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1、第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.1.直角坐标情形直角坐标情形面积元素面积元素:yo面积面积(1) 由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线直线 x=a, x=b (ab)及及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积则曲边梯形面积为为xyoabxyoab面积元素面积元素: (2) 由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积:cxyoab一般地，一般地，dc
2、xyo及及y轴围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为 xyodc一般地，一般地，及及y轴围成的平面图形的面积为：围成的平面图形的面积为： dcxyodcxyo一般地，一般地，解解先求两曲线的交点先求两曲线的交点面积元素面积元素选选x为积分变量为积分变量,例例1 1 例例2 2 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积. . xoy解解 由对称性由对称性,交点交点解解两曲线的交点两曲线的交点例例3 3 此题选此题选y为积分变量比较好为积分变量比较好,选择积分变量的原则：选择积分变量的原则： (1)(1)积分容易；积分容易；(2)(2)尽量少分块尽量少分块. . y = x2t1yx1解解例
3、例4 4 有时需要把边界函数有时需要把边界函数参数化参数化.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于第一象限部分面积的由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍倍,例例5 5 解解例例6 6 345345页页 面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2.2.极坐标情形极坐标情形扇形面积公式扇形面积公式 解解例例7 7 解解例例8 8 解解例例9 9 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积ab
4、ox y体积元素体积元素:旋转体的体积为旋转体的体积为直线直线OP的方程为的方程为解解例例1 1 例例2 2 x yOab解解 例例3 3 解解 xy利用圆面积利用圆面积x ycdox ydc例例4 4 解解 下面再补充介绍一个方法下面再补充介绍一个方法.上例上例:ox yab套筒法套筒法: :解解例例5 5 绕绕 x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积: :可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转构成旋转体轴旋转构成旋转体的体积之差的体积之差. 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积: :可看作平面图可看作平面
5、图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转构成旋转体轴旋转构成旋转体的体积之差的体积之差. 或用或用“套筒法套筒法”:2. 2. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xx x+dxA(x)ab解解建立坐标系如图建立坐标系如图,截面面积截面面积所以立体体积所以立体体积例例6 6 垂直于垂直于 x 轴的截面为直角轴的截面为直角三角形三角形, , 三、平面曲线弧长三、平面曲线弧长并依次连接相邻分点得一内接折线，并依次连接相邻分点得一内接折线， 则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧AB的的弧长弧长. 此时称弧为此时称弧为可求可求长的长的.定理定理( (弧长公式弧长公式) ) 证证在第三章在第三章“导数的应用导数的应用”中弧微分一节中弧微分一节知知, , 即得证即得证. . 推论推论1 1 推论推论2 2 证证解解例例1 1 例例2 2 解解 例例3 3 解解 例例4 4 解解 的弧长的弧长. . 练习：练习：P279 习题习题6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.22. 26. 28. 30.
