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1、第六节 空间直角坐标系三年三年1 1考考 高考指数高考指数:1.1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；2.2.会推导空间两点间的距离公式会推导空间两点间的距离公式. .1.1.本节内容属了解内容，一般不单独命题本节内容属了解内容，一般不单独命题2.2.本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离；本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离；3.3.通过求点的坐标考查空间想象能力，通过求两点间的距离考查通过求点的坐标考查空间想象能力，通过求两点间的距离考查计算能力计算能力. .1.1.空间直角坐标系及有关概念空间
2、直角坐标系及有关概念(1)(1)空间直角坐标系空间直角坐标系名名 称称 内内 容容 空间直角空间直角坐标系坐标系 以空间一点以空间一点O O为原点，具有相同的单位长度为原点，具有相同的单位长度, ,给给定正方向定正方向, ,建立三条两两垂直的数轴：建立三条两两垂直的数轴：x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，这时建立了一个空间直角坐标系轴，这时建立了一个空间直角坐标系_._.坐标原点坐标原点 点点O O坐标轴坐标轴 _、 _、 _坐标平面坐标平面 通过每两个坐标轴的平面通过每两个坐标轴的平面OxyzOxyzx x轴轴y y轴轴z z轴轴(2)(2)右手直角坐标系的含义右手直角坐标系的含义当右手
3、拇指指向当右手拇指指向x x轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向y y轴的正方向时，中指轴的正方向时，中指指向指向_的正方向的正方向. .(3)(3)空间中点空间中点M M的坐标的坐标空间中点空间中点M M的坐标常用有序实数组的坐标常用有序实数组(x,y,z)(x,y,z)来表示，记作来表示，记作M(x,y,z)M(x,y,z)，其中，其中x x叫做点叫做点M M的的_，y y叫做点叫做点M M的的_，z z叫做点叫做点M M的的_._.建立了空间直角坐标系后，空间中的点建立了空间直角坐标系后，空间中的点M M和有序实数组和有序实数组(x,y,z)(x,y,z)可建立一一对应的关系可建立一
4、一对应的关系. .z z轴轴横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考: :空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：提示：三个坐标平面把空间分为八部分三个坐标平面把空间分为八部分. .(2)xOz(2)xOz平面内点的坐标的特点是平面内点的坐标的特点是_._.【解析解析】点在点在xOzxOz平面内平面内, ,故点在故点在y y轴上的射影一定是坐标原点轴上的射影一定是坐标原点, ,其纵坐标为其纵坐标为0,0,横坐标、竖坐标不确定横坐标、竖坐标不确定. .答案答案: :纵坐标为纵坐标为0 0(3)(3)在空间直
5、角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)M(-5,3,1)关于关于x x轴的对称点坐标轴的对称点坐标为为_._.【解析解析】关于关于x x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数相反数. .答案：答案：(-5,-3,-1)(-5,-3,-1)2.2.空间两点间的距离空间两点间的距离(1)(1)设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|AB|=_|AB|=_特别地，点特别地，点P(x,y,z)P(x,y,z)与坐标原点与坐标原点O O的距离为的距离为|OP|
6、=_.|OP|=_.(2)(2)设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )是空间中两点，则线段是空间中两点，则线段ABAB的中的中点坐标为点坐标为_._.【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考: :在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢? ?提示：提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面是以定点为球心，以定长为半径的球面. .(2)(2)已知空间两点已知空间两点
7、A(2,0,4),B(-6,2,-2)A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段，则线段ABAB的中点到原的中点到原点的距离为点的距离为_._.【解析解析】由中点坐标公式可得线段由中点坐标公式可得线段ABAB的中点为的中点为(-2,1,1),(-2,1,1),故到故到原点的距离为原点的距离为答案：答案：(3)(3)已知点已知点P(1,1,1),P(1,1,1),其关于其关于xOzxOz平面的对称点为平面的对称点为PP，则，则 =_.=_.【解析解析】由题意得由题意得P(1P(1，-1-1，1),1),答案：答案：2 2 求空间点的坐标求空间点的坐标【方法点睛方法点睛】1.1.建立恰当坐标系
8、的原则建立恰当坐标系的原则(1)(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上. .2.2.求空间中点求空间中点P P的坐标的方法的坐标的方法(1)(1)过点过点P P作与作与x x轴垂直的平面，垂足在轴垂直的平面，垂足在x x轴上对应的数即为点轴上对应的数即为点P P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标. .(2)(2)从点从点P P向三个坐标平面作垂线，所得点向三个坐标平面作垂线，所得点P P到三个平面的距离到三个平面的距离等于
