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1、第第 8 章章数字信号的最佳接收原理数字信号的最佳接收原理第 8 章 数数字字信信号号最最佳佳接接收收原原理理18.1 引言引言8.1 引言引言28.2 数字信号的统计表述数字信号的统计表述设设：一一通通信信系系统统的的最最高高传传输输频频率率等等于于fH，接接收收电电压压用用其其抽抽样值表示。样值表示。1.噪声抽样电压的一维概率密度噪声抽样电压的一维概率密度若若在在一一个个码码元元期期间间内内以以2fH的的速速率率抽抽样样，则则共共得得到到k个个抽抽样样值值：n1, n2, , ni, , nk，每每个个抽抽样样值值都都是是正正态态分分布布的的随机变量，其一维概率密度可以写为随机变量，其一维
2、概率密度可以写为式中，式中， n 噪声的标准偏差；噪声的标准偏差； n2 噪声的方差。噪声的方差。 8.2 数字信号的统计表述数字信号的统计表述32.噪声抽样电压的噪声抽样电压的k维联合概率密度维联合概率密度 n在一个码元时间在一个码元时间T 内接收的噪声平均功率：内接收的噪声平均功率： 或或n将上式代入联合概率密度式，得到将上式代入联合概率密度式，得到式中，式中，n需要注意：需要注意：f (n) 不是时间函数。不是时间函数。n是一个是一个k 维矢量，可以看作是维矢量，可以看作是k 维空间中的一个点。维空间中的一个点。 f (n)仅决定于该码元期间内噪声的能量。仅决定于该码元期间内噪声的能量。
3、 8.2 数字信号的统计表述数字信号的统计表述43.接收电压接收电压r(t) = s(t) + n(t)的的k维联合概率密度函数：维联合概率密度函数：n当发送码元当发送码元“0”时：时： 式中，式中，r (t) 接收信号和噪声电压之和；接收信号和噪声电压之和； s0 (t) 发送码元发送码元“0”时的信号波形。时的信号波形。n当发送码元当发送码元“1”时：时： 式中，式中， s1 (t) 发送码元发送码元“1”时的信号波形。时的信号波形。8.2 数字信号的统计表述数字信号的统计表述58.3 8.3 数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则1“最佳
4、最佳”的含义的含义 指错误概率最小。指错误概率最小。2最佳接收的判决规则最佳接收的判决规则n接收矢量接收矢量r 看作是看作是k维空间中一点维空间中一点nk维空间划分为区域维空间划分为区域A0和和A1n判决规则：判决规则：若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“1”。A0A1A0A18.3 数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则68.3 8.3 数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则3总误码率：总误码率：式中，式
5、中， 发送发送“1”时时, r 落在落在A0的条件概率；的条件概率； 发送发送“0”时，时，r落在落在A1的条件概率。的条件概率。A0A1A0A18.3 数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则74区域区域A0和和A1的划分的划分可以改写为可以改写为 由于由于P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。若在此积分空间若在此积分空间A1中被积因子在各点上的值都最小，则积分值才最小。这中被积因子在各点上的值都最小，则积分值才最小。这就要求在就要求在A1内所有点上被积因子满足条件：内所有点上被积因子满足条件：或者要求：或者要
6、求：当当P P(1)=(1)=P P(0)(0)时，要求时，要求在在A1内所有点上内所有点上：当当接收矢量接收矢量r 落在落在A1内时，有内时，有f0(r)f1(r)，按照上述判决规则，按照上述判决规则，应该应该判为发送码元是判为发送码元是“1”。8.3 数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳接收准则8类似地，类似地，当当接收矢量接收矢量r 落在落在A0内时，有内时，有f1(r) f0(r)， 按照上述判决规则，应该判为发送码元是按照上述判决规则，应该判为发送码元是“0”。5综上所述，最佳接收准则归纳如下：综上所述，最佳接收准则归纳如下： n二进制系统：应将接收矢量空间划分为二进制系统：应将接收
7、矢量空间划分为A0和和A1两个区域：两个区域：在区域在区域A0内所有点上：内所有点上：在区域在区域A1内所有点上：内所有点上：当当P P(1)=(1)=P P(0)(0)时，时，则要求则要求 在区域在区域A0内所有点上：内所有点上： 在区域在区域A1内所有点上：内所有点上：n对接收矢量作如下判决：当对接收矢量作如下判决：当P P(1)=(1)=P P(0)(0)时时若接收矢量若接收矢量 r 使使 f1(r) f0(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“0”，若接收矢量若接收矢量 r 使使 f0(r) f1(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“1”。8.3 数字信号的最佳接收准则数字信号的最佳
