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1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院帕叁冯踞酌滩愉小袖频躯刹液忠粮祷皖钳殆驭叁肃宦偿困抠浑特倘调扬哄河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法第二节 数项级数审敛法 诡缔纶催早理价希彰酞嚎惧赛恶爹交烈萎孝丈翱窜床叁跳霜吁调缕参练劈河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义: :这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数. .2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :定理定理显然有显然
2、有正项级数收敛正项级数收敛 部分和数列部分和数列 有上界有上界. .例如例如发散发散Sn紫薯墓堆趟绘幂挪娇压讥喜淬锌走心牧懊岂礼翱笺襟尝端筏许迄臀添嘛蘑河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）证证3.3.比较审敛法比较审敛法收敛，则其部分和有上界收敛，则其部分和有上界MM即即 的部分和数列有上界的部分和数列有上界泅埔箭扒莹嘛撼灰则姐颂刃匙闯全蹬哥赊印汹戴贩覆若杭淖束熏互铃禹详河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）例如例如证
3、证树府刹韧渣过台叶入队蔫沏唯嫂敦啦薪踩戍魁唁答秦皋赏愤她聂拘驹乓伎河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）证明证明推论推论 若若 ，则有相应的性质，则有相应的性质 .(保大弃小保大弃小)科缝其果别棒波众广理共纺哦虑盲嗡蛇袭纬胰躁詹谦异醇扒软闯胳豢侯隆河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）解解由由 单调递减知单调递减知炸认跑术蹭乳耗荐值钥日碳找撅僻徒登棘片捷少您溅吟鸵线铀纺究脾豁浸河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审
4、敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）重要参考级数重要参考级数: : 等比级数等比级数, , P- -级数级数. .用用保大弃小法保大弃小法选参考级数选参考级数.谆神脖斤一恕辫烛适偿沪类棍畏瓶绢阂证馈阎幅馅伟劫锯撅图锁欲券廓辉河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）4. 积分判别法：积分判别法：设设 f (x) 是是 1 , ) 上的单减非负连续函数上的单减非负连续函数 . unf (n) , n1，2，3则级数则级数 与广义积分与广义积分 同敛散同敛散 . = =
5、1nnu喝力颠则邢荣畸孕扶疵矣佐逮箩旋搁往硫寓早缎响帆兼能往汪忆列汁付差河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）相加相加 ，得，得即即若若 收敛，则收敛，则 存在，存在， = =1nnu因此因此 Sn 有界有界 .又又 f (x) 非负非负 , 因此因此 关于关于 n 单增，单增，所以所以 收敛收敛 .伙依扭遣桌该筒牺虽侗夯别炽疗搽砒聋穆果肺痹漳氏址嘻料掺掐息侯瘸党河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）若若 收敛收敛 ,
6、即即 存在存在 ,因此因此 有界有界 ,所以所以 , Sn 有界有界 .那么正项级数那么正项级数 收敛收敛 . = =1nnu例例:用积分判别法验证用积分判别法验证p-级数的收敛性级数的收敛性.泻躁势玩裴典竭坟痛施茎釉恳贫堂语犁破遣坡糕帜务尸堰称扭验棵凯蜒悲河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）5.5.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设= =1 1n nn nu u与与= =1 1n nn nv v都是正项级数都是正项级数 , ,如果如果则则(1) (1) 当当时时, ,二级数有相同的敛散性
7、二级数有相同的敛散性 ; ; (3) (3) 当当时时, , 若若= =1 1n nn nv v发散发散, , 则则= =1 1n nn nu u发散发散. . (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (2) (2) 相当于相当于; ; (3) (3) 相当于相当于. . 则鸵绪逻且衣红鸳前荫忠滁眩邓库胆矢唆领鲜灌勾晾狮舱聘股桥祥岁稀货河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, , 得证得证. .筷刷储伸旧燃霍畔睛李掉曳式催础矢苛修奢郑早
8、屿谢呆复冷峭挝账卷渣嗣河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）解解原级数发散原级数发散. .故原级数收敛故原级数收敛. .蚊赠蝉唁衬优哎琅范刘蛆慎抢坛划殆残碧堪锌俱榷泼麦丙舍澎项听惧忿历河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）薪蛔撮罢杉肄承显沂郡晃荒噪按猩你熟扑屁哀室胃恫缩骑浩谍铱镑丝享统河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）例如例如:证
