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1、第二章 静 电 场(二)蜜搏末显怒祁鲁袖瑞漠仁颁放刷袒洽缄阎氓凯级嚣愿露洁歇搔挨壤援筷押第二章静电场二第二章静电场二2-1 静电场的唯一性定理及其应用2-2 平行双电轴法 2-3 无限大导电平面的镜象法 2-4 球形导体面的镜象 2-5 无限大介质交界平面的镜象2-6 电容与电容的计算 2-7 双输电线的电容 2-8 多导体系统的部分电容 2-9 带电导体系统的电场能量及其分布2-10 虚位移法计算电场力 第二章 静 电 场(二)箱甚懂弦经慑辣谬椭擎弦拓久揽腿两蔽闷岔狭饿愿伙拒材团湿屎抓烹吞轩第二章静电场二第二章静电场二22-1 静电场的唯一性定理及其应用唯一性定理及其重要意义唯一性定理及其重
2、要意义 静电场中，满足一定边界条件(即前述三类边界条件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。静电场解的唯一性定理 当场中介质及各导体的分布一定时：(1)给定各导体表面的电位值(见图2-1)，此时由边值问题解得之电位函数为唯一。图2-1 位于不同介质的两给定电位的带电导体庞尼痉钢履心狮轩仗圣梦竟想织蹈驮垦棵烷耀露珊观恳狞给搓夕斗宰害恋第二章静电场二第二章静电场二3图2-2 位于不同介质的两给定电荷的带电导体(2)导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量(图2-2)，此时由边值问题所解得的电位函数，仅相差一无关紧要的常数。(3)若给定某些导体表面的电位值，及其它每一导体表面(导体表面为等位面)的
3、电荷量 (见图2-3)，此时由边值问题所解得的电位函数为唯一。图2-3 位于不同介质量分别给定电荷和给定电位的两带电导体珊篆怂矾钦歉要隘朗莎膘鳞屠沸一雅先塞煞薛夕皆吩抚圭讹阑佛崖懒衡痪第二章静电场二第二章静电场二4唯一性定理的应用唯一性定理的应用等位面法等位面法 根据唯一性定理，若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。如图2-4为两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(这里我们沿其内侧)填充导电媒质(见图2-5)，则导电媒质以外之另一侧，其电场不变。因为这样处理之后：1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后
4、，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即 亦即边界条件没有变化。2.它保持了另一侧场的介质及电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。霞肥乘陈莫荧维娶坎举恨售楔萎契骸尸糙谤椅凋瓤花知匠绘益熏勺叁所羡第二章静电场二第二章静电场二5图2-4 两平行输电线的电场图2-5 沿场的等位面一侧，填充导电媒质后的电场统律氓陌茸奎卖帘惮滑逮盅龟祷严熄希旋抽潜哈桂缘岿斩府蜡峰郭糕远将第二章静电场二第二章静电场二6例例2-12-1 静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。解解 在物理学中，已知静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体
5、壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论它是否接地，则壳内的电场不受壳外电荷的影响。作为唯一性定理的应用，我们来讨论上述结论。图2-6(a)表示一种情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有 ，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。图2-6 例2-1图殷螺病咨俭缕崩芥崔忻妊调基质简铣楚缕煽崩革俐凰臣贵婴等袄陀粳痹堤第二章静电场二第二章静电场二7图2-6(b)表示第二种情形。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个
6、等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有即电位移矢量 的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。总之，在第二种情况下，导体壳内的电场不受壳外电荷的影响。掣讥淫挫任惰串娠亦杆卒策汁施主歼铁裕担良唯垒汗关佑郝结吕份虫孩砚第二章静电场二第二章静电场二8平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形。设介质电容率
7、为0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为2-2 平 行 双 电 轴 法平行双电轴电场平行双电轴电场(2-1)(2-2) 由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为图2-7 两平行输电线表面电荷分布稗云靖蚊酝憾涣涛迢辱麻卷囚鲁牟牙拼使芋箭检椽娶军戌恩谗桓缉型献义第二章静电场二第二章静电场二9（2-5）图2-8 两电轴外任意一点P的电场由叠加原理，点P的电位为(2-4)(2-3)选取坐标轴的原点o为零电位点 ， 点P电位为废帛官孙棍缩缴冷渊啡戍舰弥严这版瑰妈阀炯讶慈子卒姑殉腥狈顶诉纬诱第二章静电场二第二章静电场二10图2-9 平行双电轴电场等位线的分布规律 在双电轴的电场中
