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1、第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 如如果果在在一一容容器器内内有有N个个理理想想气气体体分分子子，其其平平均均平平动动动能为动能为实际情况是，气体速率不完全相同。可以认为是从实际情况是，气体速率不完全相同。可以认为是从 0 之间的任意值。之间的任意值。问题问题1：是否说明容器内的气体具有相同的速率？：是否说明容器内的气体具有相同的速率？问题问题2：各个速率区间的气体分子数相等吗？：各个速率区间的气体分子数相等吗？实验证明，容器内气体在各个速率区间的分子数是不实验证明，容器内气体在各个速率区间的分子数是不同的，有的速率区间的分
2、子数多些，有的少些。同的，有的速率区间的分子数多些，有的少些。问题问题3：容器内：容器内N个分子的速率分布有什么规律？个分子的速率分布有什么规律？1第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 对对某某一一分分子子，其其任任一一时时刻刻的的速速度度具具有有偶偶然然性性，但但大大量分子从整体上会出现一些统计规律。量分子从整体上会出现一些统计规律。 按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。速
3、率的分布规律。一、速率分布函数一、速率分布函数1.将速率从将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速率区间。 1859年年，麦麦克克斯斯韦韦用用概概率率论论证证明明了了在在平平衡衡态态下下，理理想想气气体体分分子子速速度度分分布布是是有有规规律律的的，这这个个规规律律叫叫麦麦克克斯斯韦韦速速度度分分布布律律，若若不不考考虑虑分分子子速速度度的的方方向向，则则叫叫麦麦克克斯斯韦韦速率分布律。速率分布律。2第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律2.总分子数为总分子数为N，在，在 vvv区间内的分子数为区间内的分子数为N
4、v例如速率间隔取例如速率间隔取100m/s ，101200m/s的分子数为的分子数为Nv2出出现的概率为现的概率为 任一速率区间内分子出现的概率为任一速率区间内分子出现的概率为所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。所取速率区间越小，对分布情况的描述也越精确。1.将速率从将速率从 0 分割成很多相等的速率区间。分割成很多相等的速率区间。一、速率分布函数一、速率分布函数0100m/s的分子数为的分子数为Nv1出现出现的概率为的概率为3第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 若要将气体分子按速率分布准确描述，则需要将速若要将气体分
5、子按速率分布准确描述，则需要将速率区间尽可能取小，当率区间尽可能取小，当v0时，即取时，即取dv为分子速率区为分子速率区间，其相应分子数为间，其相应分子数为dNv。这概率在各速率区间是不同的，它应是速率这概率在各速率区间是不同的，它应是速率 v 的函数，的函数，并且与区间的大小并且与区间的大小dv成正比成正比其中其中 f(v) 称为称为分子的速率分布函数分子的速率分布函数。则任一速率区间（则任一速率区间（vvdv）间内的分子出现的概率）间内的分子出现的概率为为4第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律分子的速率分布函数分子的速率分布
6、函数:速率在速率在 v 附近的单位速率区间内的附近的单位速率区间内的分子数占分子分子数占分子总数的百分比。总数的百分比。或：在某一速率区间（或：在某一速率区间（vvdv）间内的分子出现的）间内的分子出现的概率（概率（概率密度概率密度）。）。5第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律分子速率分布图分子速率分布图：分子总数分子总数dNv 为速率在为速率在 v vdv 区间的分子数区间的分子数.表示速率在表示速率在v vdv 区间的分子数区间的分子数占总数的百分比占总数的百分比 .单位速率区间单位速率区间分子的百分比分子的百分比速率分布函
7、数速率分布函数6第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律T：气体热力学温度；：气体热力学温度；二、麦克斯韦速率分布规律二、麦克斯韦速率分布规律 对于不同气体有不同的分布函数。对于不同气体有不同的分布函数。1860麦克斯韦首麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。先从理论上推导出理想气体的麦克斯韦速率分布函数。麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布曲线分布曲线m：一个气体分子的质量；：一个气体分子的质量；k：玻尔兹曼常量：玻尔兹曼常量.7第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分
8、子速率分布律2.曲线下宽度为曲线下宽度为 dv 的的小窄条面积就等于在小窄条面积就等于在该速率区间内分子出该速率区间内分子出现的概率现的概率3.在在vvv速率区间速率区间内分子出现的概率内分子出现的概率1. f(v)v曲线曲线讨论讨论: v0时，时， f(v)0 v时，时，f(v)08第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律4.在整个曲线下的面积为在整个曲线下的面积为 1（ 归一化条件）。归一化条件）。分子在整个速率区分子在整个速率区间内出现的概率为间内出现的概率为 1(100%) 。5.可以看出，按麦克斯可以看出，按麦克斯韦速率分
9、布函数确定的韦速率分布函数确定的速率很小和速率很大的速率很小和速率很大的分子数都很少，且有一分子数都很少，且有一个速率分布概率极大值。个速率分布概率极大值。9第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 利用麦克斯韦速率利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速分布率可计算最概然速率、方均根速率、平均率、方均根速率、平均速率等物理量。速率等物理量。1.最概然速率最概然速率 vP最概然速率也称最概然速率也称最可几速率，表示在最可几速率，表示在该速率下分子出现的该速率下分子出现的概率最大。概率最大。将将 f(v ) 对对 v 求导，令一次导数为求
