高等数学邱茂路优秀课件

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1、第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 有人说，极限的思想是微积分的灵魂。这句话形象地表明了极限概念的重要性。微积分的大多数概念和运算，就是建立在极限概念的基础上。如果在微分和积分的过程中，你见不到极限，那是因为在用极限建立起概念和运算的规则后，我们便沉浸在这些概念和规则之中，而忘记了它们本质上来自于极限概念。 本章主要介绍极限的概念和计算。理解极限概念，灵活的运用各种方法计算极限是本章的重点。 2.1 2.1 极限的概念极限的概念极限的概念极限的概念 2.2 2.2 无穷小量与无穷大量无穷小量与无

2、穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 2.3 2.3 极限的计算极限的计算极限的计算极限的计算 2.4 2.4 用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限 2.5 2.5 用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 1 2. 1 2.1 2.1 极限的概念极限的概念极限的概念极限的概念 函数的极限要研究：随着自变量的变化，函数的变化趋势。 自变量的变化方式有六种，分别是： 其中： 表示

3、x从x0的两侧趋于x0 ，读作“当x趋于x0”； 表示x从x0的右侧趋于x0，读作“当x趋于x0右”； 表示x从x0的左侧趋于x0，读作“当x趋于x0左”。 相应的，函数的极限也就有六种情况。我们重点介绍两种情况，其余情况只作简单介绍。 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.1.1 2.1.1 x xx x0 0 时，函数时，函数时，函数时，函数f f ( (x x) )的极限的极限的极限的极限 xx0时函数f (x)的极限表示，随着x无限趋于x0，函数f (x)的变化趋势。 定义定义定义定义 2.1.1 2.1.1 若随着x无限趋于x0，f (x)无限趋于常

4、数A (见图2.1-1)， 图2.1-1 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 则称当x趋于x0时，f (x)的极限是A，记为 当x x0，f (x)A 或 上式中的lim是英语limit(极限)一词的缩写。上式读作 “当x趋于x0时，f (x)的极限是A”。 例例例例2.1.12.1.1 , 求 。 解：解：解：解： 例例例例2.1.22.1.2 , 求 。 解：解：解：解： 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 解：解：解：解： 例例例例2.1.22.1.2 , 求 。 ,见图2.1-2。

5、图2.1-2 以后，对于函数的极限，我们不再先写出函数是什么，然后再写出极限式，而是直接在极限符号右边，写上函数的表达式。 例如， 表示当x2时，函数f (x) = 2x2 + 2的极限。 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 定义定义定义定义 2.1.2 2.1.2 当x从x0的右侧趋于x0时，若f (x)无限趋于常数A(见图2.1-3)，称f (x)在x0处的右极限为A，记为 或 f (x0+0) = A 图2.1-3 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 将定义2.1.2中的“右”改为“左

6、”就给出左极限的定义(见图2.1-4)。f (x)在x0处的左极限记为 或 f (x0-0) 图2.1-4 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 这样，函数在一点x0处的极限就有三种情况： x从右侧趋于x0(见图2.1-3)，x从左侧趋于x0(见图2.1-4)，x从x0 两侧以任意方式趋于x0(见图2.1-1)。 下述定理指出了三种情况的关系。 定理定理定理定理 2.1.1 2.1.1 即，函数在x0处极限存在的充要条件是： 左极限存在，右极限存在，并且左右极限相等。 当函数在x0处两侧性态不一样，或表达式不一样，通常用上述定理确定函数在x0处

7、的极限。 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 例例例例2.1.42.1.4 , 求 。 解：解：解：解： 。所以 不存在。 图2.1-5见图2.1-5。 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 例例例例2.1.52.1.5 , 求 。 解：解：解：解： 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.1.2 2.1.2 x x 时，函数时，函数时，函数时，函数f f ( (x x) )的极限的极限的极限的极限 定义定义定义定义 2.1.3 2.1.3

8、x时函数f (x)的极限就是： 随着| x | 无限变大，函数f (x)的变化趋势。 若随着 | x | 无限变大，f (x)无限趋于常数A，见图2.1-6。 则称当时，f (x)的极限是A，记为 当，f (x)A 或 图2.1-6 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 例例例例2.1.62.1.6 , 求 。 解：解：解：解：。见图2.1-6。 例例例例2.1.72.1.7 , 求 。 解：解：解：解：。图2.1-7见图2.1-7。 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 类似的，当x朝正方向无