8、，等位面是一组偏心的圆柱族面。通常称零等位线的那个等位面为零电位面或中性面。伶袒显垢俘肉球坊仰燥遇酿随袄常恿耪皱占嚎扳车芒店氧乐御右柜去聂栋第二章静电场二第二章静电场二11设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面距离为x0，以及电轴至中性面的距离为 D/2，则R0、x0与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2/R1=K(常数)，则有图2-10 两平行同半径圆柱的等效电轴位置(2-6)(2-7)渗施耸丘禽螺矢缸畔捐镑惠匀蛛诧蜂张锣竞荒悼记螺钎叶旨釜啼散豆渺翔第二章静电场二第二章静电场二12可知： 1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
9、出以x0为圆心R0为半径的等位圆。 2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等位圆圆心所在处x0的等位圆。 3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在的位置，亦即推求出距离D欲授洲娘亡欠仰蚌签鹤翌皂硕钱酷呸旁膜耘县妖脉殃抗伴尺战帅别枣材隶第二章静电场二第二章静电场二13图2-11 两平行同半径圆柱体的几何中心轴与等效电轴的位置 具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+及-，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场，而由式(2-7)，可以容易地求得双电轴的位置。平行双电
10、轴法平行双电轴法(2-8)盔碳魁妆监腕峻嘱芽篡球潭沂爪娄耐湃坯唱窑硝靖祈胎印枣侯裂肝六佐谈第二章静电场二第二章静电场二14由式(2-9)及式(2-10)可求得(2-11)(2-10) (2-9) 对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0与R0以及两圆柱体轴心距离d已知，得(2-12)图2-12 两不同半径的平行圆柱体的等效电轴的位置解得x0及x0可求两电轴的距离豆进楼彦哩砚锰胜往吠店镐注特束别番淳藐秋侗话足版哑弗胃茨壁质礁惭第二章静电场二第二章静电场二15图2-13 两不同半径的偏心圆的等效电轴的位置 对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半径R0、R0以及圆柱轴心间距离d的情况下，
11、可得从而可求两电轴的距离D。(2-13)(2-14) 电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用。炳哪玖迄玖见氓投包魏听厨板候循镊撮待管肯鸦饲窄印忆谅渺笑宰拒翅炊第二章静电场二第二章静电场二16电轴到中性面的距离为中性面到半径R0的圆柱面的几何中心的距离为例例2-2 空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量=10-8C/m，圆柱的半径各为R0=15cm,R0=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。解解 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为R0的圆柱面的几何中心的距离
12、为雅忆澡懊呛辽坚罪压矮水辆支齿绘蜡匪普槐倡抬蔚九蔚峭项她陪沼务嗣仇第二章静电场二第二章静电场二17 所谓镜象法，是基于唯一性定理的。此方法的特点是以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。2-3 无限大导电平面的镜象法点电荷对无限大导电平面的镜象点电荷对无限大导电平面的镜象 若有一点电荷q，其与无限大地平面(地为导电平面)相距h高度，试求上半场域中的场量。根据唯一性定理，这个问题所给的条件是齐备的：对于场域内部，除点电荷所在点(奇异点)之外，均满足拉普拉斯方
13、程。图2-14 地面上方h处有一点电荷q一吼凳冗肤儡镜兆捡察肇虏振孺蓝亮昨京钓朝噎呻酋藉潜蓬蓟院效院羊国第二章静电场二第二章静电场二18对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变。图2-15 地面下方h处置一镜象电荷-q代替大地影响区怨涧诬着囊跑决萎全猜货老木联睹苇星乏衅船纸苗寂且吧渭叶散绎扑孵第二章静电场二第二章静电场二19图2-16 大地对点电荷电场的影响填充导电媒质后，电荷-q即转移至无
14、限大地平面上，根据等位面法，上半域的电场仍保持不变，即上半域的电场完全可以作为两点电荷电场进行求解。导电平面镜象问题的特点：镜象电荷必在被研究场域边界外，所处位置与场源电荷以平面对称。镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。图2-17 用镜象电荷代替大地的影响娄伤荫疗熙侦者龋捏捣粟扁皑户钻肌俞揭呼益童睬姜疆卖嘻烃火谤灵颇盔第二章静电场二第二章静电场二20无限大导电平面镜象法的应用无限大导电平面镜象法的应用应用(1)：图2-18 夹角为直角的两相联导电平面的镜象(a)直角区域内的点电荷；(b)图(a)的镜象电荷应用（2）：图2-19夹角为
15、的两相联无限大导电平面的镜象(a)特殊角 (2/偶数)区域的点电荷；(b)图(a)的镜象电荷巩稳喧题酱柞魁擂翻枉崇翘贺伪伏堰咋沉罪戚芯痴荐堰却扇凸形平兜吩寐第二章静电场二第二章静电场二21应用（3）：图2-20 长直圆柱导体对导电平面的镜象 (a)大地上方h处平行放置长直圆柱导体；(b)图(a)的镜象此时要求2/偶数，否则无法将整个空间划分为同一大小的均匀区域，从而不能保证被研究场域的边界电位值为零。揪袄鸳式譬磋胜读为驱角锗关相土鹿墟俘酉斡爬逸单蜒奠篓中苞苛尘骸拼第二章静电场二第二章静电场二22例例2-3 带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，如图所示。由于大气电场的影响将导致高度为l处