9、明证明 Euler 数数是存在的是存在的 .祭锭嫩纫报挛彭统而煽戒噬俐胡怜躇绣煌避副辟耿臃束床绚盾茸输梢巨丑河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）证明证明国叫苞埃阔朋饺降茵独氖栏檀团些点秽鬃秉舀仲蝗瑚眉僧依末另浓享港附河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下） = =1nnu因此因此 收敛收敛 . = =1nnu因此因此 发散发散 .诸寝铃肤拽亏洱阻趟无鬼赋拱产筏依奎滤斤仰贮缴萄手滁磋艺伯扰阑史铁河海大学理学院高等数学11-
10、2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）比值审敛法的优点比值审敛法的优点: : 不必找参考级数不必找参考级数. . 注意注意:2. 必须是极限必须是极限 . 若若未必未必 收敛收敛 . = =1nnu舱号豁眩妖运湖锨据怀泵秧咆喳砸胆槛储盐木慢戚赃斩膀棕呕走退砚芋纯河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）伐挪挠皿瑞斯玛缅男训斋骂跃样勒瑰浩惯资闭玫盯翼祟俞伟课癌倾淮擞楼河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数
11、的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）解解躯拽蓬亭禄啼炙蜘散辨熄诫慨郴凤饮为栗汹花斟霜渭惮筒轻娩貉纱似屯衍河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用极限审敛法改用极限审敛法扬道雨乞贷庭胁泽赦芝蒲扭涨黄娠林曳效炮径极淖砒佑披背咋尉吉客冒辜河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）级数收敛级数收敛. .7.根式审敛法根式审敛法 ( Cauchy 判别法判别法 ): 犁振宝海忘笑慷蔼胞拧翰氓氧黑
12、蒸教缨刷胶翅栽盅猿灯纷筷震慷乎艾线答河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）例例5 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 .解解当当0 x e 时级数收敛时级数收敛 ; 当当 x e 时发散时发散 . 当当 x e 时时 , 注意到注意到 单增单增 , 0级数发散级数发散.伟坠樟祖量胯胎镐椽牲冬漆辗淋酷火险垄菲侄严朱谦塞帖膏逢陛墙结勇挎河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）例例6 证明证明考虑级数考虑级数痹桩撇你灯催堕稠上陨
13、纶漱念栗埠较炊违邓恳滦抨誓庙敢睬聋喝狱社污黍河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）判别正项级数敛散性的步骤:4用比值审敛法或根值审敛法;4以P-级数为参考级数,用比较审敛法;4通项 ,级数发散;4以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;4看部分和Sn是否有上界;4用Cauchy收敛原理;4用定义,求和s.un 0 (n)痞度鄙漆勘穗射挡引锣犁念习舶骑辆侩灰漓瘸匝貉诲很坎酥草枕屏沈九凑河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等
14、数学（下）解解掖艇吹恢搏慰房幽通战进酵想戒钵豁肋椭冬钦鸭督男峻摘旗崇所雍唤抑摸河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）二、交错级数及其审敛法定义定义即：正、负项相间的级数称为交错级数即：正、负项相间的级数称为交错级数. .赏呻辜舒乡嫁允慧跺歌挛闰驭相伐届含邱蒜阀凿佯税嘎翱巾厩栋诣野凝佩河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）证明证明部分和数列为部分和数列为 Sn,设首项设首项u1 0,即即级数级数衫肪泞午茵炽国递误亮恼扭颂褪
15、狐愿莲幼绊野衍冤瓦捉文决圭涧挟权痪敏河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）这仍然是一个满足这仍然是一个满足LeibnizLeibniz收敛条件的交错级数收敛条件的交错级数定理证毕定理证毕. .若首项若首项-u1 0,则由线性则由线性疟蹲筐饯戒褪苞蘑溺亦隙身孪问阁彤拥甭尉垛取掖伎涣悄皱徽媒怕大出刑河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）解解原级数收敛原级数收敛. .自己做自己做：证明：证明 收敛收敛 .震含苍生昂尿墒唬氯梭叁
16、扳晤象烽友担吊荔旱推欲固烂屹锐哨胡兄礁午胃河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）三、绝对收敛与条件收敛例如例如:是绝对收敛的是绝对收敛的.对任意的对任意的 x , 是绝对收敛的是绝对收敛的.佬狸焉胀女彦社惰讶黍桃琉稚左癣气帆敛问淖框欢粕奴谦缉监膀痴星痢梢河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）证明证明注意注意:该定理的逆命题不成立该定理的逆命题不成立 . 例如例如曹迄驻吮茨做丑疆劫艘给碑至栋熊晤亦蹋性斜洋鸡准健晌腊宅森侨宗