9、限变大时，若f (x)无限接近于常数A，则称当时，f (x)的极限是A，记为 当x朝着负方向无限变大时, 若f (x)无限接近于常数A，则称当时，f (x)的极限是A，记为 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.1.3 2.1.3 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限 设数列的通项公式为 y (n) = f (n) 数列可以看作是定义在正整数集合上的函数。当函数的自变量是正整数时，人们习惯于把自变量n写成下标，即 yn = f (n) 例如， 对于数列，自变量n的变化方式只有一种，即n+，但人们习惯于记成n，由于没有其它情况，这样记也不

10、会产生混乱。 例例例例2.1.82.1.8例例例例2.1.92.1.9 2. 1 2. 1 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.2 2.2 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 2.2.1 2.2.1 无穷小量无穷小量无穷小量无穷小量 定义定义定义定义 2.2.1 2.2.1： 函数(包括数列)的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋于0 的量叫无穷小量；一是趋于，趋于 的量叫无穷大量。对无穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。 若 则称当x x0时，f (x)为无穷小量,即：极限为0的量叫无穷小量。 对于自变

11、量的其它几种变化过程，可类似地叙述上述定义。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 例如： 注1对于函数f (x) 0，由于在自变量的任何变化过程中，都有lim0=0，所以，在任何变化过程中，都可以看作是无穷小量。 注2说一个变量f(x)是无穷小量，必须指明自变量的变化过程，不指明自变量的变化过程，而说f (x)为无穷小量，是没有意义的。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 例如： 当x-时ex为无穷小量； 当x+时ex为无穷大量。 若只说“ex为无穷小量”，显然是没有意义的。 无穷大量的概念

12、将在下面2.2.3段中给出。 无穷小量有下述定理所说的运算性质： 定理定理定理定理 2.2.1 2.2.1： (1). 有限个无穷小量的和，仍是无穷小量； (2). 有限个无穷小量的积，仍是无穷小量； (3). 有界量与无穷小量的积，仍是无穷小量。 注意：限定词“有限个”是必须有的，不能去掉，没有了“有限个”这个限定词，结论一般不成立。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.2.2 2.2.2 无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶 定义定义定义定义 2.2.2 2.2.2： 设 ,即当x x0时,f (x),g (x)都是无穷小

13、量 若 称：当x x0时，f (x)是比g (x)高阶的无穷小量， 记成 f (x) = o ( g (x) ) (当x x0) 通常也顺序读作：f (x) 等于小欧g (x)。 若 称：当x x0时，f (x)是与g (x)同阶的无穷小量。 记作 f (x) = O(g(x) ) ( xx0 ) 读作“f (x) 等于大欧g (x)”。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 若 称：当x x0时，f (x)是与g (x)等价的无穷小量。 记作 f (x) g(x) (当x x0)。 例如：因为 所以当x x0时，x3是比x2高阶的无穷小量。

14、因为 所以当x0时，4x2 + x3是与x2为等价的无穷小量。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.2.3 2.2.3 无穷大量无穷大量无穷大量无穷大量 定义定义定义定义 2.2.3 2.2.3： 当x x0，若f (x)的绝对值 | f (x) | 可以无限变大，称 当x x0时，f (x)为无穷大量，记作 见图2.2-1、图2.2-2。 图2.2-2图2.2-1 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 注意：注意：上式不能说成是“f (x)的极限是”，因为函数的极限总是指“一个数”，而不

15、是一个数。当x x0，| f (x) | ，是极限不存在的一种情况。 类似地可说 以及自变量的其它几种变化过程的情况。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 无穷大量有如下运算性质： (1). 两个正无穷大量的和，仍为正无穷大量； (2). 两个负无穷大量的和，仍为负无穷大量。 但不能说： 两个无穷大量的和，仍为无穷大量 例如,当两个无穷大量的方向相反,其和可能不再是无穷大量。 例如， 当x时，f (x)与g(x)都为无穷大量， 但 f (x) + g(x) 却为无穷小量。 (3). 两个无穷大量的积仍为无穷大量。 2. 2 2. 2 第二章第