8、接收准则98.4 8.4 确知数字信号的最佳接收机：确知数字信号的最佳接收机：确知数字信号的最佳接收机：确知数字信号的最佳接收机：1码元等概率、等能量条件下码元等概率、等能量条件下 可以改写为可以改写为上式可以简化为上式可以简化为即，若即，若 则判为则判为“0 0” 若若 则判为则判为“1 1”8.4 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机102二进制等先验概率最佳接收机原理方框图二进制等先验概率最佳接收机原理方框图r(t)S1(t)S0(t)相乘器积分器相乘器积分器比较判决二进制等先验概率最佳接收机原理方框图8.4 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机113确知数字信号
9、最佳接收机的误码率确知数字信号最佳接收机的误码率确知数字信号最佳接收机的误码率确知数字信号最佳接收机的误码率n二进制等先验概率信号的误码率公式：二进制等先验概率信号的误码率公式：式中，式中，n上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别码率仅和两种信号码元波形的差别s0(t)-s1(t)的能量有的能量有关，而与波形本身无关。关，而与波形本身无关。8.4 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机124误码率的计算：首先用相关系数误码率的计算：首先用相关系数 表示上式中的表示上式中的 cn相关系数相关系数
10、 的定义：的定义：式中，式中，n 的取值范围：的取值范围：当当s0(t) = s1(t)时，时， 1，为最大值；，为最大值；当当s0(t) = -s1(t)时，时， -1，为最小值。，为最小值。 所以，所以，n当当E0 = E1 = Eb时，有时，有及及8.4 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机13n将将代入代入得出得出化简后，有化简后，有式中，式中， 误差函数误差函数补误差函数补误差函数 相关系数；相关系数； n0 噪声功率谱密度。噪声功率谱密度。14n上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（
11、最小可能）值。在下制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。图中画出了它的曲线。n由上式可以看出：由上式可以看出：p误码率和噪声功率无直接关系，误码率和噪声功率无直接关系，而和噪声功率谱密度而和噪声功率谱密度n0有关；有关；p误码率和信号波形无直接关系，误码率和信号波形无直接关系，而和而和Eb及相关系数及相关系数 有关；有关；p当当 = 1时时，误码率最大。，误码率最大。这时的误码率这时的误码率Pe = 1 / 2。p当当 = -1时，误码率最小。这时时，误码率最小。这时 2PSK信号信号15p当当 = 0 时，为正交信号。这时，时，为正交信号。这时， 2FSK信号信
12、号p当当E0 = 0，E1 = Eb时时 2ASK信号信号2ASK信号的性能比信号的性能比2FSK信号差信号差3dB，而，而2FSK信号又比信号又比2PSK信号差信号差3dB。p由由可知，可知，E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比实际上相当于接收信号噪声功率比PS/Pn16多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，能量也相等， 则有则有式中，式中，M 进制数；进制数； E M进制码元能量；进制码元能量； n0 单边噪声功率谱密度。单边噪声功率谱密度。 由于一个由于一个M进制码元中含有的比特数进制码元中含有的比特数为
13、为log2M，故每个比特的能量等于，故每个比特的能量等于 每比特的信噪比为每比特的信噪比为当当k时，时，Eb/n0 = 0.693(-1.6 dB)即可无误码。即可无误码。 Eb/n0Pe0.69317n随相信号随相信号 相位因信道变化而具有随机性的信号。相位因信道变化而具有随机性的信号。n设：信号设：信号 2FSK调制、码元的能量相等、先验概率相等、调制、码元的能量相等、先验概率相等、 相位的概率密度服从均匀分布；相位的概率密度服从均匀分布； 噪声噪声 带限高斯白噪声。带限高斯白噪声。n信号表示式：信号表示式：n信号随机相位的概率密度：信号随机相位的概率密度： 8.5 随相数字信号的最佳接收
14、随相数字信号的最佳接收18相关器平 方cos0t相 加相关器平 方sin0t相关器平 方cos1t相 加相关器平 方sin1t比 较r(t)Y0X1Y1X0M02M12n判决规则：判决规则：若接收矢量若接收矢量 r 使使f1(r) f0(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“1”。 其中，其中，n按照上述判决规则计算得出的误码率公式为按照上述判决规则计算得出的误码率公式为n按照上述判决规则得出按照上述判决规则得出的方框图如右，图中：的方框图如右，图中：198.6 8.6 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收n起伏信号起伏信号 包络随机起伏、相
