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1、浙师大附中数学组浙师大附中数学组 何承生何承生牛顿法用导数方法求方程的近似解2问题问题1：求方程求方程x3- -1=0的解的解.一一. .提出问题提出问题问题问题2：求方程求方程x3 + +2x2 + +10x- -20=0的解的解.问题问题3：求方程求方程x3 + +2x2 + +10x- -20=0的近似解，的近似解， 精确度为精确度为0.001. 设设f(x)=x3+2x2+10x-20. 因为因为f(1) f(2)0，且，且f(x)在在R上上是单调递增函数，是单调递增函数， 可知，可知，f(x)有唯一零点有唯一零点r (1,2).xy3迭代次迭代次数数区间区间中点的值中点的值中点函数近
2、中点函数近似值似值当前精确度当前精确度0（1, 2）1.52.87511（1, 1.5）1.25-2.42190.52（1.25, 1.5）1.3750.13090.253（1.25, 1.375）1.3125-1.16880.1259（1.3671875, 1.36914625）1.368166875-0.01350.0019531310（1.368166875, 1.36914625）1.368656563-0.00320.00097656f(x)=x3+2x2+10x-20.xy1 1.251.521.3751.31254看到这图，大家想到了谁？看到这图，大家想到了谁？5牛顿第一运动定律
3、：牛顿第一运动定律： 一切物体在没有受到力的一切物体在没有受到力的作用时，总保持匀速直线运动作用时，总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种运它上面的力迫使它改变这种运动状态动状态.一一. .提出问题提出问题 利用切线方程，找到了利用切线方程，找到了一步步逼近点一步步逼近点r的点：的点： x0，x1，x2， xn - -1 ，xn r思考：思考：(1) xn与与xn- -1之间是否有关系？之间是否有关系？(2) xn= xn-1- - ( f (xn-1)0). 6这种用导数的方法求方程近似解即为这种用导数的方法求方程近似解即为牛顿法牛顿法
4、.(2)中的公式即为中的公式即为牛顿法公式牛顿法公式.二二. .形成方法形成方法问题问题：xn满足什么要求才可以作为近似解？满足什么要求才可以作为近似解？比如：给定精确度比如：给定精确度z0=0.001，若，若zz0，则所求，则所求xn可作为近似解可作为近似解.精确度：精确度：7例例1. 用牛顿法求方程用牛顿法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解的近似解. 精确度精确度z0=0.001.解：令解：令f(x)=x3+2x2+10x-20，则，则f (x)=3x2+4x+10取取x0= ，xn= xn-1- - = xn-1- -第二步：第二步：8第一步：第一步：x1= ，z1= ；？ ？
5、 ？ ？ 4 2.4324 0.3919 x2=1.6173，z2= 0.3351；第三步：第三步：x3=1.3856，z3= 0.14328；第四步：第四步：x4=1.3689，z4= 0.01206；第五步：第五步：x5=1.3688，z5= 0.00007.问题：问题：不同的初始值对求方程的近似解有影不同的初始值对求方程的近似解有影 响吗？如果有，影响在什么地方？响吗？如果有，影响在什么地方？9第二步第二步. x1= x0-( f (x0)0，n2)；第三步第三步. 若精确度若精确度z= z0，则则x1即为所求，否则即为所求，否则第一步第一步. 给定初始值给定初始值x0和和精确度精确度z
6、0；三三. .化繁为简化繁为简令令x0 = x1，回到第二步，回到第二步.10四四. .感悟方法感悟方法二分法二分法牛顿法牛顿法相同之处相同之处蕴含思想蕴含思想不足之处不足之处优点优点二分法二分法牛顿法牛顿法相同之处相同之处求方程近似解，需要给定初始值、求方程近似解，需要给定初始值、精确度，需要迭代精确度，需要迭代蕴含思想蕴含思想算法思想、逼近思想、以直代曲算法思想、逼近思想、以直代曲(牛顿法牛顿法)不足之处不足之处迭代次数多迭代次数多运算繁琐运算繁琐优点优点操作容易操作容易算法简洁、迭代次数少算法简洁、迭代次数少2. 牛顿法步骤：牛顿法步骤：第二步第二步. x1= x0- - ( f (x0
7、)0，n2)；第三步第三步. 若精确度若精确度z= z0， 则则x1即为所求，否则令即为所求，否则令x0 = x1，回到第二步，回到第二步.第一步第一步. 给定初始值给定初始值x0和精确度和精确度z0；11五五. .课堂小结课堂小结1. 通过这节课的学习，你有哪些收获？通过这节课的学习，你有哪些收获？ 查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？查阅资料：求方程近似解的方法还有哪些？12六六. .课后作业课后作业 1. 用牛顿法求方程用牛顿法求方程x3-3x-1=0在在x=2附近的近附近的近似解，精确度似解，精确度z0=0.01. 2. 求求 的近似值，精确度的近似值，精确度z0=0.01.七七. .课外延伸课外延伸
