，设“2倍点”的坐标为（ x, 2x） ,则 2x= x2 - 8解得：x= - 2或4,“2倍点”的坐标为（-2, -4 ）或（ 4, 8）；（ 2）由题意可知，y= ax1+5x+c

68、与y = x有且只有交点，贝X=OX2+5X+C,整理得： /+ 4x+ c= 0,则该方程有两个相同的实数根，即 =16 - 4 ac0,ac=4, 4, , 4 = ?V al,A0c 0 ）的图象上有且只有一个“ 立信点” ，令5 =房+4 ” ，当*64+1时，s有最小值f,试求f的值.【 分析】（ 1 ）运 用 “ 立信点”的概念作答即可；（ 2 ）求出xi， X 2是方程/+ （ 2 A+ 3 ） x+必=0的两个根，然后利用根与系数的关系求出&的值；因为有且只有一个“ 立信点 ， 得到 = 0 ,进 而 得 到 -1 ） 2 = 4 ” ，求出s = 2 （ b 分2 + 最终求

69、出, 的值.1 1【 解答】解：（ 1 ）当x = y时，x= -2 x+ l,此时坐标为 ，- ） ；当x = y时，x= ，+ 2 x-2 ,此时坐标为（ -2 , -2 ）或（ 1 , I ） .故答案为： （ 一寺，寺（ -2 ，- 2 ）或（ 1 , 1 ） .（ 2 ）山题意可知，xi=好 + 2 （ k + 2 ）乂1 + k2,x2 = X 2 + 2 （ k + 2）X2 + k2,： .x , X 2是 方 程（ 2什3 ） x + F = 0的两个根，由根与系数关系可得，xi+ % 2 = （ 2左+ 3 ） ,X 1 * X 2 = F ,1 1 一 + = 1 ,X

70、i X2%1+%2 = _1%1 %2 ，. 一 （2上+3 ） 1, H = f解 得 仁3或 -I .（ 3 ）由题意可知，a x2+ （ 6 - I ） x+ l= 0 ,有两个相等的实数根，A = （ 6 -1 ）2 - 4。 =0 ,二（ 6 -1 ） 2= 4 a,： .s= b2+4 ab2+ （ b- I） 2 = 2b2 -2 6 + 1 = 2 Cb2 -* + 1 ）+ | = 2 （ b一分 2+ 1 ,. . 当另时，s有最小值，t 1 8 . （ 2 0 2 2秋岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点. 例如，对于函数_y= x-l,令y =

71、 0 ,可得x = l ,我们就说1是函数y= x - 1的零点.（ 1 ）求一次函数_y= 2 x - 3的零点；（ 2 ）若二次函数y= / +岳 + / 的零点为xi, X 2 , A, 8两点的坐标依次工（ xi, 0 ） , B（ X 2 ，0 ） ,如果 5 = 2 ,求人的值；（ 3 ）直线y= - 2x+b的零点为1 ,且与抛物线了= 小-（ 3左+ 3 ） x+2k+4 （ 公例）交于C、。两点，若时，线段CD有最小值3 6，求 ， .【 分析】（1） 当y = 0 时，求出x 的值即可；（2） 由题意可得x2+bx+|b=0,再由根与系数的关系可得xi+x2= - b, x

72、 rX 2 = |b ,根据AB= J （ / +% 2）2 4% 1% 2 = 2 ,求出b 的值即可；（3）求出/ ） 的值， 联 立 方 程 组 ? = 12； + ： 整理得履2 -（3叶 1）户2什2（y = k x 一 （ 3k + 3）x + 2k + 4= 0 , 再求8 |= V 5 |l-k 分三种情况讨论：当Z+2W1时，此 时 CD有最小值遍|1 - mK- 2|=3V 5,解得胆= - 4 或 ?=2 （舍） ；当 5+ 121时，即 m 2 0 ,此时 8 有最小值西|1- m - 1|=3V 5,解得机=3 或 ， ” = - 3 （舍） ；当 ， ”+11朗+

