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1、第二章多元正态分布1 1 多元正态分布的定义多元正态分布的定义一、标准多元正态分布一、标准多元正态分布 设随机向量 , 独立同分布于 ，则的 密度函数为其中的 均值为 协方差为 二、一般的正态分布二、一般的正态分布 其中 的均值为 协方差为称 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。 设随机向量 ,若其的密度函数为 三、一般的正态分布和标准正态分布的关系三、一般的正态分布和标准正态分布的关系设 ，其中 是一个 阶非退化矩阵，服从 维标准正态分布，则 服从 维正态分布，且均值向量为 协方差为 若 ，则1存在， 是非退化 元正态分布； 若 ，则 不存在， 是退化 元正态分布，不存在密度函数。 注：
2、注： 设随机向量 ， 是常数向量， 是一个 的常数矩阵，则 服从正态分布，记为 ，其中 例：设随机向量 ， ， ，则 的分布是退化的三元正态分布。2 2 多元正态分布的性质多元正态分布的性质二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何线性函数 服从一元正态分布 。一、多元正态分布的特征函数一、多元正态分布的特征函数 三、 X服从 维正态分布，则 ，其中 为 常数矩阵， 为 维的常数向量，则 四、设 ，则 的任何子向量也服从多元正态分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子矩阵。 五、设 , ， 相互独立，且，则对任意 个常数 ，有 六、 ，则 分布。 七、将 作如下的分块： 子 向量相
3、互独立，当且仅当 。证：必要性 八、设 ， ， ，其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵， ， ，则 与 相互独立，当且仅当 。 九、设 ， ， ，其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵， ， ，则 与 相互独立，当且仅当 。 同上可证。 十、将 作如下的分块： 则 与 相互独立， 与 相互独立 。证：则给定 时 的条件分布为 ，其中 十一、将 作如下的分块： 为 给定的条件下 数学期望。 十二、偏相关系数十二、偏相关系数 矩阵 称为条件协方差矩阵，它的元素用表示。是当 给定的条件下， 与 （ ）的偏相关系数，定义为 它度量了在值 给定的条件下， 与（ ）相关性的强弱。例 设XN6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相关系数。