16、的高压输电线A的电位升高。若在A的上方又架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。图2-21 例2-3图澈丹铀接寿巡谢具确拇瓤沦耸末舜蝎坯档药幽企曰粹贴鸣粱窥畦杏咎崭沂第二章静电场二第二章静电场二23解解 设架空地线单位长度上的感应负电荷为-。地面上的感应正电荷可视为-感应所致，它在大气中产生的电场可以用-的镜象电荷+来代替，如图所示。因为架空地线的半径r0较之它与镜象之间的距离2h小得多，
17、可以认为电轴与几何轴线重合，根据式(2-5)，架空地线的电位为故得因为接地，所以在大气电场中架空地线的电位为神睁驯潞饯漫萍懦魏镍幽唤谭仍渴河无凹戴它匠网并扩絮掐密几戚焚契阴第二章静电场二第二章静电场二24因此，高压输电线A处的电位由原来的 降低为 架空地线的重要作用，是使其自身表面造成很大的场强，其值可达大气电场场强的几十倍至几百倍，因此当大气的场强很高发生雷电时，可以引导输电线附近的闪电偏向于架空地线，从而保护高压输电线免受直接的雷击 。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相对值为削辊环筹窃氢擅恒蜒拖庸箔借吞艇朗硷懂闲凶袖励臂瘸课违赌把要蒲嫩匆第二章静电场二第二章静电场二252-
18、4 球形导体面的镜象球形导体面的镜象 点电荷q的电场中，置有一半径为R的接地导体球(其电位为零)，球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷 +q与-q。球面感生的负电荷(或正电荷)，其数值必较电荷q为小，即q-q。接地导体球对点电荷的镜象接地导体球对点电荷的镜象图2-22 接地导体球邻近点电荷时产生的感应电荷诞侩斧钥坍税椰炽涤掣济葫熊秽占吵润硝诡坠剖剑笋舒膀奎硼搁由肿逊壳第二章静电场二第二章静电场二26图2-23 接地导体球对点电荷的镜象 若此时将球与地联接，则球面所感应的正电荷将受电场力的作用而流入地中，球体净剩分布于其表面的感应负
19、电荷，球面电位为零。按镜象法原理将导体球撤去，使整个空间充以电容率为0的同一媒质，并在距球心b处，置一虚拟的集中镜象电荷-q，来代替球面分布电荷的作用。若此时仍能保持球面的电位为零，则球面以外的电场，可视为点电荷q及-q所共同产生的电场，运用点电荷场强公式及叠加原理，即可求解。参劈讲戮旗笋胺狐籽失元书剩邦移量缠值监里困梨睹诬服羌蔷命验冀盾掳第二章静电场二第二章静电场二27 (2-15) 设球面电位为零，因而在截取的平面上，对于以R为半径的圆周上的任意点P，其电位表达式为 R2及R1分别为点P至点电荷-q及q的距离。由于点电荷q为确定值，q亦必为确定值，故有 在圆上选取两特殊点C及D(常数)(2
20、-16)(2-18) (2-17)解上式得 b=R2/d韭烯护式淀署索燃号神席玩笼坑精碎雀快七疆郊惰兽祸叮遍字敬圈式虱闸第二章静电场二第二章静电场二28(2-19)由式(2-16)进一步可得 可以验证在点电荷q和-q的共同作用下，原导体球面上任一动点p处的电位为零。这样在求得q与b值之后，就可解决求解导体球外部电场的问题。分析：（1）当距离d一定时导体球半径R愈大则镜象电荷q亦愈大。这是因为半径愈大时，球面愈大，其离点电荷q愈近，所受电场力愈大，因而球面上感应电荷亦愈多。同理，当R一定时d愈大，球面离点电荷距离愈远，球面所受电场力亦愈小，故球面感应电荷愈小。掉股澎唾毕男坐酬送纠馋稀颖沸挨么疆辱
21、礼磕簧拖绸杠煮缺乌辗炊怕鹊恰第二章静电场二第二章静电场二29（2）当导体球半径愈大时，靠近点电荷q一侧的导体球面其所感应的电荷愈密集，因而与球面感应电荷相等效的镜象电荷q的位置将愈靠近点电荷q之一侧，亦即b愈大；当点电荷q远离导体球时，球面感应电荷的密集程度减少，整个球面上感应电荷面密度愈来愈均匀，因而镜象电荷将愈靠近导体球心，即b随距离d的增大而减小。（3）若运用等位面法考虑上述问题时，可以认为图2-22乃是图2-23沿等位球面填充导电媒质所得。当沿等位球面填充导电媒质后，电荷q即转移至导体球表面，此时导体球外侧的电场仍保持不变，亦即球外的电场，可以视为两点电荷(-q及q)的电场进行求解。翱
22、讹究攫楚避坊预终怒辆伶放杀迹围唁描伺狠蔫酬凭差枷昆怂氢尤牲瞬魔第二章静电场二第二章静电场二30不接地导体球对点电荷的镜象不接地导体球对点电荷的镜象 若引入点电荷场中的导体球不接地，可知导体表面的边界条件:)球面为等位面；)因导体球原不带电，引入电场后，其所感应的正电荷量与负电荷量相等，故球面总电荷量为零。 若在前面所讨论的基础上，于球心o处放置一点电荷q，则能满足上述的边界条件。这样导体球外的电场，即可看为由点电荷q、q及-q三者所共同激发的电场。图2-24 不接地导体球对点电荷的镜象更咸习街货冗罐肤筋翌儒颗惦液徒掷埂曝馁碑讹伍仰路圭神尖孪破肌花妖第二章静电场二第二章静电场二31例例2-4 空
23、气中有一内外半径分别为R11和R22的导体球壳原不带电，其内腔介质为0，若于壳内距球心为b处放置点电荷q，求球壳内外的电场强度和电位。解解 点电荷q在球壳的内、外表面上感应电荷分别为-q和q。可以证明球壳外表面的电荷q是均匀分布的。壳外的电场完全由这些均匀分布的感应电荷所激发，因此得到壳外的电场强度图2-25 例2-4图婶乌樟孔薪泽恋坤器夯杠妮汪姑枷灰奉宪唉破瘸扼颇赶晶早柿啤楷窑储壕第二章静电场二第二章静电场二32 电位为 (RR22)，其中R为球心到场点的距离， R0为单位矢量。球壳内表面作不均匀分布的感应电荷-q和点电荷q只在球壳内部激发电场，壳内的电场使得半径为R11的内球面为等位面和进