15、位随机变化的信号包络随机起伏、相位随机变化的信号n设：信号设：信号 2FSK调制、等能量、等先验概率、调制、等能量、等先验概率、 相位的概率密度服从均匀分布；相位的概率密度服从均匀分布； 噪声噪声 带限高斯白噪声带限高斯白噪声n信号表示式：信号表示式：式中，式中，V0和和V1服从同一瑞利分布：服从同一瑞利分布： 0和和 1的概率密度服从均匀分布：的概率密度服从均匀分布：Vi的均方值：的均方值： 8.5 起伏数字信号的最佳接收起伏数字信号的最佳接收20n判决规则：同前判决规则：同前若接收矢量若接收矢量 r 使使f1(r) f0(r)，则判发送码元是，则判发送码元是“1”。n现在现在n误码率计算结
16、果：误码率计算结果：n衰落对衰落对2FSK信号误码率的影响：信号误码率的影响：由右图可见，由右图可见，当误码率等于当误码率等于10-2时，时，衰落使性能下降约衰落使性能下降约10 dB；当误码率等于当误码率等于10-3时，下降约时，下降约20 dB。即，在有衰落时，即，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。性能随误码率下降而迅速变坏。 21实际接收机的Pe最佳接收机的Pe相干2PSK信号 式(6-4-13) 式(8.4-21)相干2FSK信号 式(6-3-36) 式(8.4-22)非相干2FSK信号 式(6-3-28) 式(8.5-27)相干2ASK信号 式(6-2-47) 式(8.4-24
17、) 8.7 普通接收机和最佳接收机的性能比较普通接收机和最佳接收机的性能比较228.8 8.8 数字信号的匹配滤波接收原理数字信号的匹配滤波接收原理数字信号的匹配滤波接收原理数字信号的匹配滤波接收原理 8.8.1 数字信号的匹配滤波接收法数字信号的匹配滤波接收法n匹配滤波匹配滤波 用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输 出信噪比最大。出信噪比最大。n设：设：H(f) 接收滤波器的传输函数；接收滤波器的传输函数； h(t) 接收滤波器的冲激响应；接收滤波器的冲激响应； s(t) 接收信号；接收信号；S(f) 接收信号的频谱密度；接收信号的频谱密度；
18、n(t) 高斯白噪声；高斯白噪声；Pn(f) = n0/2 噪声双边功率谱密噪声双边功率谱密度度; n若滤波器输入码元为若滤波器输入码元为则线性滤波器的输出为则线性滤波器的输出为 式中，式中，n输出噪声功率：输出噪声功率： 8.8 数字信号的匹配滤波接收原理数字信号的匹配滤波接收原理23n在抽样时刻在抽样时刻 t0 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为n求求r0的最大值的最大值 利用施瓦茲利用施瓦茲(Schwarz)不等式：不等式：若若成立（其中成立（其中k为整数），则上式的等号成立。为整数），则上式的等号成立。 令令则有则有当当 时，上式的等号成立
19、，时，上式的等号成立，r0最大。最大。24n 给出最大信噪比给出最大信噪比r0，它与信号频谱共轭，它与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外）匹配（除了常数因子外） ，故称之为匹配滤波器。，故称之为匹配滤波器。n匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数h(t)来描述：来描述：由上式可见，匹配滤波器的冲激响应由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号就是信号s(t)的镜像的镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了，但在时间轴上（向右）平移了t0。25n匹配滤波器应该是物理可实现的，即其匹配滤波器应该是物理可实现的，即其h(t)应该满足条件：应该满足条件：即
20、要求满足条件即要求满足条件 或满足条件或满足条件n上式的条件说明：滤波器输入信号码元上式的条件说明：滤波器输入信号码元s(t)在抽样时刻在抽样时刻t0之后必之后必须为零。须为零。 一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选码元末尾抽样，即选t0 = T。故匹配滤波器的冲激响应可以写。故匹配滤波器的冲激响应可以写为为n这时，匹配滤波器输出信号码元的波形，可以写为这时，匹配滤波器输出信号码元的波形，可以写为上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的的k倍。倍。26
21、n【例例8.1】设接收信号码元设接收信号码元s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解解】s(t)的频谱为的频谱为 由式由式令令k = 1，可得其匹配滤波器传输函数为，可得其匹配滤波器传输函数为由式由式令令k = 1，得到此匹配滤波器冲激响应为，得到此匹配滤波器冲激响应为 ，由，由 画出曲线如右。画出曲线如右。tTs(t)1(a) 接收信号波形tTh(t)1(b) 冲激响应tTso(t)(c) 输出信号波形27此匹配滤波器的方框图：由此匹配滤波器的方框图：由(1 / j 2 f ) 是理想积分器的传输函数是理想积分器