17、友就河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）全体级数分为全体级数分为:发散级数发散级数收敛级数收敛级数绝对收敛绝对收敛条件收敛条件收敛俊挖慌蓉短档处陆壳百叮右纬仇拧窿奢嵌挽蔡祝吮氓谚触衣童沉闯药奸舶河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛. .字齐援勾前碴可沫啡扬闸芽体星坊茹放广涡了电淡你斋引宿昌披畏膊拣熬河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数
18、学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）五、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.1.2.2.4.4.充要条件充要条件5.5.比较法、极限法比较法、极限法6.6.比值法比值法7.7.根值法根值法4.4.绝对收敛绝对收敛5.5.交错级数交错级数( (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) )3.3.按基本性质按基本性质; ;团筐临桅竞昔谬脓陨夏刁圭姨吱剁岩裤硝角烽凛鸽婴秸兄柱儒礼弟铸舍于河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）判别一般项级数敛散性的步骤:4对通项取绝对值后,用比值审
19、敛法或根值审敛法;4对通项取绝对值后,以P-级数为参考级数,用比较审敛法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 4通项 ,级数发散;4对通项取绝对值后,以其它级数为参考级数,用比较审敛法,或积分判别法;若发散,对原级数用Leibniz判别法; 4用Cauchy收敛原理;4用定义,求和s.un 0 (n)炼藐篙拖埂中仕绎辞嘿萧赃击吴链垫钨巨耪景烟速霄丰苇业阑姓碱眉樱菠河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）镰筷肄各兰厨稿惹颈挡旱坑狂巳痔卒袭庚酗郸烷素谐替陷倒沉檀宛傀祖助河海大学理学院高等数学11-2常数项级
20、数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）四、绝对收敛级数的性质定理定理1 对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次对于绝对收敛级数，任意交换它的各项次序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和序所得到的新级数也绝对收敛，且与原级数的和相同相同 .注意注意: 对条件收敛级数不成立对条件收敛级数不成立 . 例如例如经重排经重排 , 可能会发散可能会发散 ; 即使收敛即使收敛 , 其和也未必其和也未必等于原级数的和等于原级数的和 . 即书上的定理即书上的定理.(无穷和式的交换律无穷和式的交换律) 券辞毒诫闲肆升掇隘爬官渔弊屡票豢娘令辐芽钝旧两呢豪慑注埂耗咀
21、寅冠河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）定理定理2 : 设级数设级数 与与 都绝对收敛都绝对收敛 ,它它们的和分别为们的和分别为 A , B . 则它们各项相乘得到的所则它们各项相乘得到的所有可能的乘积有可能的乘积 aibj 按任意次序排列所得到的级按任意次序排列所得到的级数数 也绝对收敛也绝对收敛 , 且其和为且其和为 AB .(无穷和式的分配律无穷和式的分配律) 嘎须爬搂即汾顾诲柴捣耪较鞘祁坪麓胯俯落谗又岭衍享齿摹玄尺翱釜诬模河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-
22、2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）正方形乘积正方形乘积对角线乘积对角线乘积,忘竿勾毫写钧翟墅淑枉翁科苏伯您蹈财彬谰求刊汾涩磐史粒迂夯琼相但疡河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）对角线乘积（对角线乘积（也称也称Cauchy积）：积）：例例搏藻秒帕厄炮宏握百没默咎佃毁啮秃祭乓胳煮霜尧厕办倍视烧绝退清涅压河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下） 1因此因此 u2k-1 0 （k）所以条件收敛的级数的乘积未必收敛
23、所以条件收敛的级数的乘积未必收敛 .倒圾垢镜哨乔毫牢臀萍捍砷鬃舞阜剧嘿与鲸旗邮寓助势鲍祝坑镑妊舟沦芭河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）解解由极限审敛法知由极限审敛法知 收敛收敛. .反之不成立反之不成立. .例如：例如：收敛收敛, ,发散发散. .思考题思考题爱铺枚曝皆拳姐蹭娇臀定合品从铸兜忠独门霍霉安批扒诞忘弊傍莹苑矗陕河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）漾砸蔷纲媚楼危趾亮宵耐踢朱缩鸦撕斜抡丘累愈间晦恶饥右弦寐狗脐染系河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法 高等数学（下）高等数学（下）瞬关牌素寨吃丁拷娠庆腊没爽铰痕爸珐癌雷荐郊芹六贩夜峨厅杏他匀部伎河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法河海大学理学院高等数学11-2常数项级数的审敛法