9、点等于点P P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点而可求得点P P的坐标的坐标. .【例例1 1】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的坐轴上的射影的坐标为标为_._.(2)(2)已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱长均为的各棱长均为2 2，以，以A A为坐标原点建为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标. .【解题指南解题指南】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角
10、坐标系中, ,点在点在x x轴的射影的坐标满轴的射影的坐标满足横坐标相同足横坐标相同, ,纵、竖坐标均为零纵、竖坐标均为零.(2).(2)注意空间直角坐标系的注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小建立以及三棱柱底面三角形角的大小. .【规范解答规范解答】(1)(1)点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的横坐标与点轴上的射影的横坐标与点P P相相同同, ,纵坐标、竖坐标均为纵坐标、竖坐标均为0.0.故射影坐标为故射影坐标为(2,0,0).(2,0,0).答案：答案：(2,0,0)(2,0,0)(2)(2)以以A A点为坐标原点，点为坐标原点，ACAC、AAAA1
11、 1所在直线分别所在直线分别为为y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系，如图所示轴建立空间直角坐标系，如图所示. .设设ACAC的中点是的中点是D D，连接，连接BDBD，则，则BDyBDy轴，且轴，且A(0,0,0),B( 1,0),C(0,2,0)A(0,0,0),B( 1,0),C(0,2,0)，A A1 1(0,0,2),B(0,0,2),B1 1( 1,2),C( 1,2),C1 1(0,2,2).(0,2,2).【反思反思感悟感悟】1.1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合
12、理利用特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用. .2.2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上. . 空间中点的对称问题空间中点的对称问题【方法点睛方法点睛】空间直角坐标系中点的对称规律空间直角坐标系中点的对称规律已知点已知点P(x,y,z)P(x,y,z)，则点，则点P P关于点、线、面的对称点坐标为：关于点、线、面的对称点坐标为：点、线、面点、线、面 对称点坐标对称点坐标 原点原点 (-x,-y,-z)(-x,-y,-z) x x轴轴 (x,-y,-z)
13、(x,-y,-z) y y轴轴 (-x,y,-z)(-x,y,-z) z z轴轴 (-x,-y,z)(-x,-y,z) xOyxOy平面平面 (x,y,-z)(x,y,-z) yOzyOz平面平面 (-x,y,z)(-x,y,z) xOzxOz平面平面 (x,-y,z)(x,-y,z) 【例例2 2】如图如图, ,已知长方体已知长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的对称中心在坐标原点，的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-A(-2,-3,-1)3,-1)，求其他七个顶
14、点的坐标，求其他七个顶点的坐标. .【解题指南解题指南】由题意知，长方体的各顶点关于原点由题意知，长方体的各顶点关于原点O O和三个坐和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标坐标. .【规范解答规范解答】由题意得，点由题意得，点B B与点与点A A关于关于xOzxOz面对称，故点面对称，故点B B的坐的坐标为标为(-2,3,-1)(-2,3,-1)；点；点D D与点与点A A关于关于yOzyOz面对称，故点面对称，故点D D的坐标为的坐标为(2,-3,-1);(2,-3,-1);点点C C与点与点A A关于关于z
15、z轴对称，故点轴对称，故点C C的坐标为的坐标为(2,3,-1)(2,3,-1)；由于点由于点A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,D,D1 1分别与点分别与点A,B,C,DA,B,C,D关于关于xOyxOy面对称，故点面对称，故点A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,D,D1 1的坐标分别为的坐标分别为A A1 1(-2,-3,1),B(-2,-3,1),B1 1(-2,3,1),C(-2,3,1),C1 1(2,3,1),(2,3,1),D D1 1(2,-3,1).(2,-3,1).【反思反思感悟感悟】1.1.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于求对称点坐标要看点是关于轴对称还
16、是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律记清变化的规律2.2.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键. . 空间两点间的距离空间两点间的距离【方法点睛方法点睛】1.1.求空间两点间距离的步骤求空间两点间距离的步骤(1)(1)建立坐标系，写出相关点的坐标；建立坐标系，写出相关点的坐标；(2)(2)利用公式求出两点间的距离利用公式求出两点间的距离. .2.2.两点间距离公式的应用两点间距离公式的应用(1)(1)求两点间的距离或线段的长度；求两点间的距离或线段
17、的长度；(2)(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值；已知两点间距离，确定坐标中参数的值；(3)(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性根据已知条件探求满足条件的点的存在性. .【例例3 3】(1)(1)已知点已知点B B是点是点A(3,7,-4)A(3,7,-4)在在xOzxOz平面上的射影，则平面上的射影，则|OB|OB|等于等于( )( )(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13(A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)13(2)(2)如图所示，以棱长为如图所示，以棱长为a a的正方体的三条棱所在的直线为坐标的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标