16、二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.2.4 2.2.4 无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系 定理定理定理定理 2.2.2 2.2.2： 定理定理定理定理 2.2.3 2.2.3： 下述两条定理，是常用得到的，其结论也很自然。 无穷大量的倒数，是无穷小量； 无穷小量的倒数，是无穷大量。 符号“”读作“当且仅当”。 于是，若 则 f (x) = A + 其中， = f (x) A(当x x0时)为无穷小量。 利用这一性质分

17、析极限，有些情况下是很方便的。 2. 2 2. 2 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.3 2.3 极限的计算极限的计算极限的计算极限的计算 2.3.1 2.3.1 用四则运算法则求极限用四则运算法则求极限用四则运算法则求极限用四则运算法则求极限 定理定理定理定理 2.3.1 2.3.1： 极限的计算是微积分的基本技能。极限计算有很多方法和技巧，应该注意不断地总结和归纳，以不断提高极限计算的能力。 下述定理给出了极限的四则运算法则： 设 两个极限存在， 则：(1). (2). (3). 当 2. 3 2. 3 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函

18、数的极限函数的极限 证：只证明第(2)条，其余两条可类似证明。 = 0 设 要证 只需证 。这由下面的推导可见。 证毕 2. 3 2. 3 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是 都存在，以及商的极限中， 。忽视了这些条件，计算就可能出问题。在这些条件都满足的前提下，这个定理可简单地说成： 和、差、积、商的极限，等于极限的和、差、积、商 利用这些法则，可把较复杂的函数的极限，化为一些简单的函数的极限。 例例2.3.1求极限 解：解：解：解： 2. 3 2. 3 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数

19、的极限函数的极限 2. 3 2. 3 例例2.3.2求极限 解：解：解：解： 例例2.3.3求极限 解：解：解：解： 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 例例2.3.2求极限 解：解：解：解： 2. 3 2. 3 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.3.2 2.3.2 用两边夹定理求极限用两边夹定理求极限用两边夹定理求极限用两边夹定理求极限 定理定理定理定理 2.3.2 2.3.2：( (两边夹定理两边夹定理两边夹定理两边夹定理) ) 若 (1)g(x) f (x) h(x) (2)g(x) A，h(x) A (当x+ ) 则

20、f (x) A (当x +) 在几何上，定理所阐述的事实几乎是显然的。见图2.3-1。 图2.3-1在自变量的其它变化方式下，定理的结论仍然成立。例如 若 (1)g(x) f (x) h(x) (2)g(x) A，h(x) A (当xx0) 则 f (x) A (当xx0) 两边夹定理的使用方法：用简单夹复杂。 2. 3 2. 3 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 解：解：解：解：记 f (n) = 例例2.3.5找两个简单的函数夹住f (n)。 将f (n)中每一项根号下变化着的数字1,2,3,n 都看作n，f (n)被缩小，即有 2. 3 2. 3 f (

21、n) 将f (n)中每一项根号下变化着的数字1, 2, 3, n 都看作1，f (n)被放大，即有 f (n) 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 于是有 2. 3 2. 3 由两边夹定理, 有 使用两边夹定理求极限，技巧比较高，但你也不必为此担心，我们只是在2.4中用一下这个定理，在之后的内容中，再没有使用这个定理。 f (n) 而当n时，有 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.4 2.4 用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限用两个重要极限求极限 两个重要极限是指： 2.4.1 2.4.1 重要极限重

22、要极限重要极限重要极限 2. 4 2. 4 之所以是两个重要极限，是因为好多极限，都可化归到这两个极限上来计算。 对于函数 ,当x 0时,分子、分母都趋于0,四则运算法则不适用。以下采取两边夹的处理方法，也就是找两个函数h(x),g(x)，把 夹起来，即 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 4 2. 4 若有h(x)1，g(x)1，则也有 由于f (x)是偶函数，只须考虑x 0的情况。 在图2.4-1所示的单位圆上，有 (1) 图2.4-1S表示面积。注意圆的半径OA为1，第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 代入(1)式，有

23、 2. 4 2. 4 由两边夹定理有 两边同除以 而 (2) 一般的，若当时，有，则有 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 (3) 2. 4 2. 4 这只要将 (x)看作(2)式中的x，即见上式第二个等号成立。由此，我们得到比(2)式更为一般的公式： 注：注：这式子表示， 。 从现在开始，要注意记住一些等价无穷小量，因为后面要介绍利用等价无穷小量替换求极限的方法。等价无穷小量记住的越多，极限计算越灵活。 解：解：解：解： 例例2.3.2求极限 (此例说明：tan xx，当x0。一般的tan(x)(x)，当(x)0) 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极