24、入内球面的电位移 的通量为q。 仿照求解导体球外电场时在球内设置镜象电荷的方法求解球面内的电场，在球面外设置镜象电荷-q，如图(b)所示。栈蓝匙惧襄赎舟贫捷剥湿坝痞艾海舀伴言枚颠况藏编批雪兽诧斤呼摔聘妈第二章静电场二第二章静电场二33由式(2-18)、式(2-19)，令则点电荷-q和q使得半径为R11的球面电位为零，满足等位面的要求，并且没有改变进入内球面的电位移 的通量。所以球面外镜象电荷-q可以代替分布的感应电荷，其在球面内任一点P所产生的电场强度为式中，R1、R2分别是点电荷q、-q到场点P的距离， 为相应的单位矢径。球内点P处的电位应由此两点电荷所产生的电位，及导体球壳电位叠加而成。邑
25、纬稀酮穆如鄙捏纽罕敬氨痢毁篇抄良趟钥娥菊躲怪巷快男缀肋瀑侮汰牌第二章静电场二第二章静电场二342-5 无限大介质交界平面的镜象 设有电容率分别为1及2的媒质区域，区域交界处为无限大平面，若在媒质1中，离界面高度h处，置一点电荷q，欲求此时上、下半无限大场域的电场。 求解上半场域时，将下半场域媒质，换以电容率为1的媒质，且在边界外点电荷q的镜象位置处，放置一未知点电荷q，以代替边界面上分布的束缚电荷的作用。求解下半场域时，将上半场域的媒质换以电容率为2的媒质，在边界外点电荷q处，加置一未知镜象点电荷q，并考虑到无限远电位为零的条件( )，就能运用点电荷公式，求得交界面上任意点P的场量，对于媒质1
26、中的点P有(2-20)和肩苔殖由徐簿镇杆歌秦栋应咏婆档扮络氦纯丫仍沦雀属乒噪羞疆疫多尚第二章静电场二第二章静电场二35图2-28 交界面上的束缚电荷和原电荷用q来代替图2-26 介质交界面外的点电荷图2-27 交界面上束缚电荷用镜象电荷q来代替图2-29 介质交界面上的极化电荷稼辖也缺锦栈字碳淋舍序级针连匪动霜桂薪客黄寓乙隋林赣冰耸颊晶挝尊第二章静电场二第二章静电场二36对于图2-28媒质电容率为2中的点P有根据连接条件：得(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)联立求解式(2-24)、式(2-25)得(2-27)完润抉庐贡廊栈救淬僳观存漓殴站屉溃花侦局敞获藕茫幅枝忻尸黍略
27、即辐第二章静电场二第二章静电场二37图2-30 平行于介质交界面的线分布电荷图2-31 线分布电荷在两种不同介质中的电场 从上两式镜象电荷可以求出，且有惟一确定的值，分别求解所要求的上半场域与下半场域的电场。当12时，q=0，q=q，整场域变为均匀媒质场域，束缚电荷将不复存在。 如图例2-30所示无限大介质平面上，置有一带电长直导线的电场，即可运用上述方法求解。论镑盎镁浆陌脊樊佳猖巨抓警力筋呼用厉鹤镑罗歪严掀士轨党旗生硼胰淄第二章静电场二第二章静电场二38解解 比照点电荷对无限大介质分界平面的镜象，将式(2-27)推广到线电荷的情形。由于Rh ，可将导线表面电荷视为集中到几何轴线上的线电荷。求
28、水中电场时，将上半空间的媒质换为800，而导线的电荷连同交界面上分布的极化电荷可等效为图2-32 例2-5图例例2-5 离河面高度为h处，有一输电线经过，导线单位长度的电荷量，且导线半径Rh。设河水的电容率为800，求水中的电场强度。臆机液益漠赔战阁荆俊撬袜腺豢北菠硕写葛排孪箕鼠铱瓦妙秉郧淤豆籽汤第二章静电场二第二章静电场二39故水中任一点P(x，y)的电场强度承般谩恃谩弄剁镑望敲朔般计劫撕丽消辕野焰作剑漓涵欠泞掷绅慕咯失讯第二章静电场二第二章静电场二40 (2)孤立导体电容的定义：当空间仅存有一孤立导体时，可设另一导体在无限远处，因而孤立导体的电容即是导体所带的电量与其电位之比。即 电容电容
29、 (1)双导体电容的定义：设空间仅有两导体，若两导体分别带有等值而异号的电荷，此电荷的量值q与两导体间电压U之比，定义为两导体间的电容，通常以C表示 (2-28)(2-29)2-6 电 容 与 电 容 的 计 算擒汲羊舱叼夸渣谎挡八团炙鸡收乡谗氮岭忙诲伏荧著找绑瘴材玫蓑雨赶夏第二章静电场二第二章静电场二41 式中：R为孤立导体球的半径；0为空间媒质的电容率。在国际单位制中电容的单位为法拉(F) 。 1F是一个非常大的量。由孤立圆球的电容计算得，地球的电容量不足1F。实用中常采用微法(10-6F或表为F)或皮法(10-12F或表为pF)。 在线性媒质中，两导体间的电容仅决定于两导体本身几何尺寸、
30、相互位置和空间媒质的电容率的量，而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。 孤立导体球的电容计算公式(2-30)可看到上述特征。 (2-30)咸庆畔癌蛹洪灭门船碰凶诣鹊窜费拟沸嘉江紫荫情翠田鞠施镇拼阮房颗阅第二章静电场二第二章静电场二42电容的求解方法电容的求解方法 从电容的定义式可知，欲求两导体间电容，可先赋予两导体以等值而异号的电量q，再求在其作用下，两导体间的电压U，然后按定义式(2-28)即可求得两导体间电容C。此时两导体间电压可通过积分式求得。(2-31) 根据电容的定义式，也可先赋予两导体以电压U，再求在此情况下，每导体所具有的电量q，同样按式(2-28)求得两导体间电容C。
31、每导体所具有的电量，可通过积分式求得。(2-32)险讫摹饼耽柄砖甚没亨胰慰斋右辙低沾子靛悸锣狰雄秆芳血炊穆懈睬葱蔽第二章静电场二第二章静电场二43例：两间距为d板面积为A的平行导电板构成一平板电容器，上面板电荷为Q，下面板为Q，问电容是多少？并用系统电容表示媒质中储能。澳粟陵毕抉耍萝趁舒肮窃绎宏刽芬回振冶速沧逼快视喷毙久啊烫鸟据女碱第二章静电场二第二章静电场二44即因此满足要求的球形电容器的半径比R2/R1101。例例2-6 球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为R2。介质的电容率为0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外
32、半径比(R2/R1)。 解解 设球形电容器的内导体球的电荷为q，则电容器中的电场强度为 (R1RC0，在上式中，令h，同样可以得到忽略地面影响的电容计算式(2-45)。 按电容的定义，可得考虑地面影响时单位长度两导线间的电容为乔坤驶潜欠盲富香惠贡骄嘛厕绢贪抽螺茎箕货馒责既再俩胸驭梁罩筑早们第二章静电场二第二章静电场二54部分电容的概念部分电容的概念 在实际问题中常常要遇到带电的多导体系统(如三芯电缆)，此时每两带电导体间均有所谓部分电容存在。图2-39绘出了外壳接地的三芯电缆的部分电容情况，其中C11、C22、C33分别为导体1、2、3对地的自部分电容。C12为导体1、2间的互部分电容,C23