73、2 , 即 -1 加 0,；.b6 或 b0,.*.xi+x2- - b, xi ,%2=；4B= J （%i + 冷） 2 _ 4%62 =2,：.b=3V13;（3） , 直线y= - 2x+b的零点为1,J - 2+6=0,解得b=2r y= - 2x+2,联立方程组 = 2；+ j A，（ y = kxl 一 （ 3k + 3）x + 2/c + 4整理得Ax2- （3什 1） x+2行2=0,. 3fc+l 2k+2xchxo= R, xc切=- q-，CD=国（竿y _ 4 x 竿=强 等 | = V 5 |l-i|,*/ 附+ 1 m+2,K当 m+2Wl时 , 即 朋 W- l

74、 , 此时CD有 最 小 值-/M-2|=3V5,解得阳= - 4 或 m=2 （ 舍） ；当 /M+ 1 2 1 时，即加0 , 此时C Q 有最小值遍| 1 1 | = 3 遍 ，解得m = 3 或加= - 3 ( 舍) ：当, + 1 1 0恒成立，对于关于6 的一元二次不等式恒成立，只需A = 1 6 / - 16a0,/. b2 - 4出) + 4a 0 恒成立，关于b 的一元二次不等式恒成立， = 1 6 / - 1 6 t z 0 ,解得O C a V l .2 0 . ( 2 0 2 2 春西城区校级期中) 对任意的实数m有如下规定：用阿 表示不小于m的最小5整数，例如叩=3

75、, 5 =5 , - 1 . 3 = - 1 , 请回答下列问题：( 1 ) 0 W 国 - x l ； x - 2 0 2 2 = x - 2 0 2 2 ； 3 x =3 x ； x + y =M ) 小 若 x = a ( a 为整数) ，则a - l % % , 可 得 - 3 x-IV- 2 , 则 x - 1 =- 2 , B P 2 r + l = - 2 , 解得x= -|； 设甲乙两地距离为( a + b ) 痴 ，其中a是整数，0 W 6 V 1 , 车费为y 元，由题意可得y= 1 3 + 2 . 3 ( 4 - 3 ) 或 y=1 3 + 2 . 3 ( a - 3)

76、+ 2 . 3 , 先确定甲乙两地距离 1 2 V a + b W 1 3 , 再由题意进一步得到1 2 . 8 0 + 6 1 3 , 则从甲地到距离甲地1 公里再返回，行驶的总路程为2Ca+b) - 2 = 2 ( a+b - 1 ) , 由 2 3 . 6 2 ( a+b - 1 ) x, 则 x - x 1 ；故符合题意；当 x 为整数时， x - 20 22 = X - 20 22, x = x,： . x-2022= x 20 22,当 x 是分数时， x - 20 22 = x - 20 22；故符合题意；当 网 = 1 , 3 x = 3,； . 3x W 3 x ；故不符合题

77、意；1当 x = y = 2 时， x + y = l+ l= 2, x+ y = l， 田+ 仅产口+ 用；故不符合题意； ： = 。(a 为整数) ， x= a 或 a - 1 xxx,/.x2x+2x+l, -2 x - 1, e - 3 Vx - 1V - 2,： .x- 1= - 2 , 即 2x+l= -2 ,解得x = T ；综上所述：方程的解为x = | 或 x = -2 ,故答案为：x = - ， 或 x= - 2 ；( 3 ) 设甲乙两地距离为(a+6) k m ,其中a 是整数，O W b l,车费为y 元，由题意可得y = 13+2.3 (a - 3 ) 或 1y=13+2.3 (a - 3) +2.3,当 6=0 时，13+2.3 (a -3 ) = 3 6 ,解得 a=13,当 0 b l 时，13+2.3 ( a -3 ) + 2 .3 = 3 6 ,解得 a=12,二甲乙两地距离12a+bW13, . 他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元，.*.12,8a+i13,： .0.S b ,从甲地到距离甲地1 公里再返回，行驶的总路程为2 (a+6) -2 = 2 (a+6- 1),/.23.62 (a+ b - 1) 24,. . . 费用y=13+ (24 - 3) X2.3=61.3 (元) ,故答案为：61.3.