24、限函数的极限函数的极限 2. 4 2. 4 解：解：解：解： 例例2.4.2求极限 解：解：解：解： 例例2.4.3求极限 令 arctanx = t，则 x = tant，且当 x0 时，t0。 (请记住：arctan x x,当x0) 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.4.2 2.4.2 重要极限重要极限重要极限重要极限 2. 4 2. 4 这个极限的证明很复杂，需要较多的技巧，我们只要熟记这个式子，会用就行了。 一般地，有 注意这一重要极限的特点： 底数为1+0的形式(这里0表示无穷小量)，指数为(无穷大量)；重要的是，底数1+0的无穷小部分，与指数

25、部分互为倒数。 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 4 2. 4 清楚了这些之后，我们便可用下述易记忆的说法，来表述利用这一重要极限求极限的过程，即： 底是1+ 0， 其中：前两句说的是“识别” 确定所求极限可否用第二个重要极限计算；第三句说的是使用重要极限公式的“条件”；第四句指出，当这一条件不满足时，我们需要做的事情。 指数是， 指、底互为倒(指与底的无穷小部分互为倒数)， 不倒凑其成。 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 4 2. 4 解：解：解：解： 解：解：解：解： 例例2.4.4求极限 例例2.4.5求极限

26、 解：解：解：解： 例例2.4.6求极限 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 4 2. 4 解：解：解：解： 解：解：解：解： 例例2.4.7求极限 (请记住：ln(1+x)x,当x0,一般的ln(1+(x)(x),当(x)0) 例例2.4.8求极限 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.5 2.5 用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限用等价无穷小量替换和变量替换求极限 2.5.1 2.5.1 用等价无穷小量替换求极限用等价无穷小量替换求极限用等价无穷小量替

27、换求极限用等价无穷小量替换求极限 2. 5 2. 5 在极限计算中，可用等价无穷小量替换极限式中分子或分母上的与其等价的因子，道理是很简单的。 设要计算极限 假若知道 (x) (x)， (x) (x)，则 于是， 就被 ， 所替换。当 ， 比， 形式简单，这种替换会简化极限的计算。 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 5 2. 5 上述推导中，第一步是恒等变形，第二步用到条件 注意，只能替换与其等价的无穷小量因子。 解：解：解：解： 例例2.5.1 求极限 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 5 2. 5 解：解：解：

28、解： 例例2.5.3 求极限 解：解：解：解： 例例2.5.2 求极限 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.5.2 2.5.2 用变量替换求极限用变量替换求极限用变量替换求极限用变量替换求极限 2. 5 2. 5 其实,我们已多次使用这一方法了。在前面,若当xx0,有(x)0. 我们有 ，用的就是变量替换的思想。这里单独作为一个方法提出，是想强调这一方法的重要性。 解：解：解：解：令 x = t 6，则当x1，有t1 例例2.5.4求极限 极限计算是微积分课程的基本技能，以后随着可用工具的不断增多，我们还会介绍其它一些求极限的方法和技巧，读者也应当注意总结和

29、积累求极限的方法与技巧。 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2.5.3 2.5.3 极限的思想极限的思想极限的思想极限的思想 2. 5 2. 5 至此，我们已经掌握了极限计算的基本方法。下面谈一下用极限方法求解问题的基本思想。 用极限方法求解问题的思想是： 为求一个量，先求它的近似，再取极限 这一思想，就像主旋律，将在微积分课程中多次重复。例如，导数概念的引入、积分概念的引入、广义积分及级数敛散性概念的引入，都要用到极限的这一思想。本节只以一个例子，说明极限的这一思想。 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 5 2. 5 先求近似： 先求圆内接正n边形的面积Sn，并把Sn作为圆的面积的近似，见图2.5-1。 例例2.5.4求半径为r的圆的面积S。 解：解：解：解：用极限的方法 图2.5-1三角形的底为 ，高为 所以圆内接正n边形的面积Sn为 第二章第二章第二章第二章 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 2. 5 2. 5 再取极限：令n，则近似值Sn趋近于精确值S，即