33、为导体2、3间的互部分电容，而C31则为导体3、1间的互部分电容。2-8 多导体系统的部分电容图2-38 三芯电缆图2-39 三芯电缆的部分电容示意靛钦藻澜纠膛扣泡烷口鞠移斧翠奔走滦俗崖算恃怪饯铱笨巩掘厕也届茹害第二章静电场二第二章静电场二55大地影响的双输电线系统及三相输电系统也都是一个多导体系统，它们的互部分电容和自部分电容表示在图2-40中。图2-41中绘出了考虑大地影响时，三相输电线的部分电容情形。在带电的多导体系统中，每一导体的电位与所有带电导体的电荷都是相关的。图2-41 三相输电线的部分电容图2-40 双输电线部分电容劲挣扎衅册诊杭脖归蒜憋截隶剔磅雏共妇袋括酿尺斩雷蛋起敝耙肆麦汞
34、勘第二章静电场二第二章静电场二56 设在电容率为的线性媒质空间有三个导体，当给定导体1电荷量为q1，其它导体不给电荷时，2、3导体将仅有感应电荷。虽然此时每导体表面电荷密度不为零，但2、3每一导体的总电荷应为零。如果将导体1上的电荷量由q1增加至q1，则导体1上各处的电荷密度，均将同时增加K倍。这是因为导体所带的总电荷量与其表面电荷密度间存在着线性关系。多导体系统中导体电荷与电位的线性关系多导体系统中导体电荷与电位的线性关系图2-42 给定导体1的电荷量在导体2、3上感应的电荷图2-43 感应电荷量与引起感应的电荷成比例赛千叉埠矩烦梧实森酿蕉锗垛设挠衙脉阐衫呐郴檬宽巍朔宫捎涯摈阅唇物第二章静电
35、场二第二章静电场二57 显然，此时由导体1所发出的电力线，其密度亦将在原有基础上增加K倍，2、3导体上每一导体处感应电荷的面密度亦将同时增加K倍。由面分布电荷电位计算式(1-8) ，并运用叠加原理可知：场中所有电荷分布处，当各点电荷面密度同时增加K倍时，场中所有点的电位(包括导体表面点)亦增加K倍。这就说明：其它导体所带电荷量为零时，当导体1的电荷(或电位)增加K倍时，场中所有点的电位于(或电荷)亦将增加K倍。更一般的说法是：在线性媒质空间的多导体系统中，场中所有点(包括导体表面点)的电位，与每一导体的电荷量间具有线性关系。雾宛柔墙拳桅蜗宦蛰澈讳网翅浙镰浑泡俗橱傀束孟祥扔稍撂刮扭踌硒误游第二章
36、静电场二第二章静电场二58多导体系统中的电位系数多导体系统中的电位系数 设在电容率为的线性媒质空间有1、2、3三个导体，若给导体1以电荷q1，而第2、3两导体不给电荷(其上有感应电荷，每导体总电荷量为零)，则根据电位与电荷的线性关系，场中点A的电位式中： 为导体1对点A的电位系数，电位系数的单位为伏特每库仑(V/C)。同理当导体2、3分别带有电荷q2、q3时其在空间点A所产生的电位为式中： 、 分别为导体2及导体3对点A的电位系数。(2-50)根据叠加原理，此时场中点A的电位漾弄秀孩酣让阜到财掺祟皮摧募短闺病曙寡跳簧腐影叙侍颐玄希课装更译第二章静电场二第二章静电场二59 如将所观察的点A，分别
37、选取在导体1、2、3上，则得三导体的电位 方程表明：线性媒质空间中各导体的电位与各导体电荷间的线性关系。具有相同下标的电位系数 、 称之为导体的自电位系数，具有不同下标的电位系数 、 、 、 、 、 则称之为两导体的互电位系数，它们都具有明显的物理意义。（2-54）秧嫉蔷苍谁枪热儿羞舍球爪港凌挠途迫姬奄豪揽诉坑利渐居桨伏压胞医爱第二章静电场二第二章静电场二60 仅给导体1以单位电荷时导体1本身所具有的电位数值。此时若以无限远点为零电位点，则当导体1所给电荷为正时，其自身的电位应为正，因而 为正。若当导体1所给电荷为负时，其自身的电位亦应为负，因而比例常数 仍为正，故知自电位系数 恒为正。 、
38、同理。 仅给导体1以单位电荷时，导体2上所具有的电位数值。当导体1所给电荷为正时，导体2所具有的电位为正，当导体上1所给电荷为负时，导体2所具有的电位亦为负，故互电位系数 亦恒为正。同时可以推及其它具有不同下标电位系数的物理意义，及其恒为正的属性。阑瞬穿车澜缓房蔬肝镣烦着咐关冉陋荚韩叶逊之丹峪闲抢文以值蓟珠已泉第二章静电场二第二章静电场二61图2-44 导体1给定正电荷时的电位梯度方向图2-45 导体1给定负电荷时的电位梯度方向 无论是自电位系数或互电位系数，它们的数值将决定于每一导体的几何形状、导体与导体间的相互位置以及空间媒质电容率。无论是空间媒质的改变，或是任一导体的形状与位置的改变，都
39、将影响所有电位系数的数值。巡周舱旋沙膜铲偶佩赘农圭钎献酣渴扭封织沥砰袜镑堵梧弓穆歧值雹味陶第二章静电场二第二章静电场二62 (2-55) 多导体系统的静电感应系数多导体系统的静电感应系数 在实际问题中，常常已知多导体系统中各导体的电位，此时如果要求各导体的电荷，则可对式(2-54)所示诸方程进行求解。式中(2-56)楔蘑惋脚畸烷秸袜邮沿逊员盟顽慈杭膊淫蜡洒斤颜汝榔妹悼拉套独偶醋或第二章静电场二第二章静电场二63(2-58) 其中11、22、33称为导体的自静电感应系数，12、13、21、23、31、32则为导体间的互静电感应系数，单位为库仑每伏特(C/V)。耸摊穗烘仰耿棵沏怖虹机峪禄惜瓤需讫冶
40、哺题称孟逾冯雾归家奇烹巳俺葱第二章静电场二第二章静电场二64 11仅给导体1以单位电位其余导体联接并接地时，导体1上所具有的电荷值。当所给导体1的电位为正时，其上电荷亦为正，11应为正。当所给导体1的电位为负时，其上电荷亦为负，因而11仍应为正，故11恒为正。 21仅给导体1以单位电位，其余导体联接并接地时，导体2上所具有的电荷值。当所给导体1的电位为正时，导体2上所具有的电荷为负，故21为负。所给导体1的电位为负时，导体2上所具有的电荷为正，21仍应为负，故21恒为负 。 按照同样的方法，可推及其它自静电感应系数及互静电感应系数的正负属性。诚虑哪熟芍属缕遍除豁偿沥拉晒萍缩积颗归慌妒电裔划亡饥
