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1、2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换初等变换2. 初等矩阵初等矩阵 初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性3. 求逆矩阵的初等行变换法求逆矩阵的初等行变换法5.1 初等变换 交换第交换第i行与第行与第j行记为行记为rirj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3 1 -9 3 7r2r4 1 5 -1 -1 3 8 -1 1 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3
2、)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如-1 1 3-1 交换第交换第i列与第列与第j列记为列记为cicj . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.
3、1 初等变换 用数用数k乘以第乘以第i行记为行记为kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等变换 用数用数k乘以第乘以第i列记为列记为kci . . 1 5 -1 -1
4、1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 14c3-4 412-4 1 5-1 1 -2 3 1 -9 7 3 8 1例如例如 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等变换 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj+ +kri . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1r3-3r
5、1 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 0 -7 2 4例如例如 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等变换 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j列记为列记为cj+ +kci . . 1 5 -1 -1 1 -2 1 3 1 -9 3 7 3 8 -1 1c3+c1 0 2 4 2 1 5-1 1 -2 3 1 -
6、9 7 3 8 1例如例如 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换初等变换. (1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)； (3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.5.1 初等变换 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵（或初等方阵）（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . =E(2, 4) 例如，
7、下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2, 4) 1000010000100001E =0001100000100100c2c45.2 初等矩阵=E(3(4) 1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4) 1000010000100001E=00401000100000014 c3 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵（或初等方阵）（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下
8、列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：5.2 初等矩阵=Er(2,4(k) 1000010000100001E =010k100000100001r2+kr4=Ec(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵（或初等方阵）（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . 例如，下面
9、是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：5.2 初等矩阵 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于在施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对对A施行一次初等列变换相当于在施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵.E(1, 2)A= =与交换与交换A的第一行的第一行(列列)与第二行与第二行(列列)所得结果相同所得结果相同.AE(1, 2)= = 例如例如，设设=与第三行与第三行(列列)的的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得结果相同所得结果相同.=例如例如，设设
10、E(1,3(2)A= AE(1,3(2)= 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于在施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对对A施行一次初等列变换相当于在施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵. 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k) . E(i(k)-1=E(i(k-1)；E(i, j)-1=E(i, j)； 这是因为，初等矩阵的行列式要
11、么为这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为要么为-1,要么为要么为k(k0) . .其其逆阵逆阵分别为分别为:例1例例2 2 设设A可逆，可逆，A经过交换第经过交换第 i行与第行与第j行后得到行后得到B， 证明证明B可逆可逆. 证明：证明：由条件知，一定存在初等矩阵由条件知，一定存在初等矩阵E(i,j),使得使得B=E(i,j)A.又又A可逆，可逆，|A|0，|E(i,j)|=-1.|B|=|A|E(i,j)| 0,即即B可逆可逆.6.3 求逆矩阵的初等变换方法定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A可逆，则可以通过可逆，则可以通过初等行变换初等行变换将将A化为单位矩阵化为单位矩阵. . 证：证：
12、 因为因为A可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的第一列不全为的第一列不全为0,不妨设不妨设a11 0. .将将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:由定理由定理1 1知，知， 其中其中Fi是对应初等矩阵是对应初等矩阵. . 一直进行下去，最终把一直进行下去，最终把A化成了化成了单位矩阵单位矩阵E. . 同理可得同理可得B2: 即即B2的第二行第二列元素化为的第二行第二列元素化为1, 第二列的其它元素全化为
13、零第二列的其它元素全化为零.利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法( (要求：熟练掌握要求：熟练掌握) ) 构造一个构造一个 n2n 矩阵矩阵( (A| |E) )，对矩阵对矩阵( (A| |E) )作初等行变换，当作初等行变换，当左部左部A变成单位矩阵变成单位矩阵E时，右部单位矩阵时，右部单位矩阵E则变成则变成A-1-1. .即即 推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵可以表示为有限个初等矩阵的乘积的乘积. .即若即若, ,则则而而就是说，当通过初等行变换将矩阵就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成变成E时，经过同样的变换把时，
14、经过同样的变换把E变成变成了了A-1. .于是有于是有, ,即即解：解：例例3.3. 若矩阵若矩阵A可逆，则矩阵可逆，则矩阵(A |E)可经初等行变换化为可经初等行变换化为(E | A- -1).-0.5r2-r3例例4 4求矩阵求矩阵A= 的逆矩阵的逆矩阵.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解：解： 1 0 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 2 -2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1 -2 -2 1 0 0 0 2 7 -2 1r3-2r2 1 0 0 -2.5 1-0.5 0 1 0 5 -1 1 0 0 2 7 -2 1r2+r3r1-0.5r3 1 0 0 -2.5 1-0.5 0 1 0 5 -1 1 0 0 1 3.5 -1 0.5，-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1= .(A E )=r30.5 若矩阵若矩阵A可逆，则矩阵可逆，则矩阵(A |E)可经初等行变换化为可经初等行变换化为(E |A- -1).作业作业作业作业：8484页页页页 15(1)15(1)；1717