22、的传输函数 exp( -j 2 f T) 是延迟时间为是延迟时间为T 的延迟电路的传输函数的延迟电路的传输函数方框图如下：方框图如下：理想积分器延迟T相 减28n【例例8.2】 设接收信号设接收信号s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解解】s(t)的频谱密度为的频谱密度为 n故其匹配滤波器的传输函数为故其匹配滤波器的传输函数为 上式中，已令上式中，已令t0 = T。(a) 信号波形(c) 输出波形29n此匹配滤波器的冲激响应此匹配滤波器的冲激响应:为了便于画出波形图，令为了便于画出波形图，令式中，式中，n = 正
23、整数。这样，上式可以化简为正整数。这样，上式可以化简为h(t)的曲线示于右图。的曲线示于右图。n匹配滤波器输出波形可以由如下卷积公式求出匹配滤波器输出波形可以由如下卷积公式求出由于由于s(t)和和h(t)在区间在区间(0, T)外都等于零，故上式中的积分可以外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算：分为如下几段进行计算：计算结果如下：计算结果如下：(c) 输出波形(b) 冲激响应30n用匹配滤波器构成的接收电路方框图用匹配滤波器构成的接收电路方框图 ：匹配滤波器1匹配滤波器2抽样判决抽样t = Tt = T输入输出31 8.8.2 数字信号的相关接收法数字信号的相关接收法n设：匹配滤
24、波器的冲激响应函数设：匹配滤波器的冲激响应函数 匹配滤波器是物理可实现的：匹配滤波器是物理可实现的： 输入信号码元输入信号码元 x(t) 限定在限定在( 0, T ) 则输出信号波形则输出信号波形y(t)按照式按照式可以写成：可以写成：在抽样时刻在抽样时刻T，输出电压等于：，输出电压等于： 可以看出，上式中的积分是一种相关运算，即将输入可以看出，上式中的积分是一种相关运算，即将输入x(t)与和与和s(t)作相关运算。只有输入信号作相关运算。只有输入信号x(t) = s(t)时，在时刻时，在时刻t = T才有最大的输出信噪比。才有最大的输出信噪比。 n按照上述原理，可以得出相关接收法。按照上述原
25、理，可以得出相关接收法。32n相关接收法方框图相关接收法方框图n相关接收法判决准则：相关接收法判决准则：相乘相乘积分积分抽样判决抽样判决比较s0(t)s1(t)x(t)t = Tt = T33n【例例8.3】设有一个信号码元如例设有一个信号码元如例8.2中所给出的中所给出的s(t)。试比较它。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。【解解】根据根据此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于上式中，假定上式中，假定f0很大，故结果近似等于很大，故结果近似等于t / 2，即与，即与 t 成正比。成
26、正比。输出波形：输出波形： 只有当只有当 t = T 时，时，两者的抽样值才相等。两者的抽样值才相等。 匹配滤波器输出相关器输出图8.8.6 匹配滤波和相关接收比较34n基带传输系统基带传输系统n基带总传输函数：基带总传输函数：H(f) = GT(f) C(f) GR(f) 式中，式中， GT(f) 发送滤波器的传输函数；发送滤波器的传输函数； GR(f) 接收滤波器的传输函数；接收滤波器的传输函数； C(f) 信道的传输函数。信道的传输函数。n假设：信道具有理想特性，即假设假设：信道具有理想特性，即假设C(f) = 1。于是有。于是有 H(f) = GT(f) GR(f) n待解决的问题：如
27、何设计待解决的问题：如何设计GT(f)和和GR(f)，使系统在加性白色，使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。高斯噪声条件下误码率最小。 发送滤波器信 道接收滤波器抽样判决噪声GR(f)C(f)GT(f) 8.9 最佳基带传输系统最佳基带传输系统35n用匹配滤波法接收时：用匹配滤波法接收时：u信号频谱信号频谱 S(f) 发送滤波器的传输特性发送滤波器的传输特性GT(f)u匹配滤波器的传输特性匹配滤波器的传输特性GR(f)应当是信号频谱应当是信号频谱S(f)的复共轭的复共轭: u即，即，或写成或写成最后得到要求接收匹配滤波器满足的条件为最后得到要求接收匹配滤波器满足的条件为由于上式没有限定接
28、收滤波器的相位条件，所以可以选为由于上式没有限定接收滤波器的相位条件，所以可以选为由式由式得到发送滤波器的传输特性为得到发送滤波器的传输特性为36n最佳系统的误码率性能最佳系统的误码率性能u设：基带码元为设：基带码元为M进制多电平信号，即码元有进制多电平信号，即码元有M种电平：种电平：u在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在 u错误概率：错误概率：式中，式中， 是噪声的抽样值，而是噪声的抽样值，而是噪声抽样值大于是噪声抽样值大于d的概率。的概率。u将将计算结果，代入计算结果，代入Pe公式，得到公式，得到误码率最终表示式为误码率最终表示式为d3d7d-5d-3d-d0t-7d5d37u当当M2时，时，u上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。性基带信号传输的最佳误码率。u误码率曲线：误码率曲线：由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若M值增大到值增大到2倍，信噪比大约需要增大倍，信噪比大约需要增大7 dB。388.10 8.10 小结小结小结小结39