41、咏隶踩茁团估第二章静电场二第二章静电场二65 如果互电位系数具有互换性质的话，则互静电感应系数亦具有互换性质，即12=21, 13=31, 23=32。当所有静电感应系数，以及导体的电位已知时，由式(2-57)可求得各导体上的电荷。图2-46 导体1给定对地正电位，接地导体2、3上的感应电荷图2-47 导体1给定对地负电位，接地导体2、3上的感应电荷隅峭稗趴琐绍葬跺盐霓诌剥屏筋削砷胳耀稠旦傀箭孰的汉墓易敬唾赞戒脐第二章静电场二第二章静电场二66（2-62）(2-61)(2-60)(2-59)将以上三式代入式(2-57)中，并稍整理得多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容 在工程实际问题中，多
42、数情况下已知的是导体间电压，因而有必要对式(2-57)进行改写。如令地(或某一导体、或无限远处)为参考导体，电位为零，则有后联笑嗓缴稽舰介符菩磕咱吝疚晕芜劣完睛瞥晌允计义涵旅单眶组石水雕第二章静电场二第二章静电场二67（2-64）若令（2-63）（2-65） 则由式(2-62)得授澎徽喇棵姻绿激宪搁捌钠娥杏壳南晶吾姚零炭株肺裂蜜茎章鸦喘仕误妄第二章静电场二第二章静电场二68 C11、C22、C33导体的自部分电容，即各导体与参考导体间的部分电容； C12、C13、C23、C31、C32相应两导体间的互部分电容，单位法拉(F) 。 C11仅给导体1与地之间施以一单位电压，而其它导体均与导体1相接
43、时，导体1所具有的正电荷量，C11恒为正。 C12除导体2外，包括导体1在内的其余所有导体相联并接地，再于导体1、2、之间施以单位电压(即U121V)时，导体1上所具有的正电荷量，C12为正，当所施电压U12为负时，导体 1上的电荷亦同时为负，而C12仍为正。故C12亦恒为正。 同理可以推及其它自部分电容与互部分电容的物理意义及其均恒为正值的属性。崖婆塑舵沸测厘膏兰遍蔡掐瓜清魁诛掐疹栅旭邻胰辑夷正碧腰耘险荡彩降第二章静电场二第二章静电场二69 注意：上述关系中，电位系数、静电感应系数与部分电容，均只决定于体的几何形状与它们间相互位置以及空间媒质的电容率，而与导体间电压和导体所带电压量关。(2-
44、66) 按式(2-65)，作等效电容电路图：自部分电容C11就是导体与地(参考导体)之间所具有的那一部分电容，自部分电容C11在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1所具有的总电荷q1中与地相关联的那一部分电荷量q10；而互部分电容C12即是导体1、2之间所具有的那一部分电容，互部分电容C12在整个导体系统中所拥有的电荷量，亦只是导体1所具有的总电荷q1中，与导体2相关联的那一部分电荷量q12。 可以证明，互电位系数、互静电感应系数和互部分电容的双下标均可以互换，即贫瞪夏湍虏际券双纱星治字苍泵于孝卉咬叭窃惯综饰宪窑起渗骇挂靖侥民第二章静电场二第二章静电场二70 在引入部分电容概念之后，可以
45、将带电导体系统的电场问题，等效为形象化的静电电容电路问题来进行求解。 静电电路基尔霍夫第一定律为：联结于任一节点的各电容器极板电量的代数和恒等于联结这些极板所带电量的代数和，即q=q0； 静电电路基尔霍夫第二定律为：沿某闭合回路，各支路电压的代数和恒为零，即U=0。 部分电容可借助于电压表及冲击检流计测得。揪饵慧吹晒都美肇纹灭丙苛眷淹怖格翻涣柬礁章改吸契顷螟榆星枕窍宪都第二章静电场二第二章静电场二71图2-48 导体1、2、3并联，对地接1V电源图2-49 导体1、3并联接地对导体2加1V电源图2-50 三导体系统的部分电容塘锁拴征戏求俏挥拌毫衰慎卸馈箕肉待弃瞪蛀另热年氏威宵匪罐涕此树申第二章
46、静电场二第二章静电场二72图2-51 导体1对地总电容示意图2-52 导体1、2间总电容示意本绰操蝴哺遭巍瞧郭雍液籽俭老格陆拂绞业妖难榆态树赋吼汪灵街北烽痛第二章静电场二第二章静电场二73三相输电线的一相工作电容三相输电线的一相工作电容 在实际工作中，对于三相输电线路或三相电力电缆，往往要计算其单位长度上的一相工作电容，其定义为 （2-67）式中：为一相导线或一相(电缆)芯线单位长度上的电荷量；为一相导线或一相芯线的电位。各相芯线位置对称，故有C11C22C33=Ckk，C12= C23= C31= Cij，求每相单位长度上的工作电容。 图2-54(a)、(b)、(c) 可以看出，三芯电缆每相
47、单位长度的工作电容CPCkk+3Cij。在求解一相导线单位长度的工作电容时，必须首先求解系统的部分电容，必须从求解电位系数入手，最终归结为求解电场问题。馅娘睡拧傣卫柯殉肝虎芹萍谜醇忿湘相血阮功矢惋氮军惋肘缅劝泊浆备咽第二章静电场二第二章静电场二74图2-53 三芯电缆部分电容图2-54 三芯电缆三相电容示意矗棋腻瞧沟纠渝杜翻帕泰攻侧鼻卢扒兰酞泡垄赫潞净焕丙征涛停涎曙税斋第二章静电场二第二章静电场二75图2-55 例2-8图例例2-8 为了测定对称的三芯电缆的各部分电容，将三根缆芯联在一起，测得它们与电缆的铅包皮间的电容为0.051F。又将两根缆芯与铅包皮相联，测得它们与另一缆芯间的电容为0.0
48、37F。试计算：(1)电缆的各部分电容；(2)每一相的工作电容；(3)只用两根缆芯时的工作电容。电缆的部分电容如图2-55(a)所示。跟载唉言室钞甥岁裤拘珐贴柒迹舟僵攘踩锯近磁共控款阳咙仙垣裹苯晚匹第二章静电场二第二章静电场二76解解 电缆的三根缆芯由于几何位置对称，各自部分电容、互部分电容相等，即C11C22C33，C12=C22=C31 (1)三根缆芯相联时，与铅包皮间的电容相当于C11、C22、C33并联的等效电容，3C110.051F，因此各自部分电容均为 C110.017F。两根缆芯例如2、3与铅包皮相联时，它们与缆芯1之间的电容相当C11、C12、C31的并联等效电容， C11+2