18、系，点轴建立空间直角坐标系，点P P在正方体的在正方体的体对角线体对角线ABAB上，点上，点Q Q在棱在棱CDCD上当点上当点P P为为对角线对角线ABAB的中点，点的中点，点Q Q在棱在棱CDCD上运动时，上运动时，探究探究|PQ|PQ|的最小值的最小值. .【解题指南解题指南】(1)(1)根据空间点在根据空间点在xOzxOz平面上的射影的特点及距离平面上的射影的特点及距离公式求解公式求解.(2).(2)确定点确定点P P、Q Q的坐标，利用两点间的距离公式得到的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|PQ|，然后利用函数知识解决，然后利用函数知识解决. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选
19、C.C.由题意得点由题意得点B B的坐标为的坐标为(3,0,-4),(3,0,-4),故故 (2)(2)因为因为B(0,0,a),A(a,a,0)B(0,0,a),A(a,a,0)，P P为为ABAB的中点的中点, ,所以所以P( ).P( ).又点又点Q Q在棱在棱CDCD上运动，所以可设上运动，所以可设Q(0,a,zQ(0,a,z0 0) )，其中其中z z0 00,a0,a，故故因此当因此当 时，时，|PQ|PQ|的最小值为的最小值为【反思反思感悟感悟】1.1.解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错的错误是将坐标求错. .2.2.利
20、用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决决. .【易错误区易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论致误求点的坐标时忽略解的讨论致误【典例典例】(2012(2012临沂模拟临沂模拟) )已知点已知点P P在在z z轴上，且满足轴上，且满足|OP|=1(O|OP|=1(O为坐标原点为坐标原点) )，则点，则点P P到点到点A(1,1,1)A(1,1,1)的距离为的距离为_._.【解题指南解题指南】先确定点先确定点P P的坐标，然后利用
21、两点间的距离公式的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可求解即可. . 【规范解答规范解答】设点设点P P的坐标为的坐标为(0,0,z)(0,0,z)，由由|OP|=1|OP|=1得得 =|z|=1=|z|=1，故，故z=1.z=1.当当z=1z=1时，点时，点P P的坐标为的坐标为(0,0,1),(0,0,1),当当z=-1z=-1时，点时，点P P的坐标为的坐标为(0,0,-1),(0,0,-1),答案：答案：【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示 在解答本题时有两点容
22、易造成失误：在解答本题时有两点容易造成失误：(1)(1)忽视对点忽视对点P P坐标的讨论而丢失一个解；坐标的讨论而丢失一个解；(2)(2)不能分析点不能分析点P P的特点，导致引入的参数较多而无法的特点，导致引入的参数较多而无法解题解题. .备备考考建建议议 本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分内容考查较少，因此备考时要重视如何恰当这部分内容考查较少，因此备考时要重视如何恰当地建立空间直角坐标系、如何确定点的坐标以及如地建立空间直角坐标系、如何确定点的坐标以及如何利用两点间的距离公式解决有关问题何利用两点间的距离公式解决有关问题. .1
23、.(20121.(2012合肥模拟合肥模拟) )已知点已知点A(-3,0,-4)A(-3,0,-4)，点，点A A关于原点的对称关于原点的对称点为点为B B，则，则|AB|AB|等于等于( )( )(A)12 (B)9 (C)25 (D)10(A)12 (B)9 (C)25 (D)10【解析解析】选选D.D.由题意知点由题意知点B B的坐标为的坐标为(3,0,4),(3,0,4),故故2.(20122.(2012福州模拟福州模拟) )在坐标平面在坐标平面xOyxOy上，到点上，到点A(3,2,5)A(3,2,5)，B(3,5,1)B(3,5,1)距离相等的点有距离相等的点有( )( )(A)1
24、(A)1个个 (B)2(B)2个个 (C)(C)不存在不存在 (D)(D)无数个无数个【解析解析】选选D.D.在坐标平面在坐标平面xOyxOy内，可设点内，可设点P(x,y,0)P(x,y,0)，由题意得由题意得解得解得所以符合条件的点有无数个所以符合条件的点有无数个. .3.(20123.(2012扬州模拟扬州模拟) )正方体不在同一表面上的两个顶点为正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1)A(-1,2,-1)，B(3,-2,3),B(3,-2,3),则正方体的体积为则正方体的体积为( )( )(A)8 (B)27 (C)64 (D)128(A)8 (B)27 (C)64 (D)
25、128【解析解析】选选C.C.设正方体的棱长为设正方体的棱长为a a，根据条件则有，根据条件则有 解得解得a=4,a=4,所以体积为所以体积为4 43 3=64.=64.4.(20124.(2012滨州模拟滨州模拟) )如图，已知在长方体如图，已知在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1=2=2，BC=3,MBC=3,M为为ACAC1 1与与CACA1 1的交点，则的交点，则M M点的坐标为点的坐标为_._.【解析解析】由题意得由题意得M M为为ACAC1 1的中点的中点. .又又A(0,0,0)A(0,0,0)，C C1 1(2,3,2),(2,3,2),故故M(1, ,1).M(1, ,1).答案：答案：M(1, ,1)M(1, ,1)