10、导，令一次导数为 0三、三种统计速率三、三种统计速率10第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律最概然速率最概然速率11第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律讨论：讨论： vp与温度与温度T 的关系的关系曲线的峰值右移，由曲线的峰值右移，由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值降低。变，所以峰值降低。最概然速率最概然速率参考课本参考课本P197图图7-9（N2气体的速率分布曲线）。气体的速率分布曲线）。12第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯
11、韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律曲线的峰值左移曲线的峰值左移,由由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值升高。变，所以峰值升高。 vp与与分子质量分子质量m的关系的关系讨论：讨论：最概然速率最概然速率13第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律由由和和最概然速率最概然速率有有即即讨论：讨论：14第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律假设：速度为假设：速度为v1的分子有的分子有N1个，个， 速度为速度为v2的分子有的分子有N2 个，个，则平均速率为：
12、则平均速率为：2.平均速率平均速率三、三种统计速率三、三种统计速率N015第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：代入麦克斯韦理想气体的速率分布函数：设设则则2.平均速率平均速率16第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律利用积分公式利用积分公式得：得：由由和和平均速率平均速率17第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律3.方均根速率方均根速率 三、三种统计速率三、三种统计速
13、率由由和和 得：得：18第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律4.三种速率的比较：三种速率的比较：l气体的三种速率都与成正比，与（或气体的三种速率都与成正比，与（或 ）成反比。成反比。l数值上，最大；次之；最小。数值上，最大；次之；最小。19第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律4.三种速率的比较：三种速率的比较：应用：应用：最概然速率最概然速率 表征了气体分子按速率分布表征了气体分子按速率分布的特征；平均速率的特征；平均速率 运用于气体分子的碰撞；方运用于气体分子的
14、碰撞；方均根速率均根速率 用于计算分子的平均平动动能。用于计算分子的平均平动动能。20第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律表示在速率表示在速率v1v2速率区间内，速率区间内，分子出现的概率。分子出现的概率。表示在速率表示在速率v1 v2速率区间内，速率区间内，分子出现的个数。分子出现的个数。表示在速率表示在速率v附近，附近，dv 速率区间速率区间内分子出现的概率。内分子出现的概率。表示在速率表示在速率v附近，附近，dv速率区间速率区间内分子的个数。内分子的个数。补充例题：补充例题：试说明下列各式的物理意义。试说明下列各式的物理意
15、义。21第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦在麦克斯韦在 1860 年年从理论上预言了理想气从理论上预言了理想气体的速率分布律。体的速率分布律。60 年年后，也就是后，也就是 1920 年斯特年斯特恩通过实验验证了这一恩通过实验验证了这一规律，后来密勒和库将规律，后来密勒和库将实验进一步完善。实验进一步完善。 麦克斯韦速率分布律的实验麦克斯韦速率分布律的实验验证验证 22第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律实验装置实验装置通常，实际气体速率的分布与麦氏速率
16、分布律相符，通常，实际气体速率的分布与麦氏速率分布律相符，但密度大的情况不符合。但密度大的情况不符合。金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵23第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律根据根据实验实验数据列表数据列表分布表分布表在在0时氧气分子速率的分布情况时氧气分子速率的分布情况速率区间速率区间（m/s）分子数出现的概率分子数出现的概率N/N100以下以下100200200300300400400500 500600 600700 700800 800900900以上以上 0.0140.0810.1650.2140.
17、2060.1510.0920.0480.0200.009可以看出：低可以看出：低速和高速运动的分速和高速运动的分子较少，多数分子子较少，多数分子以中等速率运动。以中等速率运动。对于任何温度对于任何温度下的任一气体，大下的任一气体，大体上都是如此。体上都是如此。本节本节结束结束24第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律25第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦是麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、世纪英国伟大的物理学家、数学家。数学家。1831年年11月月13
18、日生于苏格兰的爱丁堡，日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学岁时进入爱丁堡中学学习，学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习。年转入剑桥大学三一学院数学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。年在苏
19、格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。年选为伦敦皇家学会会员。 26第七章第七章 气体动理论气体动理论7-6 7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律 1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁论电和磁，并于，并于1873年出版。年出版。1871年受聘为剑桥年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著大学新设
20、立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到的第一任主任，直到1879年年11月月5日在剑桥逝世。日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。伟大的综合之一。27