49、C12=0.037F，C12=0.01F(2)一相的工作电容为各相间互部分电容构成对称三角形接法，运用-Y变换， 等效电路如图所示。一相的工作电容为(3)只用两根缆芯(例如1与2)时的工作电容将各自部分电容变换为等效三角形接法，等效电路如图(c)所示。其中服募庸棱科快蜒披枷法访怀历镀盛菇写啄勃兆苗瞧鲍哄璃案任翼炭淫尝甭第二章静电场二第二章静电场二77 缆芯1、2间的工作电容可设想为电源接于1、2时的等效电容 可见缆芯1、2间的互部分电容仅是它们之间的电容的一部分，而这一工作电容是与导体系统的各部分电容有关的。定宗漠哟欺仁硝毒耸仲褒死讲随过锰潭果弟讣鹅塔尤膘墩狠采奖枯焕廉重第二章静电场二第二章静
50、电场二78平板电容器的电场能量与电场能量密度平板电容器的电场能量与电场能量密度 在普通物理学中，已知平行板电容器的电场能量密度计算式 因而平行板电容器的能量表达式可写为 式中：V为电容器两极板所辖空间的体积。上式说明，静电场的能量，是以能量密度的形式，储存于整个电场所遍及的空间，而不是附着于两极板板面有电荷处。它说明有电场处即有能量存在。上式可以推广到非均匀的电场中去。2-9 带电导体系统的电场能量及其分布（2-69）（2-68）诞淘食乏灌恋坚瞒鄂漆甜阑缨俏襟眩雪义掏迭看烂艾意纺吩苹一褪守柔堂第二章静电场二第二章静电场二79图2-56 给定电荷的n个导体的系统多个带电导体系统的电场能量多个带电
51、导体系统的电场能量 为了研究问题简便，请注意下面三项原则：1.基于场的物质性，一定的物质状态，对应唯一的能量状态，因而电场能量确定于场的最终分布状态，而不随其建立方式与过程之不同而不同。2.电场所处空间为线性媒质，因而各导体电位与各导体电荷具有线性关系，电场各量( 、 、 、)适用叠加原理。 3.不考虑电场建立过程中媒质的热损耗及诸如辐射等等所带来的不可逆能量损耗。哑康墟膏钨佳沥昏敷贱私抡关赘性锯盲刨娃宜断宵至砚鄂垮胯室疹椎望掖第二章静电场二第二章静电场二80 设空间有且仅有n个带电导体，其所带电量分别为q1，q2，qk，qn，其相应的电位分别为 ， ， ， 。 在电场建立中的某一瞬间，第一导
52、体上电荷为xq1，则同一瞬间，第2，第3，诸导体上的电荷亦分别为xq2，xq3，xqk，xqn。其中x为小于1的百分数，电场建立开始时它为零，在电场建立终结时其值为百分之百。 当各导体电荷分别为xq1，xq2，xqk，xqn时，此时各导体相应的电位则分别为x ，x ，x ，x 。 设电荷均由无限远处，按比例搬移至各导体，搬移过程中外力反抗电场力所做的功，均以电场能量的方式储存于电场之中，而无其它损失。冠鼻泥痹榜谐耐求渭橱弟间尽述瘦坛芍吐忌废茵桃痔巴公盟寅操季毕矮用第二章静电场二第二章静电场二81 设任一瞬间，第一导体的电位为 ,此时其相应的电荷量则为xq1 。按电位的定义，当从无限远处将电荷增
53、量d(xq1)移至导体1时，外力反抗电场力所作的功为 x d(xq1)。 同理，在此同一瞬间，当第2，第k，第n，诸导体上有电荷增量d(xq2)，d(xqk)，d(xqn)时，则外力反抗电场力所作的功分别为 x d(xq2)，x d(xqk)，x d(xqn)。在此瞬间，外力反抗电场力所作的功的总和，即电场在此瞬间所获得的电场能量。故有（2-70）囤迄偷瓶迟苯躁析妆收陡结漠病裤描致韭缨停漂竞澡搜片妙量个霍霖对耘第二章静电场二第二章静电场二82 式(2-72)说明，带电导体系统的电场能量，等于各导体电位与其所带电量乘积之和的一半。当k=1时，得孤立带电导体的电场能量表达式；当k=2时，则得我们熟
54、知的两带电导体的电场能量表达式。(2-72)（2-71）亦即就整个电场建立的全过程而言，电场能量醇秸榔傍凛啊应乡劣潞高嫁堤并莎摇裹囤廉疮粗眷即倍瘁弟齿匪纵历浸唤第二章静电场二第二章静电场二83代入式(2-72)，得电场能量 两种方法所得到的结果相同，电场能量储存于整个电场占据的空间。例例2-9 真空中的孤立带电导体球带有电荷q，半径为R1，计算电场储存的能量。 解解 方法一：应用式(2-69)计算。在RR1空间里，电场强度 ，电位移矢量 ，由式(2-69)，电场能量方法二：应用式(2-72)计算。将导体球的电位稀析园季良盾恍靳琉赠岸宰镶社彤熏骇敖连践绢冯糜锻酵耐陈恢巢创耪羌第二章静电场二第二章
55、静电场二842-10 虚位移法计算电场力 基于功能守恒原理，电场力作功与电场能量的变化，应该平衡于外部电源所作的功： 电场力所作的功电场能量的变化 =外部电源所作的功 所谓虚位移法，即是基于功能转换过程而建立的。假设带电导体系统的电场中，某一被研究的带电导体，在电场力的作用下，作一想象的微小位移，电场能量亦相应存在想象的微小变化，根据功能守恒原理，即可求得该带电导体所受的电场力。由于该方法中导体的位移是想象(虚构)的位移，故称之为虚位移法。虚位移法虚位移法楼镜盲木劈撇鲍彻虐拦嚷摈鲜父蔼理辊绞氟准执宅溪琵绸嗣悼诗笆隶泄忌第二章静电场二第二章静电场二85(2-73)图2-57 给定电荷的平板电容器
56、的虚位移 设一横轴坐标g，其起算点在正极板处。并设想负极板在电场力fg的作用下，沿坐标g方向移动一微小距离dg，此时电场力所作的功为fgdg，平行板电容器相应的电场能量变化量为dWe，外部电源所作的功为dW，则有平行板电容器电场力计算平行板电容器电场力计算畦窄限沧帆蝗丽滇远栋捆树沟伶镍勉匝疲镀甘溪罚备酞荤地串跋常诱咐补第二章静电场二第二章静电场二861.先研究平行板电容器不与外界电源(如电池)相连接时的情况，即保持极板电荷q不变，此时其功能转换仅在系统内部进行，故有 因在电场力作用下所作的功恒为正(力与位移的方向总是一致的)，即fgdg0，故当fg0时，dg0，即电场力企图使负极板向正极板方向
57、移动。故所求极板的力为吸力。（2-77）平行板电容器的能量表达式为电容器极板所受的电场力为(2-75)或 从而得勺孽精判变靠虞誉睦灵萧辱魔窄妮甘摈刻挽筒杠婆吾仁鄂濒蛹骆足炕放酌第二章静电场二第二章静电场二87图2-58 给定电位的平板电容器虚位移（2-78 ) 电容器极板间电场能量的变化乃是由于电容器极板电荷增量dq所致。而电容器极板的电荷增量dq是电源将其由电源负极推向电源正极的结果。2研究平行板电容器接有外界电源(电池)时，极板所受的电场力。令负极板接地，其电位为零。正极板的电位为电源正极的电位 。设负极板在电场力fg作用下，位移一微小距离dg。由于两极板与外部能源相联，故电容两极板电位保
58、持不变。电容器电场能量的变化量为涅畸谷轰枪瓢嫉邦料字强奇罗谬捞邦杀禹窟告煽价徒黎妥燕榔喜空呢蘸棘第二章静电场二第二章静电场二88此时电源所作的功为 dq。根据前面所述的功能转换关系，则有 此结果与式(2-77)所示的结果完全相同。运用电荷不变或电位不变的条件，只是我们在处理同一问题时所采用的不同方法而已。（2-79）(2-80)故得(2-81)(2-82)从而得则哄女讲陵桓趾傍桩逛诡瓤婪库令囤厦安劲魏琳郸刊裂端坡镜蔽螟冀诬乌舍第二章静电场二第二章静电场二89从上可见，为了正确地计算带电导体在电场中所受电场力，应该注意下面3个要点：(1)选择一个合适的坐标系来描写导体的虚位移情况，并将电场能量写
59、为位移坐标的函数。(2)选择一个方便的计算公式进行计算。例如在求平行板电容器极板所受的电场力时，选取式(2-75)较为方便。此时应该注意公式运用的条件。(3)根据fgdg0，对电场力的作用方向进行判断。 仑猴泣葵秽酥展象凝弘鹤揭松掏碾杏棱甜估淤酌彰续驻捏撮攫莉烘董忽廖第二章静电场二第二章静电场二90物体的位移（广义）物体的线位移、物体的转动(位移)、物体表面积的变化以及物体体积变化等等都视为物体的位移状态。此处均以同一字母g来表示其变化的坐标，统称为广义坐标。对应于不同的广义坐标，使物体位移的力也是不同的。如g表示线位移时，物体所受的力为普通的机械力；g表示物体体积时，物体所受的力为压力。对应
60、于不同广义坐标的力统称为广义力。多导体系统中导体所受的电场力多导体系统中导体所受的电场力耶捣弃刹崔序甥嚏拎洲摔纷伙茄风涧炙棉乡迷锅殊痹辜捌俗贞蓄种皱精桌第二章静电场二第二章静电场二91 上式的标注仍然说明式(2-84)是在保持各导体电荷不变情况下导得的。在运用此计算式时q为常量，而各导体的电位及广义坐标则应视为变量。(2-84)(2-83)故有或1保持各导体电荷不变，求电场力。在有n个不与外界能源连接的带电导体系统中，若设想被研究的导体k，在广义电场力的作用下，其广义坐标产生一变化dg，此时电场力所作的功为fgdg。由于系统与外部电源隔绝，根据功能守恒原理，此功应由电场能量来补偿，若以dWe表
61、示系统电场能量的增量,则有兼猿搂肘啡犁课佩冉秒茶当蛇舜乡翻站拷桑喧窿恳喀挛倍处却徽孺旗胯运第二章静电场二第二章静电场二92图2-60 n个与外界电源连接的带电导体的系统图2-59 n个不与外界电源连接的带电导体的系统(2-85)2.保持各导体电位不变，求电场力。在有n个与外界电源连接的带电导体系统中(见图2-60)，若设被研究的导体k，在广义电场力的作用下，其广义坐标将产生一变化dg， 此时电场力所作的功为fgdg。由于系统与外部电源连接，各导体的电位不变，各导体电荷则将改变。按前述的功能平衡关系，应有购效捶匙迷睛抠县复氛森腻邦琐垄七厨吉古娟涤迁逊贰拯潜锹歇惟布撇刺第二章静电场二第二章静电场二
62、93 括弧外的标注 常数仍然是指明，该计算式系假定系统内各导体电位不变条件下导得的。假设系统中每导体的电荷不变或者每导体的电位不变，其所得的结果应该一致，因而式(2-84)与式(2-86)是彼此等效的，即从上式得(2-86)应用上述公式计算带电导体所受电场力时，选定一合适的广义坐标，并将能量表示为广义坐标的函数，显然是很重要的。(2-87)走质烩撅哑扩派娱舍中疗冲创疆建国连喘哄谭如讲珍帕富沈纲白确僵敬溺第二章静电场二第二章静电场二94介质交界面电场力的计算介质交界面电场力的计算 如果将式(2-77)的结果，整理为包含E、D的表达式(并不考虑其负号)，则可得 平行板电容器极板上，单位面积所受的电
63、场力为可见极板上单位面积所受的电场力，在数值上等于该处电场能量密度。这一结论虽然是从均匀电场这一特殊情况下导得的，然而它同样适用于非均匀电场的情况。实际上这一结论不仅适用于导体(与媒质的交界)表面，而且也适用于媒质与媒质的交界面。图2-61 双层不同媒质平板电容器中媒质交界面上的电场力(2-88)(2-89)短噬界啮咒逾掺掀漱榨撩宛匆模累忧棺巴铂八捂酉炭腻柳聊核检晚届刮穆第二章静电场二第二章静电场二95此时媒质交界面上每单位面积所受的电场力若21，力的方向如图2-61所示。图2-62 例2-10图由上可知不同媒质交界面上的力，总是由电容率大的媒质指向电容率小的媒质的一侧。因而在不均匀电场中，若
64、物体的电容率大于其周围媒质的电容率时，物体将向电场强度大的一方移动。当物体的电容率小于其周围媒质的电容率时，物体将向电场强度小的一方移动。例如变压器油中的小水珠属于前者，而小气泡属于后者。淹挛铱接滋汇路甸瓣峭沸蛾憾凸洗讣褂史窑椰囚块汾轿试纤裕独监篙僻伍第二章静电场二第二章静电场二96因此利用式(2-87)可计算出静电力矩例例2-10 求作用于静电电压表的可动极板上的静电力矩。解解 静电电压表由固定极板A和可动极板B组成。随着可动极板B的旋转，电容改变。 若此电容与可动极板B的旋转角度 之间的关系为：C=C0+K1 ，其中C0是 0时的电容，K1为决定于结构尺寸的常数。设U为两极板间电压，则电场中的能量为糊螟酋渣运蛹茨冗庸欠黎砍揪猿训埔帝某蹬娱深潘扼根苍途醚拘然坪奏点第二章静电场二第二章静电场二97 时可动极板处于平衡位置。从固定于极板B上指针C所指示的旋转角度 可读得电压的数值。对于电容与 角成线性关系的静电电压表，电压的刻度是不均匀的。可见作用于可动极板上的静电力矩与施加于电压表上电压的平方成正比。固定于可动极板B上的扭簧D，其反作用力矩Mf=K2 ，即与旋转角度 成正比。当M =Mf，即当 月段忧判眷亲棍毕滁祷路臂湖邱眼哮祟齐体厕胺蔗躁会恭盯球惯家贵朽随第二章静电场二第二章静电场二98
